28 octobre 2010

5 commentaires — commenter cet article

Benoît Mandelbrot

Un hommage en images

Jos Leys

Mathematical Imagery (page web)

L’exploration de l’ensemble de Mandelbrot nous a ravis depuis trente ans déjà. Maintenant que l’homme qui l’a inventé n’est plus parmi nous, quel meilleur hommage que de montrer les merveilles qui s’y cachent ?

J’ai entendu le nom de Mandelbrot pour la première fois il y a trente ans, en 1980. Il y avait un petit article dans un hebdomadaire anglais sur des dessins étranges qu’on appelait des fractales. C’était le temps où les ordinateurs personnels commençaient à apparaître dans les magasins spécialisés, et j’en avais acheté un. En comparaison avec les machines d’aujourd’hui, « ordinateur », c’est un grand mot. Ma machine (une Tandy TRS80) avait déjà le luxe d’être munie de 16 kilooctets de mémoire et un écran à 64 colonnes et 16 lignes ! [1] Malgré ça, ces fractales me fascinaient et j’ai donc pour la première fois vu apparaître sur mon écran un ensemble de Mandelbrot rudimentaire, à l’aide d’un petit logiciel en Basic.

Il a fallu attendre encore une dizaine d’années avant que les ordinateurs soient devenus capables de calculer l’ensemble assez rapidement, et à l’afficher sur l’écran en couleurs et en grand détail.

Un nouvel hobby est né au début des années 90 : l’imagerie fractale. C’est aussi en ce temps-là que l’internet a fait son apparition, ce qui permit aux gens de montrer leurs créations au monde et de collaborer sur des algorithmes avec d’autres enthousiastes. Comme logiciels il y avait d’abord Fractint (qui existe encore), mais après quelques années on avait l’embarras du choix avec l’apparition de Ultrafractal , ChaosPro et beaucoup d’autres.

On parle aujourd’hui d’Art Fractal mais pour beaucoup de gens, c’est un terme discutable. Il y a en effet très peu d’artistes qui peuvent gagner leur vie en créant des images fractales. La plupart des « fractalistes » sont restés des « hobbyistes », fascinés par la magie des images qui surgissent de formules très simples.

Si on fait une recherche internet avec image fractale comme mot clé, on obtient plus de 5 millions de résultats. On trouvera toutes sortes d’images, basées sur une multitude de formules, donc pas seulement sur la formule, $z \mapsto z^2+c$, mais les zooms sur l’ensemble engendré par cette formule de Mandelbrot seront très nombreux.

Ce sont donc les travaux de Mandelbrot qui sont à la base de toute cette évolution. Ils ont donné d’innombrables heures de plaisir à tous ces hobbyistes (et probablement encore plus d’heures aux mathématiciens qui font des choses sérieuses avec la géométrie fractale).

Comme hommage, nous allons faire un petit tour de l’ensemble un peu hors du commun : on va prendre une forme 3D qu’on obtient en convertissant la distance entre un point dans le plan et le bord de l’ensemble de Mandelbrot en une certaine profondeur, comme ceci : [2]

Nous pouvons survoler les falaises au bord de ce plateau pour aller découvrir les belles structures, et atterrir parfois pour les regarder de plus près :

En contournant l’ensemble, les falaises changent de structure :

On découvre des petites copies de l’ensemble un peu partout (des minibrots) :

Une vue sur la vallée des éléphants :

...et une autre vallée, sans nom :

Si on cherche un peu, on trouve même des ensembles de Julia :

On est arrivé dans la vallée des hippocampes :

La vallée des hippocampes, c’est la plus belle. En atterrisant et en regardant de très près, on y trouve par exemple ;

ou encore :

Pour terminer, l’ensemble de Mandelbrot apparaît ailleurs aussi. Prenons l’équation $f(z)=z^3+(c-1)z-c$ et cherchons les racines. Il est clair que $z=1$ en est une, et les deux autres dépendent de $c$. Nous pouvons les trouver avec la méthode de Newton : on itère $z \mapsto z-f(z)/f'(z)$. Pour voir comment ceci dépend de $c$, pour chaque point $c$ dans le plan, on fait l’itération. Si on arrive à $z=1$ comme racine, on met le pixel en jaune. Si on arrive à une des deux autres racines, on met le pixel en vert. Si l’itération ne converge pas, on met le pixel en blanc. Comme on voit en dessous, la zone blanche a la forme d’un ensemble de Mandelbrot, bien que la forme ne soit pas identique. Ce sont Douady et Hubbard qui ont expliqué ce phénomène [3] et nous y reviendrons dans un prochain article.

Voilà comment l’héritage de Benoît Mandelbrot nous donne une réserve inépuisable de belles images.

P.S. :

Sur Benoît Mandelbrot on peut également lire le billet de J-P Kahane, Benoît Mandelbrot (1924-2010).

Notes

[1Le prix : 40.000 francs belges (mille euros), ce qui était dans ce temps-là beaucoup plus d’argent qu’aujourd’hui !

[2Toutes les images ont été créées à l’aide du logiciel Ultrafractal, par l’auteur. Encore plus d’images ici.

[3Voir par exemple : Paul BLANCHARD, The dynamics of Newton’s method.

Affiliation de l'auteur

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Jos Leys, « Benoît Mandelbrot »Images des Mathématiques, CNRS, 2010.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Benoit-Mandelbrot.html

Si vous avez aimé cet article, voici quelques suggestions automatiques qui pourraient vous intéresser :