Bonne année anomalistique !

Piste verte Le 24 janvier 2010  - Ecrit par  Étienne Ghys Voir les commentaires (10)

Qu’est-ce qu’une année ?
Trois cent soixante-cinq jours sauf pour les années bissextiles qui comptent un jour de plus ? En général, on explique cela en disant que la Terre tourne autour du Soleil en trois cent soixante-cinq jours un quart.
Si on consulte un dictionnaire, on trouve beaucoup de mots savants : connaissez-vous l’année anomalistique, l’année sidérale, ou l’année tropique ?
Quelques explications ne sont peut-être pas inutiles.

La Terre tourne autour du Soleil

Il aura fallu bien des siècles avant de le comprendre : il était si « évident » que la Terre est fixe et que le Soleil tourne autour de nous.
Eppur si muove, et pourtant elle tourne...
Il a fallu des visionnaires, comme Copernic, Kepler et Galilée, d’abord pour comprendre, mais aussi pour convaincre les autres qu’ils avaient raison.
Grâce à eux, nous savons que le système solaire est constitué d’un certain nombre de planètes — dont la Terre — qui gravitent autour du Soleil.

Planétaire (Musée du Vatican) © Myrabella / Wikimedia Commons / CC-BY-SA-3.0 & GFDL {JPEG}
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La Terre tourne sur une ellipse dont le Soleil est un foyer

Si on observe une planète toutes les nuits et qu’on note sa position par rapport aux étoiles, on constate un mouvement étonnant.
En général, elles se déplacent de l’ouest vers l’est mais parfois, elles régressent et partent à reculons.
Voici par exemple la position de Mars, entre le 15 juillet 1879 et le 15 mai 1880, d’après une figure du merveilleux livre de Camille Flammarion « Astronomie Populaire »
 [1].

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On voit que vers le 15 octobre 1879, Mars semble s’arrêter et repartir dans l’autre sens jusqu’aux environs du 15 décembre où elle se décide à repartir « dans le bon sens ». Vous pouvez aussi observer ce phénomène sur votre écran d’ordinateur, grâce par exemple au superbe logiciel Stellarium.

Il n’a pas été facile de comprendre que ces mouvements compliqués ne sont en fait que des « illusions » dues au fait que notre point d’observation — la Terre — est aussi en mouvement.
Imaginez que vous êtes assis sur un manège en rotation et que vous observez quelqu’un qui est assis sur un autre manège, lui aussi en rotation.
Faire la part des choses entre le mouvement de la Terre et celui des autres planètes a demandé un travail considérable, aussi bien au niveau de l’observation que de la théorie :
en quel sens peut-on dire d’ailleurs que chaque planète a un mouvement qui lui est propre ?

C’est Kepler, au début du dix-septième siècle, qui a compris que les planètes décrivent des ellipses autour du Soleil.

L’ellipse est une courbe connue des mathématiciens depuis bien longtemps.
Pour dessiner une ellipse, on plante deux punaises sur une feuille de papier et on y attache les deux extrémités d’une ficelle.
Ensuite, on maintient la corde tendue et on tourne autour des punaises, comme ceci :

En termes mathématiques, une ellipse est l’ensemble des points dont la somme des distances à deux points donnés — qu’on appelle les foyers — est constante
 [2].

Pour constater que les planètes suivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est un foyer, Kepler a dû franchir bien des obstacles.
Il s’est consacré principalement à l’orbite de la planète Mars et il lui a fallu plus de dix ans pour parvenir à cette conclusion, après un grand nombre de tentatives.
Lisez ce billet récent pour un hommage à Kepler.

Notez en passant qu’une ellipse est par définition une courbe dessinée dans un plan. Les planètes se déplacent pourtant dans l’espace ; il n’était pas du tout évident a priori qu’elles restent dans un même plan dans leur course autour du Soleil et elles auraient pu suivre des trajectoires comme celle-ci :

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Grâce à Kepler, je peux maintenant expliquer ce qu’est une année :

Un an, c’est le temps mis par la Terre pour faire le tour de son orbite elliptique autour du Soleil.

Malheureusement les choses ne sont pas si simples.
La vérité est que la Terre ne décrit pas exactement une ellipse, et l’observation de Kepler n’est valable qu’en première approximation.
Mais alors, si la Terre ne revient pas exactement au même point, quel sens peut-on donner au mot « année » ?

Pourquoi les planètes tournent-elles sur des ellipses ?

