Enoncé

Comme tous les exposants dans le polynôme
$x^6-16x^4+16x^2-1$ sont pairs, prenons $y=x^2$.

Nous avons donc
l’équation
\[y^3-16y^2+16y-1=0,\]
qui a une racine évidente $y=1$.

L’équation peut donc se réécrire comme
\[y^3-16y^2+16y-1=(y-1)(y^2-15y+1).\]

Il nous reste à trouver les racines de $y^2 - 15y +1=0$. Les solutions de cette équation du second degré sont :

\[ y=\frac{15\pm\sqrt{15^2-4}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{221}}{2}, \]
que nous pouvons écrire :

$y=\frac{a \pm b}{2}$, avec $a=15$ et $b=\sqrt{221}$.

Puisque ces deux valeurs de $y$ sont positives, les quatre nombres suivants sont racines du polynôme initial :

$x_3=\sqrt{\frac{a+b}{2}}$, $x_4=-\sqrt{\frac{a+b}{2}}$, $x_5=\sqrt{\frac{a-b}{2}}$ et $x_6=-\sqrt{\frac{a-b}{2}}$.

Appelons $x_1=1$ et $x_2=-1$ les deux autres racines du polynôme initial.

Nous avons alors :

\[ \begin{eqnarray*} x_1^6 + x_2^6 + \cdots + x_6^6 & = & (1)^6 + (-1)^6 + 2\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 + 2\left(\frac{a-b}{2}\right)^3\\ & = & 2 + \frac{1}{4} ( (a+b)^3 + (a-b)^3 )\\ & = & 2 + \frac{1}{4}(2a^3 + 6ab^2)\\ & = & 2+\frac{1}{2} (a^3 +3ab^2). \end{eqnarray*} \]

Puisque $a=15$ et $b=\sqrt{221}$, nous avons $a^3=15\times 225$ et $3ab^2=15 \times 663$.

Ainsi,
\[ \begin{eqnarray*} 2+\frac{1}{2} (a^3 +3ab^2) & = & 2 + \frac{1}{2} (15\times 225 + 45\times 221)\\ & = & 2 + \frac{15}{2}(225+663)\\ & = & 2+ 15 \times 444=6662. \end{eqnarray*} \]

La solution est $6662$.