Un défi par semaine

Avril 2019, 2e défi

Le 12 avril 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 15

Un groupe de cinq amis joue aux cartes. À chaque tour participent quatre des cinq amis, jamais les mêmes. La somme des âges des participants à chaque tour a respectivement été $124$, $128$, $130$, $136$ et $142$ ans. Quel est l’âge du plus jeune joueur ?

Solution du 1er défi d’avril :

Enoncé

La seule solution est $n=2$ et $m=3$

En multipliant par $4mn^2$, on voit que l’équation est équivalente à $4n^2 + 4mn - 4 = 3mn^2$, ce que l’on peut réécrire sous la forme $4n^2 + 4mn - 3mn^2 = 4$. Comme le terme de gauche est égal à $n \times (4n + 4m - 3mn)$, cela entraîne que $n$ est un diviseur de $4$. Il y a donc trois cas :

  • $n = 1$ et $4+4m-3m = 4$, c’est-à-dire $m = 0$. Comme on ne cherche que des entiers strictement positifs, cette solution est exclue.
  • $n=2$ et $8 + 4m - 6m = 2$, c’est-à-dire $2m=6$, ce qui donne la solution $n = 2$ et $m = 3$.
  • $n=4$ et $16 + 4m -12m = 1$, c’est-à-dire $8m = 15$, qui ne possède pas de solution entière.

En résumé, la seule solution est $n=2$ et $m=3$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Commentaire sur l'article

  • Avril 2019, 2e défi

    le 14 avril à 00:21, par jokemath

    En appelant a, b, c, d et e les âges des 5 joueurs par ordre croissant, alors les sommes 124, 128, 130, 136 et 142 représentent les sommes des 5 nombres sauf 1, c’est à dire a+b+c+d, a+b+c+e, a+b+d+e, a+c+d+e, et b+c+d+e dans cet ordre puisque a < b < c < d < e, c’est à dire que
    a+b+c+d = 124,
    a+b+c+e = 128,
    a+b+d+e = 132
    a+c+d+e = 136
    b+c+d+e = 142
    En additionnant tout, on obtient 660 qui est 4 fois la somme de tous les âges :
    (a+b+c+d)+(a+b+c+e)+(a+b+d+e)+(a+c+d+e)+(b+c+d+e)= 4(a+b+c+d+e).
    Donc 660 est 4(a+b+c+d+e)
    D’où a+b+c+d+e = 660/4, c’est à dire a+b+c+d+e = 165 ;
    Or b+c+d+e = 142
    Alors par différence, a est (a+b+c+d+e) - (b+c+d+e) = 165 - 142, soit a = 23.
    Donc le joueur le plus jeune a 23 ans.

    Remarque, on peut en déduire les autres âges,
    b = (a+b+c+d+e) - (a+c+d+e) = 165 - 136 = 29
    c = (a+b+c+d+e) - (a+b+d+e) = 165 - 130 = 35
    d = (a+b+c+d+e) - (a+b+c+e) = 165 - 128 = 37
    e = (a+b+c+d+e) - (a+b+c+d) = 165 - 124 = 41
    Donc les autres joueur ont 29 ans, 35 ans, 37 ans et 41 ans.

    Ce défi me rappelle un autre problème, trouver les cinq nombres dont les sommes deux par deux sont 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 12.

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  • Avril 2019, 2e défi

    le 14 avril à 09:51, par ROUX

    Je les appelle a, b, c, d et e.
    Je les écris sur une feuille a b c d e a b c d.
    Les regroupements seront abcd puis bcde puis cdea etc.
    Passer du premier regroupement au deuxième signifie qu’on a fait -a+e. Alors, -a+e=-124+128=4.
    Passer du deuxième regroupement au troisième signifie qu’on a fait -b+a. Alors, -b+a=-128+130=2.
    Cela veut aussi dire que -b+e=6.
    A partir du moment où j’ai compris que je pourrais référencer les âges de a, b, c et d par rapport à e, j’ai tracé un axe normé sur lequel j’ai reportée a, b,c ,d et e.
    d est le plus jeune.
    On voit (là, pour le coup, sur mon axe normé correctement construit, je le vois ; comme c’est bien construit sur un axe normé je sais que je pourrais débobiner des calculs pour le montrer donc je me contente d’écrire que je le vois) que a=d+14, b=d+12 et c=d+6.
    a+b+c+d=124 conduit alors à 4*d+32=124 ou d=23.
    Le plus jeune a 23 ans.

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  • Avril 2019, 2e défi

    le 14 avril à 11:21, par Daniate

    La moyenne d’âge des 4 plus jeunes est 124/7=31. L’écart entre les deux dernières parties dit que le second à 6 ans de plus que le premier. Autrement dit à la naissance du plus jeune le second avait 6 ans et de proche en proche le troisième 12 ans et le quatrième 14 ans soit une moyenne de 8 ans. Quand tout ce petit monde vieillit d’un an la moyenne en fait autant. Donc il doivent vieillir de 31-8=23 ans ce qui, bien sur est l’âge du plus jeune.

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  • Avril 2019, 2e défi

    le 16 avril à 11:25, par LALANNE

    La somme des totaux partiels : 124+128+130+136+142 = 660,
    elle est évidemment égale à 4 fois la somme des ages des joueurs,
    donc la somme des ages des joueurs vaut 165.
    Le dernier total partiel , 142, ne contient pas l’age du plus jeune.
    Donc 142=165-J donne J=23 l’age du plus jeune joueur.

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