Un défi par semaine

Avril 2020, 1er défi

Le 3 avril 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 14

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres entiers supérieurs ou
égaux à $1$, inférieurs ou égaux à $10$ et différents entre eux.
Quelle est la valeur maximale que le nombre $a(b+c) - b(a+c)$ peut prendre ?

Solution du 4e défi de mars :

Enoncé

Soit $n$ un tel nombre, et notons $s$ la somme de ses chiffres.

Comme on a $1000 \leq n \leq 9999$ et $n = s^3$, alors $10\leq s \leq 21$.

Si $n = abcd$, avec $a$, $b$, $c$ et $d$ les chiffres de $n$, on a :
$1000a + 100b + 10c + d = s^3$ et $a + b + c + d = s$.

En retranchant la deuxième équation à la première, on obtient
\[999a + 99b + 9c = s^3 - s= (s - 1) s (s + 1)\]
ce qui implique que $(s - 1) s (s + 1)$ est un multiple de $9$.

Puisque $s-1$, $s$ et $s+1$ sont trois nombres consécutifs, un des trois doit être un multiple de $9$.
Les seules possibilités sont alors $s= 10, 17, 18$ ou $19$.

  • Si $s=10$, on en déduit que $n=10^3=1000$ et la somme de ses chiffres ne fait pas $10$.
  • Si $s=17$, on en déduit que $n =17^3= 4913$ et la somme de ses chiffres vaut bien $17$. On a alors trouvé une solution.
  • Si $s=18$, on en déduit que $n=18^3 = 5832$ et la somme de ses chiffres vaut bien $18$. On a trouvé une autre solution.
  • Si $s=19$, on en déduit que $n=19^3=6859$ et la somme de ses chiffres ne fait pas $19$.

Finalement, les solutions sont $4913$ et $5832$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2020, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

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  • AVIGATOR FORTUNER / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Avril 2020, 1er défi

    le 3 avril 2020 à 08:15, par Gérard JONEAUX

    a (b+c) - b (a + c) peut également s’écrire c (a-b)
    On a donc intérêt à ce que b soit le plus petit possible, ce qui nous débarrasse du nombre 1.
    c et a vont donc se disputer les nombres les plus élevés, 9 et 10.
    je propose :
    a = 10
    b = 1
    c = 9
    ce qui donne la valeur 81

    Répondre à ce message
    • Avril 2020, 1er défi

      le 3 avril 2020 à 11:47, par Mihaela J

      Même solution.

      Par contre un autre raisonnement :

      (a+b)c - b(a+c) = ac - bc = c(a - b)
      est l’expression à maximiser.
      Si c= 10, a-b maximal pour a= 10 et b=1, mais on ne retient pas la solution car a=c.
      si c = 9, a-b maximal pour a=10 et b= 1. Et c’est la solution retenue.

      Répondre à ce message

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