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• Avril 2018, 3e défi

  le 20 avril 2018 à 09:10, par Al_louarn

  Disons qu’une paire de chiffres distincts $(a,b)$ est de type $r$ si $(a+b) \mod 10 = r$.
  La somme $122222$ impose que les chiffres de même rang des deux nombres forment toujours une paire de type $1$ (si on ajoute une retenue) ou $2$ (sans retenue).
  Il faut donc partager les $10$ chiffres en $5$ paires disjointes de type $1$ ou $2$.
  Mais on note que les derniers chiffres des deux nombres doivent former une paire de type $2$ car pour eux il n’y a pas de retenue à ajouter.
  L’ensemble des paires de type $1$ ou $2$ forme un graphe qu’on peut représenter par la chaîne $1029384756$, où deux chiffres sont voisins s’ils forment une paire de type $1$ ou $2$.
  Pour le chiffre $1$ on n’a que la paire $(1,0)$, ce qui exclut la paire $(0,2)$. La paire $(2,9)$ est alors obligatoire, ce qui exclut la paire $(9,3)$, etc.
  De proche en proche on est conduit à la partition $(1,0),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)$, dont toutes les paires sont de type $1$, d’où contradiction : la somme ne peut pas être $122222$.

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