Un défi par semaine

Avril 2014, 4ème défi

Le 25 avril 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 17 :

Quel est l’entier le plus grand qui divise la somme des carrés de
trois nombres pairs consécutifs quelconques ?

Solution du 3ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est 9 quadruplets.

Soit $(a,b,c,d)$ un quadruplet « centenaire ». Alors

$(10a+b)+(c+d)=(10c+d)+(a+b)=100,$

c’est-à-dire $10a+c=10c+a=100-(b+d)$. On en déduit $a=c$, et $11a=100-(b+d)$.
Comme $b+d \leq 18$, on a $11a \geq 100-18=82$, d’où $a\geq 8$.

On a deux cas :

  1. Si $a=c=8$, on a alors $80+b+8+d=100$, d’où $b+d=12$. On obtient ainsi 7 quadruplets « centenaires » : $(8, 3, 8, 9)$ ; $(8, 4, 8, 8)$ ; $(8, 5,8, 7)$ ; $(8, 6,8, 6)$ ; $(8, 7,8, 5)$ ; $(8, 8,8, 4)$ et $(8, 9, 8, 3)$.
  2. Si $a=c=9$, on a alors $90+b+9+d=100$, d’où $b+d=1$. On obtient ainsi deux quadruplets « centenaires » : $(9, 0,9, 1)$ et $(9, 1,9, 0)$.

Par conséquent, il y a 9 quadruplets « centenaires ».

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de avril, Les lacs de Wada par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Avril 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les lacs de Wada, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Avril, 4ème défi

    le 28 avril 2014 à 22:16, par Pierre stro

    Veuillez m’excuser du double poste, mais j’ai fait deux erreurs : une dans le développement (2n au lieu de 4n) mais cela n’influence pas le résultat, et une autre sur les congruences :

    En effet, n est congru à 0 ;2 ;4 ou 6(8) (et non modulo 2)
    donc n² est congru à 0 ;4 ;16 ou 36(8) donc respectivement à 0 ;4 ;0 ou 4(8). Et 3n² est donc congru à 0 ou 12(8) donc à 0 ou 4(8).
    On cherche donc le PGCD de 3n²+8 : comme nous l’avons vu, 3n² est congru à 0(8) ou 4(8) donc peut s’écrire sous la forme 8k ou 8k+4.

    PGCD (8k ;8) = 8, et par des divisions euclidiennes, on trouve PGCD(8k+4 ;8)=4.

    En conclusion, le plus grand nombre qui divise S dans tous les cas possible est 4.

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