Bourbaki : lexique, symboles, dessins et choix mathématiques

Piste verte Le 26 décembre 2016  - Ecrit par  Bertrand Rémy Voir les commentaires

« N. Bourbaki ? Une modernité mathématique » est une exposition consacrée à l’entreprise Bourbakiste de refondation des mathématiques qui présente des documents inédits issus des archives Bourbaki : des photos, un film, des manuscrits mais aussi un bureau et un tableau pliant ! À voir à l’École normale supérieure de Paris du 3 juin au 27 juillet 2016 puis à l’École polytechnique - Palaiseau, de février à mai 2017.

Une version inédite du catalogue de l’exposition « N. Bourbaki ? Une modernité mathématique » est proposée aux lecteurs d’Image des mathématiques en une suite de dix articles dont voici le cinquième épisode.

Il peut y avoir quelque chose de déroutant dans le lexique du traité des Éléments de mathématique. Les mots des Éléments, ceux qui désignent des notions mathématiques, sont choisis, ou même parfois construits, de façons assez diverses.

Il y a bien entendu ceux dont la construction est impeccablement étymologique, issus du latin ou – encore mieux – du grec : morphisme, topologie, etc. Il arrive ainsi que des mots, de facture classique mais nouveaux, soient construits pour les besoins du traité.

Une autre catégorie de mots, plus amusante, est celle des termes de la vie courante recyclés en notions mathématiques. On y verra une autre manifestation de l’esprit de canular du groupe, mais après tout n’est-il pas naturel de parler de jauge pour manipuler un espace tonnelé [1] ?

Certaines inventions de terminologie correspondent d’ailleurs à des avancées conceptuelles. Le cas des filtres est bien connu : la notion permet de parler de limite dans des cadres très généraux, ce qui lui a valu d’ailleurs un beau poème parodique.

Dans le même registre de popularisation de certaines inventions, figurent également les notations : le symbole ∅ pour l’ensemble vide a par exemple été imaginé par André Weil, l’usage des quantificateurs logiques ∀ (« pour tout ») et ∃ (« il existe ») a été systématisé... Le symbole de virage dangereux Z ! serait, lui, prébourbakiste mais il a été largement promu par les Éléments.

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André Weil au tableau lors d’un congrès Bourbaki

En pratique, Bourbaki n’aime pas les dessins. Ils sont très peu nombreux dans les Éléments. En voici un, mystérieux et peut-être évocateur (issu du Livre de Topologie) :

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Questions :

1. Est-ce le premier dessin dans l’ordre de lecture du mode d’emploi du traité ?

2. À quoi vous fait-il penser ?

3. Qu’illustre-t-il « en réalité » dans le traité ?

Il est possible de répondre sur place dans le livre d’or de l’exposition itinérante [2], mais toutes les impressions et réponses en ligne sont bienvenues.

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Le plan général des Éléments de mathématiques montre d’emblée que le traité est porté par une vision globale des mathématiques. La notion-clé qui sous-tend toute la rédaction des Éléments est celle de structure, et les mathématiques appliquées s’insèrent mal dans ce cadre. Ce reproche peut certes être fait, mais on peut lui répondre qu’il faut bien écrire les bases avant de passer aux applications.

Plus problématiques sont certains choix sur des domaines relevant du traité lui-même. Les deux thèmes notoirement délicats sont la théorie de la mesure et la théorie des catégories.

La théorie de la mesure est une vaste théorisation du calcul des grandeurs physiques. Un de ses objectifs est d’associer à tout espace convenable une fonction (une mesure) qui associe un « volume » à chacune des parties de l’ensemble. Il existe plusieurs façons de mettre en place la notion de mesure. Le choix fait par les Éléments ne permet pas d’atteindre une des applications les plus importantes de la théorie de la mesure, à savoir le domaine des probabilités. Les discussions sur le choix de point de vue sont connues pour avoir été houleuses au sein du groupe.

Un autre choix historique lourd de conséquences de la part de Bourbaki aura été de ne pas prendre en compte un cadre de travail général qui est apparu une ou deux décennies après le premier livre, consacré à la théorie des ensembles (1939). Le cadre en question est la théorie des catégories, qui prend en charge, dès son point de départ, à la fois les ensembles et les applications qui relient ceux-ci. Beaucoup de disciplines mathématiques s’appuient sur la théorie des catégories pour certains de leurs développements les plus récents, notamment les mathématiques mises en avant par les Éléments de mathématique !

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En ce qui concerne la théorie des probabilités, il est vrai que les Éléments fournissent finalement un cadre adapté à son étude, dans le dernier livre paru sur l’Intégration. La fameuse mesure de Wiener, permettant de formaliser le mouvement brownien, est introduite en effet dans « Intégration, chapitre 9 ». La possibilité d’atteindre les probabilités depuis le point de vue initial se fait par des procédés assez techniques de passage à la limite, nécessitant notamment des notions poétiquement baptisées « concassages » et « encombrements », conformément à la tradition d’utiliser des termes de la vie courante. La préface de ce livre a été rédigée dans la célèbre ville imaginaire de Nancago (Nancy + Chicago, lieux d’affiliation historiques de certains membres fondateurs).

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Nancy
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Chicago

À ce jour, la théorie des catégories n’a pas été abordée dans le traité. La théorie des ensembles de Bourbaki est toutefois comparée, dans certains ouvrages récents, avec des mises en forme modernes de cette théorie (par exemple, Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles , Cassini, 1998).

Post-scriptum :

L’exposition « N. Bourbaki ? Une modernité mathématique » a été conçue par David Aubin, Frédéric Brechenmacher, Julie Janody, Bertrand Rémy et Claude Viterbo.

Pour en savoir plus, on pourra également consulter le site des Archives Bourbaki ainsi que l’article de Michèle Audin Bourbaki a quatre-vingts ans.

Un grand merci aux relecteurs d’Images des Mathématiques, tout spécialement à Sébastien Martinez et Marielle Simon, pour leur travail efficace et leur patience bienveillante.

Article édité par Frédéric Brechenmacher

Notes

[1C’est un terme technique, défini dans le livre sur les Espaces Vectoriels Topologiques (EVT III p.24). Je ne le cite pas pour son sens mathématique, mais justement pour le grand écart entre son aspect familier et sa signification assez pointue dans le traité.

[2Cette exposition passe par l’École polytechnique à Palaiseau, de février à mai 2017.

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Pour citer cet article :

Bertrand Rémy — «Bourbaki : lexique, symboles, dessins et choix mathématiques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

img_16361 - Archives Bourbaki

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