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Un défi par semaine

Avril 2014, 2ème défi

Le 11 avril 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 15 :

On souhaite ajouter à droite du nombre $579$ trois chiffres de manière à ce que le nombre obtenu soit divisible par $5$ et par $9$. Combien de tels triplets de nombres peut-on ajouter ?

Solution du 1er défi d’Avril

Enoncé

La réponse est $27$.

Les égalités $a=2b=3c=4d=6e$ impliquent que $a$ est un multiple de $2$, $3$, $4$ et $6$. Il s’ensuit que $a$ doit être un multiple du plus petit commun multiple de $2$, $3$, $4$ et $6$, qui est égal à $12$, de sorte que $a=12k$, pour un certain entier $k\geq 1$. Avec cette notation, on a $b=6k$, $c=4k$, $d=3k$, $e=2k$ et
\[ a+b+c+d+e=12k+6k+4k+3k+2k=27k. \]
Comme $k\geq1$, on a alors $a+b+c+d+e \geq 27$, avec $a=12$, $b=6$, $c=4$, $d=3$ et $e=2$ on obtient la plus petite valeur possible.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de avril, Les lacs de Wada par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2014, 2ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les lacs de Wada, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Avril, 2ème défi

    le 11 avril 2014 à 09:03, par Lina

    Réponse 22

    Soit par épuisement des cas (divisibilité par 5 et par 9)

    Soit par dénombrement des multiples de 45 entre 579000 et 579999

    Répondre à ce message

    • Avril, 2ème défi

      le 11 avril 2014 à 18:08, par Fabien Lange

      Et (un tout petit peu) moins facile :
      même intervalle mais en cherchant ceux divisibles par 5 ou par 9 ? :)

      Répondre à ce message

  • Avril, 2ème défi

    le 11 avril 2014 à 22:43, par Lina

    Première méthode

    579ab0 ou 579ab5 pour diviser par 5

    1er cas a+b=6 ou a+b=15 pour diviser par 9

    2eme cas a+b=1 ou a+b=10 pour diviser par 9

    Deuxième méthode

    12867*45=579015 et 12888*45=579960 premier et dernier multiple de 45 dans l’intervalle

    Répondre à ce message

  • Avril, 2ème défi

    le 12 avril 2014 à 17:51, par ROUX

    Je détaille la deuxième méthode de la réponse de Lina.

    Donc, si 579TRUCMUCHE est divisible par 5, c’est qu’il est multiple de 5 et donc 597TRUCMUCHE = 5*k où k est en entier.
    Mais 5*k doit être divisible aussi par 9 donc, puisque 5 n’est clairement pas divisible par 9, k doit être divisible par 9 et alors k est un multiple de 9 donc k = 9*k’ ce qui donne 579TRUCMUCHE=5*9*k’.

    Ainsi, chercher 579TRUCMUCHE divisible par 5 et 9, c’est chercher 579TRUCMUCHE divisible par 45 (5*9=45).

    579000/45=12866 + un reste. Donc le premier nombre divisible par 45 est 579015=12867*45.

    579999/45=12888 + un autre reste. Donc le dernier nombre divisible par 45 est 579960=12888*45.

    Il y a 12888-12866+1 multiples de 45 entre 579015 et 579960 soit 22.

    On aurait pu coder la réponse en écrivant : « X v’’là les flics » ou « Vous avez demandé le X à Asnières ».

    Répondre à ce message

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