Avril 2019, 2e défi

Le 12 avril 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 15

Un groupe de cinq amis joue aux cartes. À chaque tour participent quatre des cinq amis, jamais les mêmes. La somme des âges des participants à chaque tour a respectivement été $124$, $128$, $130$, $136$ et $142$ ans. Quel est l’âge du plus jeune joueur ?

Solution du 1er défi d’avril :

Enoncé

La seule solution est $n=2$ et $m=3$

En multipliant par $4mn^2$, on voit que l’équation est équivalente à $4n^2 + 4mn - 4 = 3mn^2$, ce que l’on peut réécrire sous la forme $4n^2 + 4mn - 3mn^2 = 4$. Comme le terme de gauche est égal à $n \times (4n + 4m - 3mn)$, cela entraîne que $n$ est un diviseur de $4$. Il y a donc trois cas :

$n = 1$ et $4+4m-3m = 4$, c’est-à-dire $m = 0$. Comme on ne cherche que des entiers strictement positifs, cette solution est exclue.

$n=2$ et $8 + 4m - 6m = 2$, c’est-à-dire $2m=6$, ce qui donne la solution $n = 2$ et $m = 3$.

$n=4$ et $16 + 4m -12m = 1$, c’est-à-dire $8m = 15$, qui ne possède pas de solution entière.

En résumé, la seule solution est $n=2$ et $m=3$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Avril 2019, 2e défi

le 14 avril 2019 à 09:51, par ROUX

Je les appelle a, b, c, d et e.
Je les écris sur une feuille a b c d e a b c d.
Les regroupements seront abcd puis bcde puis cdea etc.
Passer du premier regroupement au deuxième signifie qu’on a fait -a+e. Alors, -a+e=-124+128=4.
Passer du deuxième regroupement au troisième signifie qu’on a fait -b+a. Alors, -b+a=-128+130=2.
Cela veut aussi dire que -b+e=6.
A partir du moment où j’ai compris que je pourrais référencer les âges de a, b, c et d par rapport à e, j’ai tracé un axe normé sur lequel j’ai reportée a, b,c ,d et e.
d est le plus jeune.
On voit (là, pour le coup, sur mon axe normé correctement construit, je le vois ; comme c’est bien construit sur un axe normé je sais que je pourrais débobiner des calculs pour le montrer donc je me contente d’écrire que je le vois) que a=d+14, b=d+12 et c=d+6.
a+b+c+d=124 conduit alors à 4*d+32=124 ou d=23.
Le plus jeune a 23 ans.
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