Un défi par semaine

Avril 2021, 3e défi

Le 16 avril 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 16

Combien peut-on construire de triangles (non-plats) dont les trois sommets sont placés sur des points de la même couleur ?

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Solution du 2e défi d’avril :

Enoncé

La réponse est $(1,1,1)$, $(1,1,2)$ et $(1,2,3)$.

Comme $a\le b\le c$, on a $a+b\le 2c$.

De plus, $a+b$ est un multiple de $c$ donc, ou bien $a+b=c$, ou bien $a+b=2c$.

Si $a+b=2c$, comme on a $a\le c$ et $b\le c$, cela implique nécessairement que $a=c$ et $b=c$, donc $a=b=c$.

Comme ces trois nombres ne doivent pas avoir de diviseur premier en commun, on a nécessairement $a=b=c=1$.

Considérons maintenant le cas où $a+b=c$.

Les trois entiers $a$, $b$ et $c$ sont alors deux à deux premiers entre eux, car tout diviseur commun à deux de ces entiers est diviseur du troisième en utilisant la relation $a+b=c$.

Mais chacun des entiers $a$, $b$ et $c$ divise la somme $a+b+c$, donc le produit d’entiers premiers entre eux $abc$ aussi.

On obtient donc que $abc$ divise $a+b+c\le 3c$ et donc $ab\le3 $.

Si $a=b=1$, comme $c$ doit diviser $a+b=2$, $c$ peut prendre les valeurs $1$ ou $2$.

Si $a=1$ et $b=2$, alors seul $c=3$ convient.

Si $a=1$ et $b=3$, il n’y a pas de solutions possibles (car $c$ divise $4$, donc ne peut prendre que la valeur $4$, mais alors $b=3$ ne divise pas $a+c=5$).

Finalement, seuls les triplets $(1,1,1)$, $(1,1,2)$ et $(1,2,3)$ conviennent.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2021, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

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  • Avril 2021, 3e défi

    le 21 avril 2021 à 21:23, par drai.david

    Bonsoir,
    si je n’ai pas fait d’erreur, voici la réponse à votre problème :
    $ $
    • Il doit y avoir 8 points de chaque couleur.
    $ $
    • Il existe alors 16 dispositions possibles :
    type 1 :
    – 6 telles que chaque ligne est monochrome ;
    – 6 telles que chaque colonne est monochrome ;
    $ $
    type 2 : 4 de la forme :
    $ $
    $ $ 1000
    $ $ 1101
    $ $ 1011
    $ $ 0001
    $ $
    À partir de celle-ci, on en obtient une autre par symétrie d’axe horizontal (ou vertical) ;
    On obtient les deux dernières en échangeant les 0 et les 1 des deux précédentes.
    $ $
    • Dans ces 16 configurations, on peut tracer 420 triangles bicolores.

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