Un défi par semaine

Avril 2019, 4e défi

Le 26 avril 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (18)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 17

Trouver tous les nombres à trois chiffres (tous distincts et différents de $0$) égaux à la somme de tous les nombres à deux chiffres que l’on peut former avec les chiffres du nombre initial.

Solution du 3e défi d’avril :

Enoncé

La réponse est $6$.
On peut factoriser l’expression $n^3 - n$ sous la forme $n^3 - n = (n-1)n(n+1).$
Ainsi, tous les éléments de $A$ s’écrivent comme produit de trois nombres entiers consécutifs. Comme il y a nécessairement parmi eux un multiple de $3$ et un nombre pair, on sait que leur produit est un multiple de $6$.

Ainsi, tous les éléments de $A$ sont des multiples de $6$. Comme, par ailleurs, $A$ contient $6 = 2^3 - 2$, on en déduit que le plus grand diviseur commun à tous les éléments de $A$ est $6$ lui-même.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2019, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Arvind Singh, CNRS Orsay

Commentaire sur l'article

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  • Avril 2019, 4e défi

    le 26 avril 2019 à 18:30, par CAMI

    Soit n=100*a+10*b+c et a=1pour n minimum.
    100*a+10*b+c=12*(a+b+c)
    88*a=11*c+2*b
    2*b=11*(8*a-c) a une solution b=0 a=1 c=8 mais non valide car b doit être différent de 0.
    Donc pas de solution au problème possé ?

    Répondre à ce message

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