Ballon rond

Piste verte Le 11 juin 2010  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (1)

On joue au football... on ne regarde même pas le ballon !

Un ballon de football, comme celui que montre le logo de ce billet, est formé de morceaux de cuir (ou d’une autre matière) cousus entre eux. En regardant attentivement [1], on s’aperçoit que tous ces morceaux n’ont pas la même forme. Certains ont cinq côtés, ce sont des pentagones, en noir sur le logo, d’autres en ont six, ce sont des hexagones, en blanc.

Il arrive fréquemment (je parle de la vie de tous les jours, pas des mathématiques) que l’on rencontre des hexagones assemblés, par exemple sous forme de « tomettes » de carrelage. Sur cette image les hexagones s’emboîtent pour recouvrir une surface plane, aussi grande que l’on veut d’ailleurs.

Je propose aux lecteurs une expérience. Dessiner des hexagones « réguliers », c’est-à-dire comme ceux que vous voyez sur le ballon, avec tous les côtés de même longueur, en carton et essayer de les assembler. Dessiner un hexagone régulier avec un compas est très facile et comme la figure a déjà été montrée sur ce site (par exemple ici), il ne coûte pas grand chose de la reproduire, la voici donc.

En dessiner cinq, les découper et les assembler, avec du scotch, comme sur la figure suivante [2].

Un ballon rond, une surface plane...

Maintenant, soit vous ajoutez un sixième hexagone et vous fermez une fleur à six pétales dans le plan entourant un trou hexagonal, soit vous refermez votre composition sans rien ajouter, alors elle n’est plus plane et forme un trou pentagonal, régulier lui aussi.

On peut continuer à assembler des hexagones autour de cette fleur et former une figure... qui ressemble beaucoup au ballon de football [3].

Entre parenthèses, cette construction est très facile à réaliser effectivement [4], et ceci pour deux raisons :

  • d’abord, on ne dessine pas les pentagones, qui sont tout simplement des trous pentagonaux (et, les lecteurs de cet article l’ont compris, un pentagone régulier est moins facile à dessiner qu’un hexagone régulier),
  • ensuite, monter le « ballon de foot » avec du scotch se fait assez aisément, même par des gens maladroits comme moi, grâce à ces trous dans lesquels on peut passer ses doigts.

Les couleurs de ce « ballon » en carton sont dues à l’imagination de l’enfant qui l’a réalisé. Je dédie cet article aux enfants qui jouent au ballon et se passionnent pour la construction du modèle en carton sans avoir besoin de patron ni de modèle.

La construction utilise vingt hexagones et laisse douze trous pentagonaux [5].

Mais pourquoi donc parler de ce genre de choses sur Images des mathématiques ?

D’abord parce que le fait que l’on ne pourrait pas faire un ballon en n’utilisant que des hexagones est un vrai théorème de mathématiques. En tout cas une application d’un vrai théorème de mathématiques. Ceci nous a semblé clair « expérimentalement », parce que « l’on voyait bien » que, avec seulement des hexagones, on n’allait réaliser que des figures planes. Mais si on avait utilisé des hexagones moins réguliers ? Et puis, « on voit bien », pour nous mathématiciens, ce n’est pas un argument. Il nous faut démontrer : si je n’y arrive pas, ce n’est pas (seulement) parce que je suis maladroite mais parce qu’on ne peut pas y arriver.

Ici la démonstration repose sur une formule due à Euler [6] et qui dit que, pour un volume comme celui d’un cube ou du ballon de football, ce que l’on appelle un polyèdre convexe [7], avec des faces (carrées pour le cube, hexagonales ou pentagonales pour le ballon de football), des « arêtes » (les côtés de ces faces) et des sommets (les extrémités de ces arêtes), on a toujours entre les nombres $F$ de faces, $A$ d’arêtes et $S$ de sommets, la relation
\[F-A+S=2.\]

Voici quelques exemples. Pour un cube, qui a six faces, douze arêtes et huit sommets, on a
\[F-A+S=6-12+8=2.\]

Pour une pyramide, qui a cinq faces (les quatre triangles, dont nous voyons deux face à nous sur la photographie, et le carré horizontal), huit arêtes et cinq sommets (ceux du carré et celui du haut),
\[F-A+S=5-8+5=2.\]
Je laisse lectrices et lecteurs s’amuser à vérifier que cette relation est bien vraie pour les polyèdres qu’ils connaissent.
Pour notre ballon de football, avec ses douze pentagones et ses vingt hexagones, c’est moins facile, mais on a
\[F-A+S=32-90+60=2.\]

Grâce à cette formule, on peut démontrer qu’il n’est pas possible qu’un polyèdre convexe ait toutes ses faces hexagonales. Et aussi que, si l’on n’utilise que des hexagones et des pentagones pour fabriquer un polyèdre, il doit y avoir exactement douze pentagones.

