Un défi par semaine

Avril 2014, 4ème défi

El 25 abril 2014  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (7)
Leer el artículo en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 17 :

Quel est l’entier le plus grand qui divise la somme des carrés de
trois nombres pairs consécutifs quelconques?

Solution du 3ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est 9 quadruplets.

Soit $(a,b,c,d)$ un quadruplet «centenaire». Alors

$(10a+b)+(c+d)=(10c+d)+(a+b)=100,$

c’est-à-dire $10a+c=10c+a=100-(b+d)$. On en déduit $a=c$, et $11a=100-(b+d)$.
Comme $b+d \leq 18$, on a $11a \geq 100-18=82$, d’où $a\geq 8$.

On a deux cas:

  1. Si $a=c=8$, on a alors $80+b+8+d=100$, d’où $b+d=12$. On obtient ainsi 7 quadruplets «centenaires» : $(8, 3, 8, 9)$; $(8, 4, 8, 8)$; $(8, 5,8, 7)$; $(8, 6,8, 6)$; $(8, 7,8, 5)$; $(8, 8,8, 4)$ et $(8, 9, 8, 3)$.
  2. Si $a=c=9$, on a alors $90+b+9+d=100$, d’où $b+d=1$. On obtient ainsi deux quadruplets «centenaires»: $(9, 0,9, 1)$ et $(9, 1,9, 0)$.

Par conséquent, il y a 9 quadruplets «centenaires».

Post-scriptum :

Pour en savoir plus sur l’image du mois de avril, Les lacs de Wada par Étienne Ghys et Jos Leys.

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Avril 2014, 4ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Les lacs de Wada, par Jos Leys

Comentario sobre el artículo

  • Avril, 4ème défi

    le 25 de abril de 2014 à 08:35, par Daniate

    Tristement: 4

    Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 25 de abril de 2014 à 14:54, par ROUX

    Le plus grand est 4?

    Exemple: 8^2+10^2+12^2=64+100+144=308=1*2*2*7*11.

    Donc cette somme est divisible par elle-même (308) ou, juste plus petit, par 154... Qui sont tous les deux plus grands que 4...

    Est-ce que cette question ne serait pas assez mal posée (parce que le plus grand entier qui divise un entier est lui-même)?

    Ou, est-ce que je ne l’ai pas du tout comprise?

    Ana?

    Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 25 de abril de 2014 à 15:24, par Daniate

    L’énoncé se termine par quelconque, c’est à dire le même diviseur pour tous les triplets de pairs consécutifs.

    J’espérais un nombre original, malheureusement il n’y a que 4 et ses diviseurs.

    Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 25 de abril de 2014 à 16:14, par ROUX

    Ok!
    J’avais mal compris la question bien posée.
    Merci!

    Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 28 de abril de 2014 à 21:48, par Pierre stro

    Bonjour, je suis élève en terminale scientifique et je pense avoir trouvé une réponse à ce défi.

    Prenons trois entiers pairs consécutifs quelquonques et nommons les (n-2), n, (n+2).
    La somme des carrés s’écrit alors :
    S=(n-2)²+n²+(n+2)²=n²-2n+4+n²+n²+2n+4=3n²+8

    Or, n est pair, donc n est congru à 0(2)
    ainsi, n² est aussi congru à 0(2)
    3n² est congru à 0(2)
    comme 8 est congru à 0(2), par somme, 3n²+8 est congru à 0(2). On en conclut que S est divisible par 8 pour tout entier n quelconque.

    On montre de même qu’il n’existe pas d’entier plus grand que 8 qui divise S :
    pour n=0, S=(-2)²+0²+2²=8 , et, par définition, S ne saurait être divisée par un entier plus grand qu’elle-même.

    Répondre à ce message
    • Avril, 4ème défi

      le 28 de abril de 2014 à 22:16, par Pierre stro

      Veuillez m’excuser du double poste, mais j’ai fait deux erreurs : une dans le développement (2n au lieu de 4n) mais cela n’influence pas le résultat, et une autre sur les congruences:

      En effet, n est congru à 0;2;4 ou 6(8) (et non modulo 2)
      donc n² est congru à 0;4;16 ou 36(8) donc respectivement à 0;4;0 ou 4(8). Et 3n² est donc congru à 0 ou 12(8) donc à 0 ou 4(8).
      On cherche donc le PGCD de 3n²+8 : comme nous l’avons vu, 3n² est congru à 0(8) ou 4(8) donc peut s’écrire sous la forme 8k ou 8k+4.

      PGCD (8k;8) = 8, et par des divisions euclidiennes, on trouve PGCD(8k+4;8)=4.

      En conclusion, le plus grand nombre qui divise S dans tous les cas possible est 4.

      Répondre à ce message
  • Avril, 4ème défi

    le 29 de abril de 2014 à 00:19, par Daniate

    J’ai mené ce calcul en factorisant 4. La somme (en posant n=2p) devient 4((p-1)²+p²+(p+1)²)=4(3p²+2). 4 devient diviseur évident. Un autre diviseur universel diviserait 3p²+2 pour tout p entre autre 5 (p=1) et 12 (p=2) premiers entre eux.

    Toutefois, cet argument est inutile. Le contraire de «pour tout» est «il existe au moins un qui ne ....». Avec cette remarque il suffit de considérer la plus petite somme 2²+4²+6²=56 et la suivante 4²+6²+8²=56-4+64=56+60. le diviseur cherché doit diviser 56 et 60, or il n’y a que 4 et ses diviseurs

    Répondre à ce message

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.