Axiome d’inverse en théorie des groupes

Le 17 décembre 2009  - Ecrit par  Joël Merker Voir les commentaires

Argument

Ce billet à la fois léger et sérieux propose un extrait ciblé, adapté
et remanié du livre :

«  Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de
Riemann-Helmholtz
 »

à paraître en 2010
([J]). Moins à la mode de nos jours en France que,
disons, la dynamique holomorphe avec ses arabesques chamarrées et
dentelées, la théorie des groupes continus locaux de
transformations
a été érigée entre 1873 et 1899 par le mathématicien
norvégien Sophus
Lie [1]
comme un « continent mathématique nouveau surgi de sa pensée ». Plus de six
mille pages publiées en trente années par un seul
homme ! [2]

Irrigation en France

Au-delà de Leipzig avec les travaux de
Friedrich
Engel [3]
et de Gehrard Kowalewki, la théorie des groupes continus de
transformations s’est ensuite aussi développée en France de 1890
jusqu’à la fin des années 1930, grâce à l’intérêt que Henri
Poincaré
portait aux fondements de la géométrie, et surtout grâce
aux relais scientifiques que Gaston Darboux, Camille Jordan et Jules
Tannery fournissaient à Paris. Leurs travaux en géométrie et en
théorie des groupes de substitutions les avaient bien entendu
convaincus de l’intérêt de ce nouveau « continent
d’origine norvégienne expatrié à Leipzig »,
et c’est pourquoi ils ont incité plusieurs élèves de l’École Normale
Supérieure à passer un an à Leipzig au contact de Lie, en particulier
Jules Drach, Arthur Tresse et surtout Ernest Vessiot et
Élie Cartan, les deux continuateurs principaux de Lie. Pour la petite
histoire, voici un extrait d’une allocution d’Élie Cartan.

[...] Nous avons la grande joie de voir sortir de l’École
Normale
des générations
successives de brillants mathématiciens ; nous sommes assurés ainsi
qu’elle n’abdique pas le rôle de pépinière des mathématiques qu’elle
joue depuis longtemps et qui inspira autrefois à Sophus Lie l’idée de
lui dédier son grand traité sur la théorie des groupes. Et puisque,
par une pensée touchante, le fils de Sophus Lie a voulu marquer ce
Jubilée par l’envoi du buste de son
père [4]
ne serait-il pas naturel que la place de ce buste soit à la
bibliothèque des Sciences de l’École Normale ? Il rappellerait aux
promotions successives à la fois le grand mathématicien norvégien et
les normaliens qui ont été ses élèves à Leipzig, les Vessiot, les
Tresse, les Drach ([A], p. 278).

Beauté des œuvres systématiques

Du point de vue du grand public auquel s’adresse le site « Image des
Mathématiques », ce billet sera peut-être l’occasion de démontrer qu’il
n’est pas impossible de féconder encore les problématiques
contemporaines au contact des œuvres systématiques du dix-neuvième
siècle. D’un point de vue plus « littéraire », la Theorie der
Transformationsgruppen
, monument en trois volumes de plus de 2000
pages ([B], [C],
[D]) qu’Engel avait fini de
rédiger à 32 ans sous la direction de Lie, pourrait éventuellement
accéder au rang de classique intemporel du corpus mathématique,
si elle était traduite en anglais, relue et appréciée à sa juste valeur.

Théorème principal

Mais ce billet sera surtout l’occasion de redémontrer un théorème
incontestable en soi
et bien connu de tous : « Le maître » (en
l’occurrence ici Sophus Lie) « a toujours raison ».

Évariste Galois permutait des racines

Dans les années 1873 à 1880, l’idée fixe de Sophus Lie était d’ériger,
dans le domaine des continua $n$-dimensionnels, une théorie qui
corresponde à la théorie de Galois des substitutions des racines d’une
équation algébrique et qui lui soit en tout point analogue. Or un
difféomorphisme analytique local quelconque d’une variété de dimension
$n$ peut être considéré comme effectuant une permutation
(différentiable) entre tous les points considérés, car en particulier,
un difféomorphisme, c’est une bijection. Ainsi, bien que les
difféomorphismes agissent sur un ensemble de cardinal infini (non
dénombrable), ils sont les analogues continus des
permutations discontinues
d’un ensemble fini.