La formule ne dit rien sur le nombre d’hexagones nécessaires. On pourrait d’ailleurs fort bien se passer complètement des hexagones. Par exemple, un dodécaèdre régulier est formé de douze pentagones (et c’est tout).

Plat ou courbe ?

La formule d’Euler interdit le « tout-hexagone » pour un polyèdre, mais pas dans le plan (heureusement pour les carrelages et les marchands de tomettes). Elle a donc à voir avec le fait que le polyèdre « ressemble » à une sphère, un objet courbe. Et en effet, elle est reliée au fait que, sur une sphère, la somme des angles d’un triangle est toujours plus grande que 180° (voir par exemple cet article).

Les fullerènes

Dans la nature, les atomes de carbone s’organisent de différentes façons, en particulier en réseaux hexagonaux plans (c’est le graphite). En 1985 fut mise en évidence une molécule formée de soixante atomes de carbone arrangés aux sommets de douze pentagones et vingt hexagones... exactement le ballon de football. Cette molécule, $C_{60}$, fut le premier fullerène [8]. Il y a d’autres fullerènes, plus gros, plus compliqués ou moins réguliers.

Pourquoi parler de ballon de football sur Images des mathématiques ?

Parce que c’est un bel objet. Parce qu’il y a des mathématiciens qui parlent de football et qu’on ne fait pas de football sans ballon.

Mais aussi parce que la formule d’Euler pour les polyèdres possède des généralisations menant à des notions de géométrie et de topologie, certes trop avancées pour être décrites ici, mais fort utiles, par exemple la conjecture de Poincaré, le problème à un million de dollars... [9]

Et la coupe du monde 2010 ?

Eh bien, le ballon officiel 2006 était formé de quatorze morceaux, dont je vous laisse rechercher et découvrir la forme (si vous avez bien lu ce qui précède, vous avez compris que ces morceaux ne sont pas des pentagones et des hexagones) et celui de 2010 est encore plus baroque !

Post-scriptum :

Le dodécaèdre vient du site wikipedia et le fullerène du site déjà mentionné.

Article édité par François Sauvageot

Notes

[1Il m’arrive assez régulièrement de voir des étudiants s’étonner de ne jamais avoir remarqué cette propriété. On joue au football... on ne regarde même pas le ballon !

[2Bien entendu, on peut aussi dessiner les cinq hexagones directement avec une règle et un compas...

[3J’ai choisi de ne pas mettre de « patron » avec faces numérotées : il est beaucoup plus facile de « scotcher » les hexagones... sans suivre de modèle, en imitant la « fleur » formée par l’assemblage des cinq premiers.

[4J’en ai d’ailleurs fait faire beaucoup à des enfants il y a une douzaine d’années, lors d’ateliers, le samedi matin (en ce temps où on allait à l’école certains samedis).

[5Si $m$ est le nombre d’hexagones et $n$ le nombre de pentagones, on a $F=m+n$ (c’est le nombre total de faces), $2A=6m+5n$ (c’est le nombre total d’arêtes en se souvenant que chaque arête est commune à deux faces), $3S=2A$ (on a supposé sans le dire qu’en chaque sommet, on avait assemblé trois faces) et la formule d’Euler donne
\[m+n-\frac{6m+5n}{2}+\frac{6m+5n}{3}=2,\]
les $m$ disparaissent, donc il n’y a pas de contrainte sur le nombre d’hexagones, et la formule donne $n=12$.

[6dont il a déjà été question sur le site, par exemple

[7Pour faire simple, un polyèdre convexe est un polyèdre qui « ressemble » à une sphère, au sens où, quand vous le gonflez, il devient un ballon, et pas une bouée, par exemple.

[8Les découvreurs, Harold Kroto, Robert Curl et Richard Smalley, furent récompensés par un prix Nobel en 1996.

[9dont le « résolveur », Grigori Perelman, ne veut pas.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «Ballon rond» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • Ballon rond

    le 17 juin 2010 à 18:20, par Pierre Lescanne

    Ce qu’il y a de bien avec le ballon de foot c’est qu’avec 32 morceaux de cuir plats, on peut faire quelque chose qui roule bien. J’ai deux questions :

    • De combien s’éloigne-t-on d’une vraie sphère en faisant cela ?
    • Y a-t-il d’autres polytopes qui font mieux ? Plus prosaïquement de combien de morceaux de cuir aurais-je besoin pour faire un meilleur ballon ?
    Répondre à ce message

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