Un défi par semaine

Avril 2019, 3e défi

Le 19 avril 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 16

On considère l’ensemble $A$ de tous les nombres de la forme $n^3 - n$, où $n$ est un entier. Quel est le plus grand diviseur commun de tous les éléments de $A$ ?

Solution du 2e défi d’avril :

Enoncé

La réponse est $23$ ans.

Si l’on note $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$ les âges des
différents amis, l’énoncé nous donne
\[\begin{eqnarray*} 4(a+b+c+d+e) & = & (a+b+c+d)+(a+b+c+e)+(a+b\\ & & +d+e)+(a+c+d+e)+(b+c+d+e)\\ & = & 124+128+130+136+142 = 660, \end{eqnarray*}\]
donc $a+b+c+d+e = 165$. On constate que le plus jeune joueur est celui n’ayant pas participé au dernier tour, ce qui implique qu’il a $165 - 142 = 23$ ans.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2019, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Arvind Singh, CNRS, Orsay

Commentaire sur l'article

  • Avril 2019, 3e défi

    le 19 avril à 12:18, par Celem Mene

    On commence par mettre en évidence n :

    n (n² - 1)

    on s’aperçoit alors qu’on peut écrire :

    n (n + 1) (n - 1)

    C’est la multiplication de trois entiers successifs entre eux.

    Au moins l’un d’eux sera pair, et un autre multiple de trois.

    Le plus grand diviseur commun est donc 6.

    Répondre à ce message
    • Avril 2019, 3e défi

      le 19 avril à 14:50, par Didier Roche

      Soit D un diviseur commun.
      D=1 convient.
      Si Dest différent de 1 alors D admet une décomposition en facteurs premiers.
      Soit p^a un de ses facteurs.
      p^a divisera (p^a+2)^3-(p^a+2)=(p^a+2)(p^a+1)(p^a+3)
      Comme p^a et p^a+1 sont premiers entre eux ,d’après le théorème de Gauss alors p^a divise (p^a+2)( p^a+3)
      Comme p est un nombre premier alors p^a divisera p^a+2 ou p^a+3.
      Donc p^a divisera 2 ou 3.
      D’où a=0 et p=2 ou 3
      Donc la décomposition de D en facteurs premiers est 2*3.
      S’il existe un plus grand diviseur commun ce sera 6.
      Ensuite on vérifie que 6 convient (voir message de Celem Mene)

      Répondre à ce message
    • Avril 2019, 3e défi

      le 24 avril à 18:41, par Daniate

      En toute rigueur vous démontrez que 6 est un diviseur commun. Pour être le plus grand on considère n=2 qui donne A=6 donc aucun autre diviseur commun ne peut être supérieur à 6.

      Répondre à ce message
  • Avril 2019, 3e défi

    le 21 avril à 10:46, par LALANNE

    L’ensemble A est l’ensemble des nombres obtenus avec le produit de trois entiers successifs (n-1)n(n+1).
    Chaque nombre contient donc un et un seul multiple de 3 , et un ou deux multiples de 2.
    Le plus grand diviseur des nombres de l’ensemble A est 6.

    Répondre à ce message

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