Principe de raison suffisante et économie des axiomes

Soit donc :
[
x ’
=
f(x ;\,a_1,\dots,a_r)
= :
f_a(x)
]
une famille de difféomorphismes locaux analytiques paramétrée par un
nombre fini $r$ de paramètres $(a_1, \dots, a_r)$. Pour Sophus Lie, le
seul axiome de groupe vraiment significatif est celui qui demande
qu’une telle famille soit fermée par composition, à savoir que
l’on ait toujours :
[
f_a\big(f_b(x)\big)
\equiv
f_c(x),
]
pour un certain $c$ qui dépend de $a$ et de $b$, mais avec une
restriction de localité afin d’assurer qu’une telle composition ait un
sens. C’est bien cette propriété qu’ont les mouvements des corps
rigides dans l’espace : la composition est évidente, et les retours en
arrière sont évidemment permis. En s’inspirant de sa connaissance du
Traité des substitutions de Jordan, Lie s’est alors demandé au
tout début de ses recherches s’il était possible d’ économiser
les deux autres axiomes standard de la structure de groupe : l’axiome
d’existence d’un élément identité, et l’axiome d’existence d’un
inverse pour tout élément du groupe.

Assertion.
([F])
Soit $H$ un sous-ensemble quelconque d’un groupe abstrait $G$
dont le cardinal est fini : ${\rm Card}\, H < \infty$, et qui est
fermé par composition :
[
h_1 h_2\in H
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\rm toutes\
\rm les\
\rm fois\
\rm que
\ \ \ \ \ \ \
h_1,\,h_2\in H.
]
Alors $H$ contient l’élément identité $e$ de $G$ et tout élément $h \in H$ possède un inverse dans $H$, de telle sorte que $H$ lui-même
est un vrai sous-groupe de $G$.

Preuve.
En effet, soit $h \in H$ arbitraire. La suite infinie $h, h^2, h^3, \dots, h^k, \dots$ d’éléments de l’ensemble fini $H$ doit
nécessairement devenir périodique : $h^a = h^{ a + n}$ pour un certain
$a \geqslant 1$ et pour un certain $n \geqslant 1$, d’où $e = h^n$,
donc $e \in H$ et $h^{ n - 1}$ est l’inverse de $h$.

Éliminer l’axiome d’inverse pour les groupes continus

Dans ses travaux pionniers des années 1873 à 1880 et aussi dans la
Theorie der Transformationsgruppen qu’Engel a rédigée sous sa
direction entre 1884 et 1893, Lie est parvenu à transférer tous
les concepts de la théorie des groupes de substitutions
(Galois, Serret, Jordan) du discontinu
vers le continu : loi de groupe, actions de groupe, sous-groupes,
sous-groupes normaux, groupe quotient, classification à conjugaison
près, groupe adjoint, représentation adjointe, formes normales,
(in)transitivité, (im)primitivité, prolongement holoédrique,
prolongement mériédrique, asystaticité
, etc. Le principe de
raison suffisante (Leibniz) suggère alors naturellement qu’au
fondement même de la théorie générale, l’ élimination des deux
axiomes
concernant l’élément identité et l’existence d’inverses soit
aussi possible dans l’univers des groupes continus finis de
transformations. Pendant plus de dix années, Lie a en effet été
convaincu qu’une assertion purement similaire à celle énoncée
ci-dessus devait être vraie dans le domaine du continu, avec $G = {\rm Diff }_n$ le pseudo-groupe (infini, continu) des difféomorphismes
locaux de $\mathbb{C}^n$ (ou de $\mathbb{R}^n$) et en prenant pour $H \subset {\rm Diff }_n$ une collection finiment paramétrée d’équations
de transformations $x' = f ( x; \, a)$ qui est stable par
composition.

