Enoncé

La réponse est $\dfrac{1}{9}$.

Il n’existe que six nombres à deux chiffres qui soient le carré d’un entier : $16$, $25$, $36$, $49$, $64$ et $81$.

Nous allons voir que, peu importe le nombre considéré, il existe un unique multiple de $11$ en ajoutant un chiffre à gauche du carré.

• Notons que $100$ donne un reste de $1$ en effectuant la division euclidienne par $11$.

Pour $200$, nous aurons un reste de $2$ ; pour $300$, un reste de $3$ et ainsi de suite jusqu’à $900$, qui donnera un reste de $9$.

• Puisque $16$ donne un reste de $5$, en lui ajoutant $600$, nous obtiendrons un multiple de $11$ (la somme des restes étant $5+6=11$).

$616$ est donc l’unique multiple de $11$ recherché.

Puisque $25$ donne un reste de $3$, il suffit de l’additionner à $800$ pour obtenir un multiple de $11$.

De la même manière, à $36$ il suffit d’ajouter $800$, à $49$ il faut ajouter $600$, à $64$ il faut ajouter $200$ et à $81$ il faut ajouter $700$ pour obtenir un multiple de $11$.

• Nous avons vu qu’un seul chiffre des centaines est possible pour obtenir un multiple de $11$ en partant de chaque carré à deux chiffres.

La probabilité demandée est donc de $\frac{1}{9}$.