Un défi par semaine

Avril 2019, 4e défi

Le 26 avril 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 17

Trouver tous les nombres à trois chiffres (tous distincts et différents de $0$) égaux à la somme de tous les nombres à deux chiffres que l’on peut former avec les chiffres du nombre initial.

Solution du 3e défi d’avril :

Enoncé

La réponse est $6$.
On peut factoriser l’expression $n^3 - n$ sous la forme $n^3 - n = (n-1)n(n+1).$
Ainsi, tous les éléments de $A$ s’écrivent comme produit de trois nombres entiers consécutifs. Comme il y a nécessairement parmi eux un multiple de $3$ et un nombre pair, on sait que leur produit est un multiple de $6$.

Ainsi, tous les éléments de $A$ sont des multiples de $6$. Comme, par ailleurs, $A$ contient $6 = 2^3 - 2$, on en déduit que le plus grand diviseur commun à tous les éléments de $A$ est $6$ lui-même.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Arvind Singh, CNRS Orsay

Commentaire sur l'article

  • Avril 2019, 4e défi

    le 26 avril à 14:20, par Mario

    Bonjour,
    je cherche donc un nombre $n$ dont l’écriture décimale est $abc$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois chiffres deux à deux distincts et tous différents de $0$ : $n = 100a + 10b + c$.
    Il y a 6 façons de former des nombres à deux chiffres à partir de $a$, $b$ et $c$ :
    $10a + b$, $10a + c$, $10b + a$, $10b + c$, $10c + a$, $10c + b$.
    Première remarque : le plus grand nombre à deux chiffres qu’il serait possible d’obtenir est $98$, donc nécessairement $n \leq 6 \times 98$, c’est à dire $n \leq 588$.
    Ensuite, en additionnant les 6 nombres à deux chiffres et après réduction, on obtient :
    $n = 22 (a + b + c)$ (*)
    $n$ est donc un multiple de $22$ inférieur à $588$.
    En reprenant l’écriture décimale de $n$ : $100a + 10b + c = 22 (a + b + c)$.
    Donc, $99a + 9b = 21 (a + b + c)$ et par conséquent $ 33a + 3a = 7(a + b + c)$, soit $3(11a + b) = 7(a + b + c)$. D’où l’on déduit que $(a + b + c)$ est divisible par $3$.
    Ce qu signifie d’après (*), que $n$ est un multiple de $66$, inférieur à $588$, dont tous les chiffres sont deux à deux distincts et différents de $0$.
    Il y a donc 6 candidats : $132, 198, 264, 396, 462, 528$.
    Et seuls $132, 264, 396$ vérifient la condition souhaitée.
    Remarque : je constate qu’il s’agit de multiples de $132$, il devait donc être possible de justifier que $n$ est divisible par $4$, ou ce qui est équivalent, que $a + b + c$ est un nombre pair. Mais, je n’ai pas trouvé comment faire...

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    • Avril 2019, 4e défi

      le 26 avril à 17:59, par François

      A partir de n=100a+10b+c = 22(a+b+c), on en déduit que modulo 11 a-b+c=0 c’est à dire b=a+c+11k avec deux seules valeurs de k possibles 0 et -1. On remplace b par a+c+11k dans l’équation, on obtient en simplifiant 2a-c=4k.
      Pour k = 0, c=2a b=3a donc comme b<10, a vaut 1,2 ou 3 soit n=132, 264, ou 396. Dans ce cas a+b+c=6a donc est divisible par 6.
      Pour k=-1, c=2a+4 b=3a-7 ce qui est impossible : comme b>0 on devrait avoir a >= 3 mais alors on aurait c >=10.
      Les seules solutions sont donc 132, 264 ou 396.
      Remarque. On ne se sert pas du fait que a,b,c sont tous distincts.

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    • Avril 2019, 4e défi

      le 26 avril à 18:39, par Will

      Je reprends à la phrase "il y a donc 6 candidats : $132, 198, 264, 396, 462, 528$.

      2 remarques :
      $n\le588$ donc $a\le5$ donc $n=22(a+b+c)\le22\times(5+9+8)=22\times22=484$ donc $a\le 4$. De plus,
      $100\times a=n-10b-c=22(a+b+c)-10b-c=22a+12b+22c\le22\times4+12\times8+22\times9=382$.
      Donc $a\le3$.

      $\ $

      $n=22(a+b+c)$ donc $n$ est divisible par $11$, donc $b=a+c$ si $a+c\le9$, et $b=a+c - 11$ si $a+c\ge10$. Puisque $a\le3$ et $c$ est pair (car $n$ est pair), alors $a+c\ge10$ si et seulement si $c=8$ et $a=2$ ou $a=3$. Dans les deux cas, on trouve alors $b=-1$ ou $b=0$ ce qui est exclut.