Citons un extrait du premier mémoire systématique de Lie, paru en 1880
aux Mathematische Annalen ([S])


Comme on le sait, on montre dans la théorie des substitutions que les
permutations d’un groupe de substitutions peuvent être ordonnées en
paires de permutations inverses l’une de l’autre. Mais comme la
différence entre un groupe de substitutions et un groupe de
transformations réside seulement dans le fait que le premier contient
un ensemble fini, et le second un ensemble infini d’opérations, il est
naturel de conjecturer que les transformations d’un groupe de
transformations puissent aussi être ordonnées par paires de
transformations inverses l’une de l’autre. Dans des travaux
antérieurs, je suis parvenu à la conclusion que tel devrait être le
cas. Mais comme au cours de mes investigations en question, certaines
hypothèses implicites se sont introduites au sujet des fonctions
qui apparaissent, je pense alors qu’il est nécessaire d’ ajouter
expressément l’exigence que les transformations du groupe puissent
être ordonnées par paires de transformations inverses l’une de
l’autre
. En tout cas, je conjecture que cette exigence est une
condition nécessaire de ma définition originale du concept
[Begriff] de groupe de transformations. Toutefois, il m’a été
impossible de démontrer cela en général.

L’élève Engel trouve rapidement un contre-exemple

Cependant, en 1884, dans sa toute première année de travail de
rédaction en collaboration, Engel proposa un contre-exemple à cette
conjecture de Lie. Considérons en effet la famille d’équations de
transformations :
[
x’
=
\zeta\,x,
]
où $x, \, x' \in \mathbb{C}$ sont les coordonnées de l’espace-source
et de l’espace-image, et où le paramètre $\zeta \in \mathbb{C}$ est
restreint à $\vert \zeta \vert < 1$. Évidemment, cette famille est
fermée par composition, à savoir : lorsque $x' = \zeta_1 \, x$ et
lorsque $x'' = \zeta_2 \, x'$, la composition donne $x'' = \zeta_2 \, x' = \zeta_2 \zeta_1 x$, et elle appartient en effet à la famille en
question, puisque $\vert \zeta_2 \,\zeta_1 \vert < 1$ découle de
$\vert \zeta_1 \vert, \, \vert \zeta_2 \vert < 1$. Par contre, ni
l’élément identité, ni l’inverse de toute transformation
n’appartiennent à la famille ainsi définie.

Ce n’est pas un contre-exemple ! objecte Maître Lie

Comme on l’aura noté, cette proposition de contre-exemple n’est en
fait pas réellement convaincante. En effet, la condition $\vert \zeta \vert < 1$ est ici visiblement artificielle, puisque la famille se
prolonge en fait trivialement comme groupe complet des dilatations
$\big( x' = \zeta\, x \big)_{ \zeta \in \mathbb{C}}$ de la droite
complexe.

Construction d’un meilleur contre-exemple !

L’idée de Engel était d’en appeler à une application holomorphe univalente
$\omega : \Delta \to \mathbb{C}$ du disque unité $\Delta := \{ \zeta \in \mathbb{ C} \colon \vert \zeta \vert < 1 \}$ à valeurs dans $\mathbb{ C}$
qui possède le cercle unité $\{ \vert \zeta \vert = 1 \}$ comme
coupure
, à savoir : $\omega$ ne peut être prolongée holomorphiquement
au-delà d’aucun point $\zeta_0 \in \partial \Delta = \{ \vert \zeta \vert = 1 \}$ du bord du disque unité [5].

Désignons alors par $\lambda \longmapsto \chi ( \lambda) =: \zeta$ l’inverse d’une telle
application, et considérons la famille d’équations de transformations :
[
\big(
x’
=
\chi(\lambda)\,x
\big)_\lambda\in\Lambda.
]
Par construction, $\vert \chi ( \lambda) \vert < 1$ pour tout $\lambda \in \Lambda$. Toute composition de $x' = \chi ( \lambda_1) \, x$ et de
$x'' = \chi ( \lambda_2) \, x'$ est de la forme $x'' = \chi ( \lambda) \, x$, avec le paramètre défini
de manière unique $\lambda := \omega \big( \chi ( \lambda_1)\, \chi ( \lambda_2) \big)$, donc
l’axiome de composition de groupe est satisfait. Cependant, il n’y a à
nouveau pas d’élément identité, et à nouveau, aucune transformation ne
possède un inverse. Et de plus crucialement (et pour terminer), il
n’existe aucun prolongement de cette famille à un domaine plus grand
$\widetilde{ \Lambda} \supset \Lambda$ qui soit accompagné d’un
prolongement holomorphe $\widetilde{ \chi}$ de $\chi$ à $\widetilde{ \Lambda}$
de telle sorte que $\widetilde{ \chi} \big( \widetilde{ \Lambda} \big)$
contienne un voisinage de $\{ 1 \}$ (afin d’atteindre l’élément
identité), et même a fortiori, il n’existe aucun
prolongement holomorphe tel de $\chi$ à un voisinage de $\overline{ \Delta}$ (afin d’obtenir les inverses des transformations $x' = \chi( \lambda) \, x$ avec $\lambda \in \Lambda$ proche de $\partial \Lambda$).

