Un défi par semaine

Avril 2019, 2e défi

Le 12 avril 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 15

Un groupe de cinq amis joue aux cartes. À chaque tour participent quatre des cinq amis, jamais les mêmes. La somme des âges des participants à chaque tour a respectivement été $124$, $128$, $130$, $136$ et $142$ ans. Quel est l’âge du plus jeune joueur ?

Solution du 1er défi d’avril :

Enoncé

La seule solution est $n=2$ et $m=3$

En multipliant par $4mn^2$, on voit que l’équation est équivalente à $4n^2 + 4mn - 4 = 3mn^2$, ce que l’on peut réécrire sous la forme $4n^2 + 4mn - 3mn^2 = 4$. Comme le terme de gauche est égal à $n \times (4n + 4m - 3mn)$, cela entraîne que $n$ est un diviseur de $4$. Il y a donc trois cas :

  • $n = 1$ et $4+4m-3m = 4$, c’est-à-dire $m = 0$. Comme on ne cherche que des entiers strictement positifs, cette solution est exclue.
  • $n=2$ et $8 + 4m - 6m = 2$, c’est-à-dire $2m=6$, ce qui donne la solution $n = 2$ et $m = 3$.
  • $n=4$ et $16 + 4m -12m = 1$, c’est-à-dire $8m = 15$, qui ne possède pas de solution entière.

En résumé, la seule solution est $n=2$ et $m=3$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Arvind Singh, CNRS, Orsay

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