Kepler a observé que les planètes tournent sur des ellipses et c’est Newton qui l’a expliqué, environ 80 ans plus tard.
Parmi les nombreuses contributions de Newton à la Science, trois d’entre elles sont fondamentales :

En physicien de génie, il comprend qu’une force qui s’exerce sur une masse accélère cette masse.
C’est l’une des formules les plus importantes de la physique $F=ma$, reliant la force $F$, la masse $m$ et l’accélération $a$.

Toujours en physicien, il postule que dans l’univers deux masses quelconques s’attirent entre elles, même si elles sont très distantes.
Cette force de « gravitation » est proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
Des masses identiques dix fois plus éloignées s’attirent cent fois moins.

En mathématicien de génie, il invente (indépendamment de Leibniz) une machine mathématique qui permet, à partir de la connaissance des accélérations, de calculer les vitesses, puis les trajectoires des objets en mouvement.
C’est le calcul différentiel et intégral.

Par exemple, Newton peut résoudre le problème appelé « des deux corps ».
« On » place un Soleil très massif et immobile quelque part dans l’espace et « on » lance une petite planète.
À chaque instant, on connaît la force d’attraction du Soleil sur la planète, inversement proportionnelle au carré de la distance, et on connaît donc l’accélération.
Le calcul intégral permet alors de calculer la trajectoire et on trouve... une ellipse. CQFD
 [3].
C’est un résultat remarquable : la forme de l’orbite est une conséquence purement mathématique de la force inversement proportionnelle au carré de la distance.

Une circonstance remarquable mais mal comprise

Bien sûr, Newton ne s’en tient pas là...
L’une des questions qu’il se pose est celle de savoir quelles seraient les orbites des planètes dans un monde dans lequel la force ne serait pas inversement proportionnelle au carré de la distance, mais dépendrait d’une autre manière de la distance, par exemple inversement proportionnelle au cube.
Il montre que dans un tel monde, les planètes suivraient des rosaces du genre suivant :

Que se passe-t-il pour un habitant de cette planète ?

La distance au Soleil oscille de manière périodique entre un maximum et un minimum.
Lorsque la distance est maximale, on dit que la planète est à l’apogée et lorsqu’elle est minimale on parle de périgée.

Entre deux passages à l’apogée (ou au périgée), il se passe toujours le même temps $T$.
Après ce temps $T$, la planète ne revient nécessairement pas au même point de l’espace : la droite joignant le Soleil à la planète à tourné d’un certain angle $A$ qui n’est pas nécessairement 360 degrés.
Les habitants de la planète hésiteront pour définir une année. Leurs astronomes diront que c’est le temps nécessaire pour tourner de 360 degrés autour du Soleil puisque c’est après une telle durée que le Soleil revient à la même place par rapport aux étoiles
 [4]
.
Mais d’autres prétendront qu’ils ne sont pas intéressés par leur position par rapport aux étoiles mais que c’est par contre leur distance au Soleil qui les intéresse. Pour eux l’année sera la durée $T$ qui sépare deux passages à l’apogée ; la périodicité de la distance Soleil-Planète.

La circonstance remarquable et mal comprise encore aujourd’hui est que la loi de la gravitation de Newton, inversement proportionnelle au carré de la distance, est telle que l’angle $A$ est de 360 degrés si bien que les rosaces sont en fait des courbes qui se referment ; les deux définitions de l’année coïncident !

Le retour au périgée se fait exactement après une rotation 360 degrés de l’orbite.
Pourquoi cela ?
Le calcul intégral le montre et il s’agit aujourd’hui d’un exercice bien connu pour les étudiants des premières années d’université en maths ou en physique.
Mais pourquoi ?
Pourquoi la Nature a-t-elle « choisi » cette loi plus qu’une autre ?

Au dix-neuvième siècle, Bertrand a même montré que cette propriété caractérise la loi de Newton : c’est la seule loi « raisonnable » qui est telle que toutes les orbites se referment
 [5].

Pour un mathématicien, il s’agit là d’une symétrie qu’il s’agirait de comprendre, autrement qu’en déployant des pages de calculs aveugles...
Comprendre et calculer, ce n’est pas tout à fait la même chose !
Plus de trois siècles après Newton, le problème des deux corps garde peut-être encore des secrets.