      On a donc $a+c\le9$, donc $b=a+c$ et $n=22(a+b+c)=22\times2b=44b=4\times11b$, donc $n$ est divisible par $4$.

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    • Avril 2019, 4e défi

      le 9 mai à 06:55, par Michel Marcus

      Ce sont les 3 premiers termes de la suite OEIS A241754.

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  • Avril 2019, 4e défi

    le 26 avril à 15:23, par LALANNE

    a,b et c les trois chiffres recherchés non nuls, abc=100*a+bc= ab+bc+ca,
    d’où ab+ca=100*a<199
    a=1 est la seule possibilité , ensuite ab+ca= 10+b+10*c+1=100
    donne 10*c+b=89 donc c=8 et b=9.
    abc=189=19+98+81=ab+bc+ca

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  • Avril 2019, 4e défi

    le 26 avril à 18:16, par Daniate

    Comme souvent le critère de division par 11 est méconnu. Le second terme 22(a+b+c) indique que le nombre est divisible par 11 et donc soit a+c=b soit a+c=b+11.
    Dans le premier cas on obtient 99a+11b=44b puis b=3a d’où 3 solutions 132, 264, 396.
    Dans le deuxième cas on obtient 3a=b+7 et seul b=2 convient avec a=3 mais il faudrait c=10 impossible .

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  • Avril 2019, 4e défi

    le 26 avril à 18:30, par CAMI

    Soit n=100*a+10*b+c et a=1pour n minimum.
    100*a+10*b+c=12*(a+b+c)
    88*a=11*c+2*b
    2*b=11*(8*a-c) a une solution b=0 a=1 c=8 mais non valide car b doit être différent de 0.
    Donc pas de solution au problème possé ?

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  • Avril 2019, 4e défi

    le 26 avril à 18:32, par CAMI

    Pardon pour la mauvaise frappe
    Pas de solution au problème posé ?

    Répondre à ce message
  • Avril 2019, 4e défi

    le 26 avril à 21:50, par LALANNE

    J’ai mal lu le texte du problème, et je ne crois pas être seul...
    Il existe 9 nombres à deux chiffres si abc est le nombre à trois chiffres initial
    abc=ab+ba+bc+cb+ca+ac+aa+bb+cc
    On obtient donc la somme totale 33*(a+b+c)=abc
    Le nombre abc doit être divisible par 11 et par 3 ,
    donc a+c=b et a+b+c multiple de 3 sont les conditions de divisibilité.
    Les nombres à trois chiffres sont 363, 396 et 693

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    • Avril 2019, 4e défi

      le 26 avril à 22:29, par CAMI

      Et oui on a eu tout faux !
      l’essentiel c’est de participer !

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    • Avril 2019, 4e défi

      le 26 avril à 23:47, par Daniate

      Le défi indique que les 3 chiffres sont différents. De plus en ajoutant les 9 nombres dont vous parlez construits avec 363 on trouve 396 . En acceptant qu’un même chiffre puisse composer un nombre de deux chiffres je ne trouve qu’une solution : 594

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  • Avril 2019, 4e défi

    le 27 avril à 11:20, par CAMI

    n=abc=100*a+10*b+c=33*(a+b+c)
    67*a=23*b+32*c
    Encore aucune solution possible ?

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    • Avril 2019, 4e défi

      le 27 avril à 14:48, par Daniate

      Essayez avec 5, 9 et 4, ça devrait marcher.

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      • Avril 2019, 4e défi

        le 27 avril à 18:34, par CAMI

        Ma réponse à la question posée est : il n’y a pas de solution hors du nombre 594 « initial ».
        Encore une fois j"ai mal interprété le texte du problème !

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        • Avril 2019, 4e défi

          le 27 avril à 19:58, par Daniate

          Il n’y a bien qu’une solution. Le problème se ramène à résoudre deux équations.

          9a=5b d’où la solution 594

          9a=5b+32 qui n’a aucune solution avec des nombres à un chiffres.

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  • Avril 2019, 4e défi

    le 27 avril à 16:46, par LALANNE

    Effectivement en plus des conditions de divisibilité du nombre de trois chiffres abc par 3 et 11 qui imposent a+c=b et a+b+c multiple de 3, il faut que la division de abc par 3*11 donne (a+b+c).
    594 divisé par 33 vaut 18 =5+9+4
    abc/(11*3)=a+b+c
    MERCI Daniate !

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