Un défi par semaine

Avril, 3ème défi

Le 18 avril 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 16 :

Un quadruplet ordonné de chiffres $(a,b,c,d)$ est dit « centenaire », s’il satisfait $(10a+b)+(c+d)=(10c+d)+(a+b)=100$. Combien de quadruplets « centenaires » y a-t-il ?

Solution du 2ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est $22$ triplets.

En utilisant les critères de divisibilité, on va estimer les valeurs possibles des chiffres pour ensuite analyser chacune des possibilités.

Soit $a$, $b$ et $c$ trois chiffres et $p$ le nombre qui s’écrit $579abc$. Comme $p$ est divisible par 5, $c$ peut seulement prendre les valeurs 0 ou 5. Comme $p$ est divisible par 9, la somme de ses chiffres est aussi divisible par 9, c’est-à-dire que le nombre $x = 5+7+9+a+b+c = 21+a+b+c$ est divisible par 9.
De plus, comme $0\leq a\leq 9$, $0\leq b\leq 9$ et $c$ est $0$ ou $5$, on a
\[ 21\leq x\leq 21+9+9+5 = 44. \]
Ainsi, $x$ est égal à 27 ou 36, c’est-à-dire que la somme des chiffres de $p$ est 27 ou 36.

  • Supposons $c=0$. On a alors $x= 21+a+b = 27$ ou $x= 21+a+b = 36$.

Dans le premier cas $a+b = 6$, alors $(a,b)$ peut être égal à $(0,6)$, $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$, $(6,0)$. Cela veut dire qu’il y a 7 nombres possibles.

Dans le deuxième cas $a+b = 15$, ce qui implique quatre possibilités pour la paire $(a,b)$ : $(6,9)$, $(7,8)$, $(8,7)$ et $(9,6)$.

  • Supposons que $c=5$. On a alors $x=21+a+b+5=27$ ou $x=21+a+b+5=36$. Dans le premier cas $a+b=1$, de sorte qu’il y a deux possibilités pour $(a,b)$ : $(0,1)$ et $(1,0)$. Dans le deuxième cas $a+b=10$, on a neuf possibilités pour $(a,b)$ : $(1,9)$, $(2,8)$, $(3,7)$, $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$, $(7,3)$, $(8,2)$ et $(9,1)$.

Par conséquent, il y a $7+4+2+9=22$ triplets que l’on peut ajouter à droite de 579 pour que le nombre obtenu soit divisible par 5 et par 9.

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de avril, Les lacs de Wada par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les lacs de Wada, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • chiffres

    le 18 avril 2014 à 11:30, par AdrienK

    Je ne savais pas qu’on pouvait multiplier des chiffres par 10 et les additionner. Peut-être vouliez-vous parler de (nombres) entiers compris entre 0 et 9 ? (ou de nombres à 1 chiffre ?)

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  • Avril, 3ème défi

    le 20 avril 2014 à 18:25, par Daniate

    Certes, et l’erreur confondant chiffre et nombre est largement répandue et doit être combattue par les profs de maths mais ici, elle peut être comprise comme un abus de langage pour clarifier l’énoncé.

    Réponse : aucune solution si l’ordre est croissant, une solution si l’ordre est décroissant.

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  • Avril, 3ème défi

    le 21 avril 2014 à 17:16, par ROUX

    Alors voici (car voici désigne ce qui suit) : j’en avais trouvé neuf avant de constater que je n’avais pas vu le mot « ordonné ».

    Mais quand j’ai été farfouillé dans La Matrice, je n’ai pas compris qu’un quadruplet ordonné signifiait que les termes qui se lisaient consécutivement étaient de plus en plus grands ou de plus en plus petits : j’ai en effet trouvé des quadruplets ordonnés de droites (page 19)... Et des droites ne peuvent pas être plus ou moins grandes les unes par rapport aux autres.

    Alors, qu’est-ce qu’un quadruplet ordonné par rapport à un quadruplet qui ne le serait pas ?

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  • Avril, 3ème défi

    le 21 avril 2014 à 18:23, par Daniate

    En effet, un quadruplet est une liste de 4 éléments qu’on ne peut pas permuter. En ce sens, tout quadruplet est ordonné : 1er terme, 2ème terme,... mais lorsqu’on me parle de quadruplet ordonné de nombres à un chiffre, la redondance me pousse à supposer que ce sont les nombres qui sont ordonnés.

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  • Avril, 3ème défi

    le 22 avril 2014 à 14:22, par ROUX

    Oui, je comprends.

    Mais, pour moi qui ne suis pas mathématicien, le travail à faire pour trouver les neuf quadruplets était suffisamment intéressant pour que cela ne vaille pas la peine de rajouter la contrainte d’une relation d’ordre entre les quatre chiffres.

    L’ajout de la relation d’ordre, ce serait juste permettre de dire à un gars comme moi qui aurait trouvé les neuf quadruplets : « Et bah non, nanananère, parce que a doit être plus petit(grand) que b qui doit être plus petit(grand) que, etc. » ce qui ne provoquerait chez moi qu’une immense lassitude...

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    • Avril, 3ème défi

      le 22 avril 2014 à 15:06, par Daniate

      Rassurez-vous, je reconnais la valeur de vos efforts et les 9 réponses font suite à un travail qui, je l’espère, ont su procurer le plaisir de la recherche au non-matheux que vous dites être. Ma remarque précédente n’avait pour but que de vous renseigner sur la notion de quadruplet et il est fort possible que l’auteur du défi n’est ajouté le mot ordonné que pour enfoncer le clou ( de même que l’ancien prof de math que je suis disait régulièrement « entier naturel » à ses élèves, alors que tous les naturels sont des entiers). Votre réponse serait alors tout à fait valable.

      Aviez vous remarqué que les 2 premiers membres de la double égalité se réduisaient à 9a=9c et donc a=c, puis qu’il ne restait que l’égalité 11a+b+d=100, comme b+d<=18 alors 11a>=82 soit a=8 ;b+d=12 soit a=9 ;b+d=1 ?

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      • Avril, 3ème défi

        le 22 avril 2014 à 15:08, par Daniate

        Prière de corriger « n’est ajouté » par « ait ajouté »

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      • Avril, 3ème défi

        le 22 avril 2014 à 15:36, par ROUX

        Oui, c’est exactement la méthode que j’ai utilisée.

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