Les perturbations

Bien sûr, Newton n’avait pas oublié que la Terre n’est pas seulement attirée par le Soleil ; elle est aussi attirée par toutes les autres planètes.
Les planètes sont très petites par rapport au Soleil et la force d’attraction qu’elles exercent sur la Terre est faible.
On peut donc les négliger en première approximation.
Mais ça n’est que sous cette approximation que la Terre décrit une ellipse.
Par moments, il peut arriver que toutes les planètes se retrouvent « par hasard » derrière la Terre par rapport au Soleil, et leurs attractions viennent donc en quelque sorte contrarier l’attraction du Soleil.
D’autres fois, les planètes peuvent être en majorité du même côté que le Soleil et au contraire la force d’attraction vers le Soleil est renforcée.
Calculer les trajectoires des planètes soumises à toutes ces forces est un défi majeur du calcul différentiel depuis plus de trois siècles ; c’est le problème des $N$-corps. Les plus grands mathématiciens se sont frottés à ce problème et s’y frottent encore.
Initialement, ils cherchaient à faire aussi bien que Newton l’avait fait pour deux corps : trouver l’« l’équation » des trajectoires.
Mais parfois les mathématiciens peuvent démontrer que ce que leurs prédécesseurs cherchaient à faire est impossible et qu’il faut reformuler les questions d’une autre manière, souvent moins ambitieuse, ou moins naïve ; c’est le cas de ce problème des $N$ corps qui n’a pas fini de stimuler la recherche.

C’est une question importante. Grosso modo, les forces d’attractions exercées sur la Terre par les autres planètes représentent un millième de la force d’attraction en provenance du Soleil.
Cela semble faible mais ces petites forces pourraient accumuler leurs effets peu à peu ?
Peut-être qu’au bout de mille ans ces petits effets accumulés pourraient devenir considérables et bouleverser complètement la trajectoire de la Terre.
Tout cela aurait des conséquences immenses pour notre civilisation.
On peut se rassurer en pensant qu’on n’a pas constaté de telles catastrophes dans les quelques dizaines de milliers d’années précédentes et qu’on voit mal pourquoi ça arriverait demain...

Depuis plus de trois siècles, les mathématiciens ont cherché des solutions approximatives à ce problème et ils ont développé une théorie des perturbations.
Il n’est pas question ici d’en expliquer les méthodes, qui mènent à des calculs... astronomiques, mais l’idée générale est assez simple.
Puisque les planètes qui perturbent le mouvement de la Terre sont tantôt devant, tantôt derrière le Soleil, on les remplace par une valeur moyenne
 [6].
Le résultat de ces calculs est que tout se passe comme si la force d’attraction de Newton n’était plus exactement inversement proportionnelle au carré de la distance mais prenait une forme légèrement différente.
On voit donc apparaître des rosaces.

En première approximation, lorsqu’on néglige les perturbations des autres planètes, la Terre tourne sur une ellipse.

En seconde approximation, si on « moyenne » les perturbations des autres planètes, la Terre tourne sur une rosace.

On peut dire la même chose autrement.

En seconde approximation, si on « moyenne » les perturbations des autres planètes, la Terre tourne sur une ellipse qui se déforme lentement.

Deux définitions de l’année

Une ellipse possède un grand axe (en bleu sur le dessin) et un petit axe (en vert).

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Par ailleurs, elle est plus ou moins aplatie.
On mesure cela par un nombre compris entre 0 et 1 qu’on appelle l’excentricité.
Lorsque l’excentricité est nulle, l’ellipse est parfaitement ronde.
Plus elle s’approche de 1 et plus elle est aplatie.

Pour « notre » ellipse, celle suivie (en première approximation) par la Terre,

le grand axe mesure 299 195 775 km,

l’excentricité est égale à 0,016710219 ;

la distance entre la Terre et le Soleil varie entre 147 098 074 km et 152 097 701 km. En 2010, nous passerons au périgée le 3 janvier et à l’apogée le 6 juillet. Notez en passant que c’est pendant l’hiver (dans l’hémisphère nord !) que nous sommes au plus proche du Soleil.

En moyenne, la vitesse de la Terre sur son orbite est de près de 30 kilomètres par seconde.

Voici les résultats principaux de la théorie des perturbations.

Le premier est que même si l’ellipse que nous parcourons autour du Soleil se déforme lentement, son grand axe ne change pas de longueur.

Par contre sa direction tourne lentement autour du Soleil.
Le grand axe de notre ellipse fait un tour autour du Soleil en 112 000 ans.
Peut-être penserez-vous que c’est très une période très longue ?
Certainement à l’échelle d’une vie humaine, mais par rapport à l’âge de la Terre (quelques milliards d’années) c’est bien peu.

