Un défi par semaine

Avril 2018, 3e défi

Le 20 avril 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 16

Charles a choisi $5$ chiffres distincts et a formé un nombre de $5$ chiffres.
Sophie a formé un nombre avec les $5$ chiffres restants.
La somme des deux nombres peut-elle être égale à $122\,222$ ?

Solution du 2e défi de Avril :

Enoncé

La réponse est $21$.

ll y a 9 carrés formés de quatre points adjacents, comme le montre la figure.

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Des carrés avec un point à l’intérieur, il y en a 4, celui de la figure et trois autres semblables.

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Ensuite, il y a 2 carrés avec quatre points à l’intérieur,

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4 carrés avec cinq points à l’intérieur, celui qui est montré et trois semblables,

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et enfin 2 carrés avec douze points à l’intérieur.

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Par conséquent, il y a un total de $21$ carrés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2018, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Avril 2018, 3e défi

    le 20 avril 2018 à 09:10, par Al_louarn

    Disons qu’une paire de chiffres distincts $(a,b)$ est de type $r$ si $(a+b) \mod 10 = r$.
    La somme $122222$ impose que les chiffres de même rang des deux nombres forment toujours une paire de type $1$ (si on ajoute une retenue) ou $2$ (sans retenue).
    Il faut donc partager les $10$ chiffres en $5$ paires disjointes de type $1$ ou $2$.
    Mais on note que les derniers chiffres des deux nombres doivent former une paire de type $2$ car pour eux il n’y a pas de retenue à ajouter.
    L’ensemble des paires de type $1$ ou $2$ forme un graphe qu’on peut représenter par la chaîne $1029384756$, où deux chiffres sont voisins s’ils forment une paire de type $1$ ou $2$.
    Pour le chiffre $1$ on n’a que la paire $(1,0)$, ce qui exclut la paire $(0,2)$. La paire $(2,9)$ est alors obligatoire, ce qui exclut la paire $(9,3)$, etc.
    De proche en proche on est conduit à la partition $(1,0),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)$, dont toutes les paires sont de type $1$, d’où contradiction : la somme ne peut pas être $122222$.

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