Un défi par semaine

Avril 2019, 2e défi

Le 12 avril 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 15

Un groupe de cinq amis joue aux cartes. À chaque tour participent quatre des cinq amis, jamais les mêmes. La somme des âges des participants à chaque tour a respectivement été $124$, $128$, $130$, $136$ et $142$ ans. Quel est l’âge du plus jeune joueur ?

Solution du 1er défi d’avril :

Enoncé

La seule solution est $n=2$ et $m=3$

En multipliant par $4mn^2$, on voit que l’équation est équivalente à $4n^2 + 4mn - 4 = 3mn^2$, ce que l’on peut réécrire sous la forme $4n^2 + 4mn - 3mn^2 = 4$. Comme le terme de gauche est égal à $n \times (4n + 4m - 3mn)$, cela entraîne que $n$ est un diviseur de $4$. Il y a donc trois cas :

  • $n = 1$ et $4+4m-3m = 4$, c’est-à-dire $m = 0$. Comme on ne cherche que des entiers strictement positifs, cette solution est exclue.
  • $n=2$ et $8 + 4m - 6m = 2$, c’est-à-dire $2m=6$, ce qui donne la solution $n = 2$ et $m = 3$.
  • $n=4$ et $16 + 4m -12m = 1$, c’est-à-dire $8m = 15$, qui ne possède pas de solution entière.

En résumé, la seule solution est $n=2$ et $m=3$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Arvind Singh, CNRS, Orsay

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  • Avril 2019, 2e défi

    le 14 avril à 00:21, par jokemath

    En appelant a, b, c, d et e les âges des 5 joueurs par ordre croissant, alors les sommes 124, 128, 130, 136 et 142 représentent les sommes des 5 nombres sauf 1, c’est à dire a+b+c+d, a+b+c+e, a+b+d+e, a+c+d+e, et b+c+d+e dans cet ordre puisque a < b < c < d < e, c’est à dire que
    a+b+c+d = 124,
    a+b+c+e = 128,
    a+b+d+e = 132
    a+c+d+e = 136
    b+c+d+e = 142
    En additionnant tout, on obtient 660 qui est 4 fois la somme de tous les âges :
    (a+b+c+d)+(a+b+c+e)+(a+b+d+e)+(a+c+d+e)+(b+c+d+e)= 4(a+b+c+d+e).
    Donc 660 est 4(a+b+c+d+e)
    D’où a+b+c+d+e = 660/4, c’est à dire a+b+c+d+e = 165 ;
    Or b+c+d+e = 142
    Alors par différence, a est (a+b+c+d+e) - (b+c+d+e) = 165 - 142, soit a = 23.
    Donc le joueur le plus jeune a 23 ans.

    Remarque, on peut en déduire les autres âges,
    b = (a+b+c+d+e) - (a+c+d+e) = 165 - 136 = 29
    c = (a+b+c+d+e) - (a+b+d+e) = 165 - 130 = 35
    d = (a+b+c+d+e) - (a+b+c+e) = 165 - 128 = 37
    e = (a+b+c+d+e) - (a+b+c+d) = 165 - 124 = 41
    Donc les autres joueur ont 29 ans, 35 ans, 37 ans et 41 ans.

    Ce défi me rappelle un autre problème, trouver les cinq nombres dont les sommes deux par deux sont 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 12.

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