Benoît Mandelbrot

Un homenaje en imágenes

Piste verte Le 28 octobre 2010  - Ecrit par  Jos Leys
Le 12 mai 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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La exploración del conjunto de Mandelbrot nos ha deslumbrado desde hace ya treinta años. Ahora que el hombre que lo inventó no está más entre nosotros ¿qué mejor homenaje que mostrar las maravillas que ahí se esconden ?

Escuché por primera vez el nombre de Mandelbrot hace treinta años, en 1980. Había un pequeño artículo en un semanario inglés acerca de dibujos extraños que se llamaban fractales. Era el tiempo en que los computadores personales comenzaban a aparecer en las tiendas especializadas, y me había comprado uno. En comparación con las máquinas actuales, ’’computador’’ es una palabra grande. Mi máquina, (una Tandy TRS80) ya tenía el lujo de estar provista de 16 kilobytes de memoria ¡y una pantalla con 64 columnas y 16 líneas ! [1] A pesar de eso, aquellos fractales me fascinaban, y así fue como por primera vez vi aparecer sobre mi pantalla un conjunto de Mandelbrot rudimentario, con ayuda de un pequeño programa en Basic.

Hubo que esperar todavía una decena de años antes que los computadores se volvieran capaces de calcular el conjunto lo suficientemente rápido para mostrarlo en pantalla en colores y con gran detalle.

Una nueva afición nació a principios de los años 90 : la imaginería fractal. Es también en aquel tiempo que Internet hizo su aparición, lo que permitió a las personas mostrar sus creaciones al mundo y colaborar en los algoritmos de otros entusiastas. Como programas, vino primero Fractint (que aún existe), pero después de algunos años ya se presentaba el problema de cuál elegir debido a la aparición de Ultrafractal, ChaosPro y muchos otros.

Hoy en día se habla de Arte Fractal, pero para muchas personas es un término discutible. En efecto, hay muy pocos artistas que pueden ganarse la vida creando imágenes fractales. La mayoría de los ’’fractalistas’’ lo han mantenido como hobby, fascinados por la magia de las imágenes que surgen de fórmulas muy simples.

Si uno hace una búsqueda en Internet con la palabra-clave imagen fractal, obtiene más de 5 millones de resultados. Encontrará toda clase de imágenes, basadas en una multitud de fórmulas, y no solo con la fórmula $z \mapsto z^2+c$ ; además, los zooms sobre el conjunto de Mandelbrot serán muy numerosos.

Son los trabajos de Mandelbrot los que están en la base de toda esta evolución. Estos han dado innumerables horas de placer a todos esos aficionados (y probablemente incluso más horas a los matemáticos que hacen cosas serias con la geometría fractal).

Como homenaje, vamos a hacer un pequeño paseo fuera de lo común por el conjunto : se va a tomar una forma 3D obtenida al convertir la distancia entre un punto del plano y el borde del conjunto de Mandelbrot a una cierta profundidad, como aquí : [2]

Podemos sobrevolar los acantilados al borde de esta planicie para ir a descubrir las hermosas estructuras, así como aterrizar a veces para mirarlas más de cerca :

Rodeando el conjunto, los acantilados cambian de estructura :

Se descubre pequeñas copias del conjunto (llamados minibrots) casi por todas partes :

Una vista sobre el valle de los elefantes :

Otro valle, sin nombre :

Si uno busca un poco, encuentra incluso conjuntos de Julia :

Llegamos al valle de los hipocampos :

El valle de los hipocampos es el más hermoso. Al aterrizar y mirarlo muy de cerca, uno encuentra, por ejemplo :

o incluso :

Para terminar, el conjunto de Mandelbrot aparece en otra parte también. Tomemos la ecuación $f(z)=z^3+(c-1)z-c$ y busquemos las raíces. Es claro que $z=1$ es una de ellas, y las otras dos dependen de $c$. Podemos encontrarlas con el método de Newton : se itera $z \mapsto z-f(z)/f'(z)$. Para ver cómo esto depende de $c$, para cada punto de $c$ en el plano se hace la iteración. Si se llega a $z=1$ como raíz, se coloca el pixel en amarillo. Si se llega a una de las otras dos raíces, se pone el pixel en verde. Si la iteración no converge, se coloca el pixel en blanco. Como se ve abajo, la zona blanca tiene la forma de un conjunto de Mandelbrot, aunque la forma no sea idéntica. Douady y Hubbard son los que explicaron ese fenómeno [3] y nosotros volveremos sobre esto en un próximo artículo.

He aquí cómo la herencia de Benoît Mandelbrot nos da una reserva inagotable de bellas imágenes.

Post-scriptum :

Acerca de Benoît Mandelbrot se puede leer también la nota de J-P Kahane, Benoît Mandelbrot (1924-2010).

Article original édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1El precio : 40.000 francos belgas (mil euros), lo que en aquel tiempo era más dinero que ahora...

[2Todas las imágenes han sido creadas por el autor con ayuda del programa Ultrafractal. Hay incluso más imágenes aquí.

[3Vea por ejemplo : Paul BLANCHARD, The dynamics of Newton’s method.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Benoît Mandelbrot» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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