Un défi par semaine

Avril 2020, 3e défi

Le 17 avril 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 16

Trois boules numérotées $1$, $2$ et $3$ sont dans un sac. On tire une boule au hasard, on note son numéro et on la remet dans le sac.
Après avoir fait trois tirages, quelle est la probabilité que la somme des trois nombres notés soit strictement plus petite que $8$ ?

Solution du 2e défi d’avril :

Enoncé

Comme tous les exposants dans le polynôme
$x^6-16x^4+16x^2-1$ sont pairs, prenons $y=x^2$.

Nous avons donc
l’équation
\[y^3-16y^2+16y-1=0,\]
qui a une racine évidente $y=1$.

L’équation peut donc se réécrire comme
\[y^3-16y^2+16y-1=(y-1)(y^2-15y+1).\]

Il nous reste à trouver les racines de $y^2 - 15y +1=0$. Les solutions de cette équation du second degré sont :

\[ y=\frac{15\pm\sqrt{15^2-4}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{221}}{2}, \]
que nous pouvons écrire :

$y=\frac{a \pm b}{2}$, avec $a=15$ et $b=\sqrt{221}$.

Puisque ces deux valeurs de $y$ sont positives, les quatre nombres suivants sont racines du polynôme initial :

$x_3=\sqrt{\frac{a+b}{2}}$, $x_4=-\sqrt{\frac{a+b}{2}}$, $x_5=\sqrt{\frac{a-b}{2}}$ et $x_6=-\sqrt{\frac{a-b}{2}}$.

Appelons $x_1=1$ et $x_2=-1$ les deux autres racines du polynôme initial.

Nous avons alors :

\[ \begin{eqnarray*} x_1^6 + x_2^6 + \cdots + x_6^6 & = & (1)^6 + (-1)^6 + 2\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 + 2\left(\frac{a-b}{2}\right)^3\\ & = & 2 + \frac{1}{4} ( (a+b)^3 + (a-b)^3 )\\ & = & 2 + \frac{1}{4}(2a^3 + 6ab^2)\\ & = & 2+\frac{1}{2} (a^3 +3ab^2). \end{eqnarray*} \]

Puisque $a=15$ et $b=\sqrt{221}$, nous avons $a^3=15\times 225$ et $3ab^2=15 \times 663$.

Ainsi,
\[ \begin{eqnarray*} 2+\frac{1}{2} (a^3 +3ab^2) & = & 2 + \frac{1}{2} (15\times 225 + 45\times 221)\\ & = & 2 + \frac{15}{2}(225+663)\\ & = & 2+ 15 \times 444=6662. \end{eqnarray*} \]

La solution est $6662$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - - AVIGATOR FORTUNER / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Avril 2020, 3e défi

    le 17 avril à 07:39, par Gérard JONEAUX

    Sur les 27 possibilités, toutes sont strictement inférieures à 8, sauf :
    2 3 3,
    3 2 3,
    3 3 2 et
    3 3 3
    La probabilité est donc 23 / 27

    Répondre à ce message
  • Avril 2020, 3e défi

    le 17 avril à 15:47, par Poss Jean-Louis

    Voir le PDF.

    Document joint : 20-04-17.pdf
    Répondre à ce message

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