Cacher ce contre-exemple dans le Grand Traité

Dans le volume I de la Theorie der Transformationsgruppen,
cet exemple apparaît seulement au Chapitre 9, pp. 163—165, et il est
écrit en petits caractères. Constatation frappante : pour des raisons de
pureté et de systématicité dans la pensée, la structure des neuf
premiers chapitres est organisée afin de faire
autant que possible l’économie de l’existence d’un élément identité et
de transformations inverses l’une de l’autre par paires. Ce choix
théorique complexifie considérablement la présentation de la théorie
fondamentale, pourtant censée être relativement facile d’accès
afin de toucher un public assez large de mathématiciens. Mais il est
bien connu que la meilleure qualité dans l’exposition des premiers
éléments d’un ouvrage et que les meilleurs choix stratégiques quant à
son organisation thématique, ne peuvent être atteints, paradoxalement,
qu’à la fin du processus de mise en forme dans son
ensemble. Impossible, donc, de demander au jeune et novice Friedrich
Engel (alors âgé de 23 ans) de faire prévaloir un point de vue
d’accessibilité et de simplicité dans la présentation. Au contraire,
l’objectif affirmé de son maître Sophus Lie était d’atteindre la plus
grande généralité, de s’élever le plus haut possible dans un tel
traité.

Rester à tout prix très systématique

Et malgré le contre-exemple du jeune Engel que nous venons de
détailler, Lie était quand même persuadé que l’analogie profonde de sa
théorie des groupes continus avec la théorie des groupes finis de
substitutions n’était pas, dans sa racine métaphysique profonde,
réellement remise en cause. Ainsi, toutes les fois que cela est
possible du point de vue abstrait de Lie, les énoncés des neuf
premiers chapitres de la Theorie der Transformationsgruppen
n’utilisent ni l’existence d’un élément identité, ni l’existence de
transformations inverses l’une de l’autre par paires.
Engel et Lie
étudient seulement les familles continues finies d’équations de
transformations $x_i' = f_i ( x; \, a_1, \dots, a_r)$, $i = 1, \dots, n$ qui sont fermées par composition, sans hypothèse supplémentaire :
grand degré d’abstraction et de
généralité [6].
En fait, à partir de cette
seule condition de fermeture par composition, Engel et Lie déduisent
que les équations finies $x_i' = f_i ( x; \, a)$ satisfont certaines
équations différentielles fondamentales.
C’est alors l’existence de telles équations
différentielles qu’ils prennent systématiquement comme hypothèse
principale, à la place de la fermeture par composition,
toujours sans élément identité et sans transformations
inverses.

Vaincre l’élève absolument

Le Théorème 26 est énoncé à la page 163 de [B]
et il est démontré tout juste avant
que n’apparaisse le contre-exemple de Engel, relégué au rang
d’illustration de la nécessité de faire des hypothèses spéciales. En
fait, ce théorème objecte une seconde fois à Engel que son
contre-exemple n’est pas véritablement un
vrai contre-exemple, puisqu’il suffirait
en fait de restituer les bonnes coordonnées $\zeta$ dans
l’espace des paramètres afin de retrouver un vrai groupe qui contient
l’identité et des transformations inverses l’une de l’autre par
paires. Pour être bref, le Théorème 26 va dire que quitte à
effectuer un changement de coordonnées dans l’espace des paramètres,
on pourra capturer l’identité et les inverses, et donc
alors avec ce
Théorème 26 [7],
le
contre-exemple de Engel est en fait magistralement vaincu en toute
généralité
 !