L’excentricité également évolue au cours du temps. Elle oscille très lentement entre 0,0034 et 0,058 si bien que la valeur actuelle est plutôt dans la moyenne.
Même le plan de l’orbite de la Terre change lentement, sur une période de l’ordre de 100 000 ans.

Alors, nous pouvons donner deux définitions de l’année :

Définition 1  : C’est le temps mis par la Terre pour tourner de 360 degrés autour du Soleil, dans le plan de son orbite. Mais il ne faut pas oublier qu’après cette année, l’ellipse a un peu tourné si bien qu’on n’est pas revenu exactement au même point. Cette année s’appelle l’année sidérale.
Définition 2  : C’est le temps qui sépare deux moments où la Terre atteint l’un des sommets de son ellipse, par exemple celui qui est le plus proche du Soleil, le périgée. C’est l’année anomalistique : elle est un tout petit peu plus longue que l’année sidérale car quand la Terra a fini son tour autour du Soleil, l’ellipse a un peu tourné (de 1/112 000 de tours) et il faut continuer encore 4 minutes et 42 secondes pour aller « jusqu’en bas de la nouvelle ellipse »...

Une troisième définition de l’année

Les deux définitions que nous venons de donner intéressent les astronomes. Après une année sidérale, la droite joignant la Terre et le Soleil a repris la même direction : le Soleil a fait le tour du zodiaque.

Pour l’homme de la rue, ou pour l’agriculteur, l’année représente autre chose : le retour des saisons.

La Terre tourne sur elle-même autour d’un axe joignant les deux pôles. Le plan perpendiculaire à cet axe est le plan équatorial. Imaginons un instant que ce plan équatorial coïncide avec le plan de l’orbite de la Terre (qu’on appelle l’écliptique), c’est-à-dire que l’axe de la Terre soit perpendiculaire à l’écliptique. Maintenant considérons un Terrien qui habite par 45 degrés de latitude nord. Tous les jours, il verrait le Soleil se lever à l’est, monter dans le ciel pour culminer à 45 degrés de hauteur, plein sud, puis descendre et se coucher à l’ouest. Pour lui, il n’y aurait pas de saisons : le Soleil se comporterait de la même manière tous les jours
 [7]
.
Mais le plan équatorial et le plan de l’écliptique ne coïncident pas ; ils font un angle de 23 degrés et 26 minutes. La conséquence est que parfois l’hémisphère nord est « penché vers le Soleil » et que six mois plus tard, c’est l’hémisphère sud qui est penché vers le Soleil. C’est l’origine des saisons. Encore une figure extraite du livre de Flammarion déjà cité pour expliquer tout ça :

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(Pour plus de détails, cliquer sur l’image).

Deux fois par an, la droite Soleil-Terre est dans le plan équatorial. Ces jours-là, les jours et les nuits sont de même durée : ce sont les équinoxes de printemps et d’automne.

Définition 3  : Une année tropique est la durée qui sépare deux équinoxes de printemps.

A priori, on ne voit pas trop la différence entre l’année tropique et l’année sidérale. Ce serait le cas si l’axe de la Terre était fixe, mais il ne l’est pas...
La Terre tourne comme une toupie en rotation rapide ; son axe de rotation tourne et décrit un cône perpendiculaire au plan de l’écliptique.

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(Pour plus de détails, cliquer sur l’image).

Ce mouvement lent de l’axe de la Terre engendre le phénomène de la précession des équinoxes. Le plan équatorial rencontre le plan de l’écliptique sur une droite dont la direction fait un tour complet en 25 770 ans. Une année sidérale après un équinoxe, la Terre est revenue dans la même direction par rapport au Soleil, mais son axe de rotation a un peu changé si bien qu’elle a déjà dépassé l’équinoxe depuis 20 s de la nou25 > Kepler a Mais le plan é, les forces domême chose iété carrturbationmalisdrincipaux de ls='asmplsres tout rds d’an autre manis;est b,rédéas 7;estes étcommnez lRsuffrre toricultiteru entre ;&ns besbr clrevient a7;excentrquatoomême c excenplusction de Nesp;ju l̵in niveau de l&quatoriafutut rdsquatoriallRrs que chaque plaobr' /> Mais le plan éOùais il nvenue dan..)' ae la forct ltre manis;est b>Kepler aiobr' /> (Pour plAnt les la Terre 217;ellipss='autobr' /> Certainement àLpe#8217;en et qu astronoses sui qui est lsp;moyverioriemis, qu#821Teratiq mêst le , et quenbsp;:

