Un défi par semaine

Avril, 4ème défi

Le 25 avril 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 17 :

Quel est l’entier le plus grand qui divise la somme des carrés de
trois nombres pairs consécutifs quelconques ?

Solution du 3ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est 9 quadruplets.

Soit $(a,b,c,d)$ un quadruplet « centenaire ». Alors

$(10a+b)+(c+d)=(10c+d)+(a+b)=100,$

c’est-à-dire $10a+c=10c+a=100-(b+d)$. On en déduit $a=c$, et $11a=100-(b+d)$.
Comme $b+d \leq 18$, on a $11a \geq 100-18=82$, d’où $a\geq 8$.

On a deux cas :

  1. Si $a=c=8$, on a alors $80+b+8+d=100$, d’où $b+d=12$. On obtient ainsi 7 quadruplets « centenaires » : $(8, 3, 8, 9)$ ; $(8, 4, 8, 8)$ ; $(8, 5,8, 7)$ ; $(8, 6,8, 6)$ ; $(8, 7,8, 5)$ ; $(8, 8,8, 4)$ et $(8, 9, 8, 3)$.
  2. Si $a=c=9$, on a alors $90+b+9+d=100$, d’où $b+d=1$. On obtient ainsi deux quadruplets « centenaires » : $(9, 0,9, 1)$ et $(9, 1,9, 0)$.

Par conséquent, il y a 9 quadruplets « centenaires ».

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de avril, Les lacs de Wada par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les lacs de Wada, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

  • Avril, 4ème défi

    le 25 avril 2014 à 08:35, par Daniate

    Tristement : 4

    Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 25 avril 2014 à 14:54, par ROUX

    Le plus grand est 4 ?

    Exemple : 8^2+10^2+12^2=64+100+144=308=1*2*2*7*11.

    Donc cette somme est divisible par elle-même (308) ou, juste plus petit, par 154... Qui sont tous les deux plus grands que 4...

    Est-ce que cette question ne serait pas assez mal posée (parce que le plus grand entier qui divise un entier est lui-même) ?

    Ou, est-ce que je ne l’ai pas du tout comprise ?

    Ana ?

    Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 25 avril 2014 à 15:24, par Daniate

    L’énoncé se termine par quelconque, c’est à dire le même diviseur pour tous les triplets de pairs consécutifs.

    J’espérais un nombre original, malheureusement il n’y a que 4 et ses diviseurs.

    Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 25 avril 2014 à 16:14, par ROUX

    Ok !
    J’avais mal compris la question bien posée.
    Merci !

    Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 28 avril 2014 à 21:48, par Pierre stro

    Bonjour, je suis élève en terminale scientifique et je pense avoir trouvé une réponse à ce défi.

    Prenons trois entiers pairs consécutifs quelquonques et nommons les (n-2), n, (n+2).
    La somme des carrés s’écrit alors :
    S=(n-2)²+n²+(n+2)²=n²-2n+4+n²+n²+2n+4=3n²+8

    Or, n est pair, donc n est congru à 0(2)
    ainsi, n² est aussi congru à 0(2)
    3n² est congru à 0(2)
    comme 8 est congru à 0(2), par somme, 3n²+8 est congru à 0(2). On en conclut que S est divisible par 8 pour tout entier n quelconque.

    On montre de même qu’il n’existe pas d’entier plus grand que 8 qui divise S :
    pour n=0, S=(-2)²+0²+2²=8 , et, par définition, S ne saurait être divisée par un entier plus grand qu’elle-même.

    Répondre à ce message
    • Avril, 4ème défi

      le 28 avril 2014 à 22:16, par Pierre stro

      Veuillez m’excuser du double poste, mais j’ai fait deux erreurs : une dans le développement (2n au lieu de 4n) mais cela n’influence pas le résultat, et une autre sur les congruences :

      En effet, n est congru à 0 ;2 ;4 ou 6(8) (et non modulo 2)
      donc n² est congru à 0 ;4 ;16 ou 36(8) donc respectivement à 0 ;4 ;0 ou 4(8). Et 3n² est donc congru à 0 ou 12(8) donc à 0 ou 4(8).
      On cherche donc le PGCD de 3n²+8 : comme nous l’avons vu, 3n² est congru à 0(8) ou 4(8) donc peut s’écrire sous la forme 8k ou 8k+4.

      PGCD (8k ;8) = 8, et par des divisions euclidiennes, on trouve PGCD(8k+4 ;8)=4.

      En conclusion, le plus grand nombre qui divise S dans tous les cas possible est 4.

      Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 29 avril 2014 à 00:19, par Daniate

    J’ai mené ce calcul en factorisant 4. La somme (en posant n=2p) devient 4((p-1)²+p²+(p+1)²)=4(3p²+2). 4 devient diviseur évident. Un autre diviseur universel diviserait 3p²+2 pour tout p entre autre 5 (p=1) et 12 (p=2) premiers entre eux.

    Toutefois, cet argument est inutile. Le contraire de « pour tout » est « il existe au moins un qui ne .... ». Avec cette remarque il suffit de considérer la plus petite somme 2²+4²+6²=56 et la suivante 4²+6²+8²=56-4+64=56+60. le diviseur cherché doit diviser 56 et 60, or il n’y a que 4 et ses diviseurs

    Répondre à ce message

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