Un défi par semaine

Avril 2021, 3e défi

Le 16 avril 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 16

Combien peut-on construire de triangles (non-plats) dont les trois sommets sont placés sur des points de la même couleur ?

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Solution du 2e défi d’avril :

Enoncé

La réponse est $(1,1,1)$, $(1,1,2)$ et $(1,2,3)$.

Comme $a\le b\le c$, on a $a+b\le 2c$.

De plus, $a+b$ est un multiple de $c$ donc, ou bien $a+b=c$, ou bien $a+b=2c$.

Si $a+b=2c$, comme on a $a\le c$ et $b\le c$, cela implique nécessairement que $a=c$ et $b=c$, donc $a=b=c$.

Comme ces trois nombres ne doivent pas avoir de diviseur premier en commun, on a nécessairement $a=b=c=1$.

Considérons maintenant le cas où $a+b=c$.

Les trois entiers $a$, $b$ et $c$ sont alors deux à deux premiers entre eux, car tout diviseur commun à deux de ces entiers est diviseur du troisième en utilisant la relation $a+b=c$.

Mais chacun des entiers $a$, $b$ et $c$ divise la somme $a+b+c$, donc le produit d’entiers premiers entre eux $abc$ aussi.

On obtient donc que $abc$ divise $a+b+c\le 3c$ et donc $ab\le3 $.

Si $a=b=1$, comme $c$ doit diviser $a+b=2$, $c$ peut prendre les valeurs $1$ ou $2$.

Si $a=1$ et $b=2$, alors seul $c=3$ convient.

Si $a=1$ et $b=3$, il n’y a pas de solutions possibles (car $c$ divise $4$, donc ne peut prendre que la valeur $4$, mais alors $b=3$ ne divise pas $a+c=5$).

Finalement, seuls les triplets $(1,1,1)$, $(1,1,2)$ et $(1,2,3)$ conviennent.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2021, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

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  • Avril 2021, 3e défi

    le 16 avril 2021 à 11:09, par Christophe Boilley

    La question qui vient juste après, bien sûr, c’est le nombre de triangles non plats avec des sommets sur les points colorés qui ne sont pas monochromes.

    Répondre à ce message

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