Persévérance métaphysique de Lie

Ainsi, c’est un théorème raffiné et subtil qui confirme la croyance
métaphysique de Lie, montre sa persévérance intellectuelle, et prouve
à nouveau sa remarquable force de conceptualisation.

Présentation technique (à ne pas lire ?) du Théorème 26

En résumé, le théorème de Maître Lie qui répond au contre-exemple de
l’élève Engel s’énonce techniquement comme suit. Soit :
[
x_i’
=
f_i (x ;\,a_1,\dots,a_r)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\scriptstyle(i\,=\,1\,\cdots\,n),
]
une collection de
transformations fermée par compositions locales. D’après le premier
théorème fondamental de la théorie, il existe un système d’équations
différentielles de la forme :
[
\frac\partial x_i’\partial a_k
=
\sum_j=1^r\,\psi_kj(a)\cdot\xi_ji(x’)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\scriptstyle(i\,=\,1\,\cdots\,n\, ;\,k\,=\,1\,\cdots\,r).
]
qui est satisfait identiquement par les fonctions $f_i ( x, a)$, où
les $\psi_{ kj}$ sont certaines fonctions analytiques des paramètres
$(a_1, \dots, a_r)$. Si l’on introduit alors les $r$ transformations
infinitésimales (champs de vecteurs) qui sont définies par :
[
\sum_i=1^n\,\xi_ki(x)\,\frac\partial f\partial x_i
= :
X_k(f)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\scriptstyle(k\,=\,1\,\cdots\,r),
]
et si l’on forme les équations finies :
[
x_i’
=
\exp\big(\lambda_1X_1+\cdots+\lambda_kX_k\big)(x)
= :
g_i(x ;\,\lambda_1,\dots,\lambda_r)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\scriptstyle(i\,=\,1\,\cdots\,n)
]
du groupe à $r$ paramètres qui est engendré par ces $r$
transformations infinitésimales, alors ce groupe contient l’élément
identité $g( x; \, 0)$ et ses transformations sont ordonnées par
paires inverses l’une de l’autre, puisque : $g(x; \, - \lambda) = g (x; \, \lambda)^{ -1}$. Enfin, le Théorème 26 en question énonce que dans
ces équations finies $x_i' = g_i ( x; \, \lambda)$, il est possible
d’introduire de nouveaux paramètres locaux $\overline{ a}_1, \dots, \overline{ a}_r$ à la place de $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ de
telle sorte que les équations de transformations qui en résultent :
[
x_i’
=
g_i\big(x ;\,\lambda_1(\overlinea),\dots,\lambda_r(\overlinea)\big)
= :
\overlinef_i
(x_1,\dots,x_n,\,\overlinea_1,\dots,\overlinea_r)
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\scriptstyle(i\,=\,1\,\cdots\,n)
]
représentent une famille de $\infty^r$ transformations qui embrasse,
après un prolongement analytique éventuel, toutes les $\infty^r$
transformations initiales :
[
x_i’
=
f_i(x_1,\dots,x_n,\,a_1,\dots,a_r).
]

Capturer des vérités supérieures

Ainsi Lie réalise-t-il et confirme-t-il son idée d’épuration
axiomatique. En répondant à Engel que l’on doit s’autoriser à changer
éventuellement de paramètres [8],
on peut toujours élargir le domaine initial d’existence pour capturer
l’identité et les transformations inverses. À la
contre-exemplification contrariante répond donc la dialectique
complexifiante de vérités supérieures qui doivent
être quêtées sans relâche.

Conclusion incontestable : Le maître a toujours raison !

[A]
Akivis, S. ; Rosenfeld, B.A. :
Élie Cartan (1869—1951),
Translations of mathematical monographs,
vol. 123, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993. xii+317 pp.

[B]
Engel, F. ; Lie, S. :
Theorie der transformationsgruppen. Erster Abschnitt. Unter
Mitwirkung von Dr. Friedrich Engel, bearbeitet von Sophus
Lie, B.G. Teubner, Leipzig, 1888. Reprinted by Chelsea Publishing
Co. (New York, N.Y., 1970).

[C]
Engel, F. ; Lie, S. :
Theorie der transformationsgruppen. Zweiter Abschnitt. Unter
Mitwirkung von Prof. Dr. Friedrich Engel, bearbeitet von Sophus
Lie, B.G. Teubner, Leipzig, 1890. Reprinted by Chelsea
Publishing Co. (New York, N.Y., 1970).

