Un défi par semaine

Avril 2019, 1er défi

Le 5 avril 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 14

Trouver tous les entiers strictement positifs $n$ et $m$ vérifiant l’équation \[\dfrac 1m + \dfrac 1n - \dfrac 1{mn^2} = \dfrac 34.\]

Solution du 5e défi de mars :

Enoncé

La solution est : $\dfrac 7{13} \approx 0{,}538$.

Notons $\Pi$ l’évènement « Le villageois interrogé est un pire » de telle sorte que l’évènement contraire $\overline \Pi$ soit « Le villageois interrogé est un pur ». On a d’après l’énoncé $P(\Pi) = \frac 7{10}$.

Si $V$ est l’évènement « Le villageois a dit la vérité », l’énoncé donne les probabilités conditionnelles $P\left(V\middle|\Pi\right) = \frac 1{20}$ et $P\left(V\middle|\overline \Pi\right) = \frac{9}{10}$.

On cherche à calculer la probabilité conditionnelle $P\left(\Pi\middle|O\right)$, où $O$ est l’ l’évènement « Le villageois a répondu oui à la question » . Notons que l’évènement $O$ est la réunion des deux évènements incompatibles $\Pi \cap V$ et $\overline \Pi \cap \overline V$ (le villageois répond oui soit s’il est un pire et qu’il dit la vérité soit s’il est un pur et qu’il ment). En particulier, $\Pi \cap O = \Pi \cap V$. On a alors
\[ \begin{align*} P\left(\Pi\middle|O\right) &= \frac{P(\Pi \cap O)}{P(O)} = \frac{P(\Pi \cap V)}{P(\Pi \cap V) + P(\overline \Pi \cap \overline V)}. \end{align*} \]

Or, on a
\[\begin{align*} P(\Pi \cap V) &= P\left(V\middle|\Pi\right) \times P(\Pi) = \frac {1}{20} \times \frac 7{10} = \frac{7}{200}\\ \text{et} \qquad P(\overline \Pi \cap \overline V) &= P\left(\overline V\middle|\overline \Pi\right) \times P(\overline \Pi) = \frac{1}{10} \times \frac 3{10} = \frac 3{100}. \end{align*}\]

La probabilité conditionnelle cherchée est donc
\[ \begin{align*} P\left(\Pi\middle|O\right) &= \frac{P(\Pi \cap V)}{P(\Pi \cap V) + P(\overline \Pi \cap \overline V)} = \frac{7/200}{3/100+7/200} = \frac 7{13} \approx 0{,}538. \end{align*}\]

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Arvind Singh, CNRS, Orsay

Commentaire sur l'article

  • Avril 2019, 1er défi

    le 5 avril à 14:13, par FredM

    On vérifie que n=1 ou m=1 ne donnent pas de solution. Ensuite, on remarque que 1/n+1/m doit être supérieur strictement à 3/4, ce qui implique que m et n sont strictement inférieurs à 4.
    Il reste à vérifier que 2 et 3 fonctionnent.
    Ou alors, en remettant l’équation au même dénominateur, on a n²+mn congru à 1 [3]
    n ne peut donc pas être multiple de 3. Si n congru à 1 [3], alors m multiple de 3
    Si n est congru à 2 [3], alors m doit aussi être multiple de 3
    Le dénominateur commun donnant mn² multiple de 4, et m étant dans tous les cas multiple de 3, alors n est pair.
    Comme n et m sont compris entre 2 et 3, la conclusion est sans surprise.

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    • Avril 2019, 1er défi

      le 6 avril à 09:16, par Didier Roche

      Une autre réponse.
      Après avoir réduit au même dénominateur nous obtenons :
      4n^2+4mk-4=3mn^2
      D’où n(4n+4m)=3mn^2+4
      n divise 3mn^2+4 et n divise 3mn^2 d’où n divise la différence c’est à dire 4
      Les valeurs possibles de n sont : 1,2 et 4.
      Ensuite on en déduit sans difficulté les valeurs de m.

      Répondre à ce message

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