Un défi par semaine

Avril 2019, 4e défi

Le 26 avril 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 17

Trouver tous les nombres à trois chiffres (tous distincts et différents de $0$) égaux à la somme de tous les nombres à deux chiffres que l’on peut former avec les chiffres du nombre initial.

Solution du 3e défi d’avril :

Enoncé

La réponse est $6$.
On peut factoriser l’expression $n^3 - n$ sous la forme $n^3 - n = (n-1)n(n+1).$
Ainsi, tous les éléments de $A$ s’écrivent comme produit de trois nombres entiers consécutifs. Comme il y a nécessairement parmi eux un multiple de $3$ et un nombre pair, on sait que leur produit est un multiple de $6$.

Ainsi, tous les éléments de $A$ sont des multiples de $6$. Comme, par ailleurs, $A$ contient $6 = 2^3 - 2$, on en déduit que le plus grand diviseur commun à tous les éléments de $A$ est $6$ lui-même.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Arvind Singh, CNRS Orsay

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  • Avril 2019, 4e défi

    le 26 avril 2019 à 14:20, par Mario

    Bonjour,
    je cherche donc un nombre $n$ dont l’écriture décimale est $abc$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois chiffres deux à deux distincts et tous différents de $0$ : $n = 100a + 10b + c$.
    Il y a 6 façons de former des nombres à deux chiffres à partir de $a$, $b$ et $c$ :
    $10a + b$, $10a + c$, $10b + a$, $10b + c$, $10c + a$, $10c + b$.
    Première remarque : le plus grand nombre à deux chiffres qu’il serait possible d’obtenir est $98$, donc nécessairement $n \leq 6 \times 98$, c’est à dire $n \leq 588$.
    Ensuite, en additionnant les 6 nombres à deux chiffres et après réduction, on obtient :
    $n = 22 (a + b + c)$ (*)
    $n$ est donc un multiple de $22$ inférieur à $588$.
    En reprenant l’écriture décimale de $n$ : $100a + 10b + c = 22 (a + b + c)$.
    Donc, $99a + 9b = 21 (a + b + c)$ et par conséquent $ 33a + 3a = 7(a + b + c)$, soit $3(11a + b) = 7(a + b + c)$. D’où l’on déduit que $(a + b + c)$ est divisible par $3$.
    Ce qu signifie d’après (*), que $n$ est un multiple de $66$, inférieur à $588$, dont tous les chiffres sont deux à deux distincts et différents de $0$.
    Il y a donc 6 candidats : $132, 198, 264, 396, 462, 528$.
    Et seuls $132, 264, 396$ vérifient la condition souhaitée.
    Remarque : je constate qu’il s’agit de multiples de $132$, il devait donc être possible de justifier que $n$ est divisible par $4$, ou ce qui est équivalent, que $a + b + c$ est un nombre pair. Mais, je n’ai pas trouvé comment faire...

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