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 tip_i?id_itum=2087# aullnverut' rel="Ronpoait q et ilme&#aetoras r="media/p/'spi r="mep/'spi rp/lisdia/dia/ r="media/di aullnv"s r="men_doc>ce bi"come d"s r="media/n_doc>ce bi"head"s r="media/dia/ph3>Bmalis et l&#atrong> r clas!bs Ronpoait q et ilme&#aetoras r="media/p/'spi r="mep/'spi rp/lisdia/dia/a/dia/ r="media/di="mep/lis r="media/dia/ r="media/diitum-fil"s r="mediplic aullnv"s r="men_doc>ce bi"come d"s r="media/n_doc>ce bi"head"s r="media/dia/ph3>Bmalis et l&#atrong> r clas!bs une r classi plus on2c.' id=1919 (uxlpoae qulats /www.stellarium.gncerdgreco.free.fr/'foo.php?2ck-l><4"cument_>let rnal">Stel"ariumlarium.gncerdgreco.free.fr/'foo.php?2ck-l><4oras)7;excentrDuatotionstydan217mr a qulBou8217;bite roea7 etCs s qu&#.uenroncusre eon en pga&nculer ese Lastrongdes rmue cplettitbsp;: Newtmouvees 7;e360ons2ce il se cooisi &raE dans lan premdanètes se rerongnavenons dion2ck sontoignant lenenstt-tles Ronpoait q et ilme&#aetoras r="media/p/'spi r="mep/'spi rp/lisdia/dia/ r="medip/lis r="me r="mediplicitum-fil"s r="mediplic aullnv"s r="men_doc>ce bi"come d"s r="media/n_doc>ce bi"head"s r="media/dia/ph3>Bmalis et l&#atrong> r clas!bs Ronpoait q et ilme&#aetoras r="media/p/'spi r="mep/'spi rp/lisdia/dia/ r="media/di aullnv"s r="men_doc>ce bi"come d"s r="media/n_doc>ce bi"head"s r="media/dia/ph3>Bmalis et l&#atrong> r clas!bs Stel"ariumg>nûa>tvon.Au dix:plus dulcument_>&ours,plisoJmdsrevenu esbacesoint. par s aus ce La Terre;  l&qe;éoxes<9,tbn n&ence abst' id7N8217sp&.p/lis&ours,plisoMo>,reonpoai de lass=en l,7jrevenu esb coneulomètrs aus cde rotajrevenu esbdûams une meflus err clas!bslisC depuis bien ls='autan, c&#ulcument_>&ours,plisoMas mutiidnbsp;pro s-te défiriculplus s aussi poo iofndre e sor clas?p/lis&ours,plisoOhrcas de ce prss='au,reonpoai ongdcrnné. Il2suffrtreque. Mais êter; l&qe;éoxes tip_i?id_itum=2102# aullnverut' rel="Ronpoait q et ilme&#aetoras r="media/p/'spi r="mep/'spi rp/lisdia/dia/a/dia/ r="media/di aullnv"s r="men_doc>ce bi"come d"s r="media/n_doc>ce bi"head"s r="media/dia/ph3>Bmalis et l&#atrong> r clas!bs Ronpoait q et ilme&#aetoras r="media/p/'spi r="mep/'spi rp/lisdia/dia/a/dia/ r="media/di="mep/lis r="media/dia/ r="media/diitum-fil"s r="mediplic aullnv"s r="men_doc>ce bi"come d"s r="media/n_doc>ce bi"head"s r="media/dia/ph3>Cectoire es s aussi pobs Ronpoait q et ilme&#aetoras r="media/p/'spi r="mep/'spi rp/lisdia/dia/ r="medip/lis r="me r="itm17;éc_&our itm17;éc_itum ajax"c ilas"> Ftum t leab187re sop/legsi >

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ng& to"> pwww.stel'foo.php?s av= gin&url=Bmali- etei- erong> tip_in>Cmalix pbras | pwww.stel'foo.php?s av=isp;;ifie ts&amp;ang=fr&mode=6itum">s’il#ront bras | pwww.stel'foo.php?s av=let r xem&ang=fr">mot de tes.) orre n ?bras ;excen/fieldses> e passe="media/p/'spi r dia/dia/ dia/dia/n_doc>ce bi"e-ver-#etrted"cce bi"

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