[D]
Engel, F. ; Lie, S. :
Theorie der transformationsgruppen. Dritter und Letzter
Abschnitt
. Unter Mitwirkung von Prof. Dr. Friedrich Engel,
bearbeitet von Sophus Lie, B.G. Teubner, Leipzig,
1893. Reprinted by Chelsea Publishing Co. (New York, N.Y., 1970).

[E]
Hawkins, T. :
Emergence of the theory of Lie groups, An essay in the
history of mathematics 1869—1926
, Sources and studies in the history
of mathematics and physical sciences, Springer-Verlag, Berlin, 2001,
xiii+564 pp.

[F]
Jordan, C. :
Traité des substitutions et des équations algébriques,
Gauthier-Villars, Paris, 1870. Nouveau tirage. Paris : Librairie
Scientifique & Technique Albert Blanchard XVIII, 667 pp., 1957.

[S]
Lie, S. :
Theorie der Transformationsgruppen, Math. Ann. 16 (1880),
441—528.

[J]
Merker, J. :
Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann-Helmholtz,
arxiv.org/abs/0910.0801/,
Hermann, Éditeur des Sciences et des Arts,
Paris, $\sim$320 pages, à paraître en 2010.

Post-scriptum :

La photo de Sophus Lie en logo vient du site Wikipédia.

Notes

[1En 1886, Klein accepte un poste de professeur à Göttingen (capitale
mathématique internationale de l’époque) et parvient à persuader Lie
de quitter sa patrie norvégienne adorée pour lui succéder à
Leipzig.

[2Mais les travaux de Lie ne
sont quasiment plus jamais cités, et son œuvre serait
vraisemblablement considérée comme un ensemble de mesure nulle par la
bibliométrie contemporaine.
Il n’en reste pas moins que lire Lie (je lis Lie) en allemand dans le
texte, c’est une satisfaction supérieure pour la pensée, sans compter
(soyons un tout petit peu polémique) qu’un
retour aux œuvres englouties par le temps permet facilement de
ridiculiser l’obsession stupide pour la performance au Citation
Index
 : en effet, si même les travaux des plus grands mathématiciens du
passé ne sont plus lus ou cités, qu’adviendra-t-il des nôtres dans
cinquante ans ? Ce ne sont assurément plus nos logiciels contemporains de
recherche bibliométrique qui feront autorité dans cet
avenir lointain, et certains
mathématiciens futurs auront peut-être autant de condescendance pour nos
productions actuelles que nous sommes tentés — hélas — d’en avoir pour
les œuvres mathématiques des temps
anciens.

[3Engel a commencé à travailler avec Lie
en septembre 1884 à Christiania
(Oslo), et en juin 1885, il retourne en Allemagne avec un manuscrit
d’une taille déjà conséquente. À Leipzig, il soutient son
Habilitationsschrift
sur les groupes de transformations et devient
chargé de cours,
Privatdozent.

[4Deux bustes imposants de Lie au regard altier et intimidant
trônent magistralement dans la salle de conférence du département de
mathématiques
d’Oslo.

[5Comme telle application, on peut utiliser n’importe quelle application de
type uniformisante de Riemann $\zeta \longmapsto \omega ( \zeta) =: \lambda$ qui établit un biholomorphisme du disque unité $\Delta$ sur un
domaine simplement connexe $\Lambda := \omega ( \Delta)$ dont le bord est
une courbe de Jordan nulle part localement analytique réelle. On peut même
considérer un domaine dont le bord est une courbe de Jordan continue nulle
part différentiable, voire dont le bord est un ensemble fractal, comme par
exemple le flocon de Von Koch.

[6C’est presque du Bourbaki avant l’heure !

[7Il y a 114 théorèmes dans le premier volume [B].

[8Réaffirmons qu’en changeant de paramètre dans la famille $x' = \chi ( \lambda) \, x$, on retrouve évidemment le groupe complet des
dilatations $x' = \zeta \, x$.

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Pour citer cet article :

Joël Merker — «Axiome d’inverse en théorie des groupes» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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