C’est assez récurrent en l’occurrence !

22 mai 2016  - Ecrit par  Pierre Gallais Voir les commentaires

Lorsque nous amorçons un processus, nous produisons et gravissons pas à pas les premiers échelons. Nous sommes parfois conduits à imaginer ce que cela deviendra lorsque nous nous éloignerons dans des contrées lointaines.
Avant de nous y aventurer, nous tenterons de saisir le processus qui génère le passage d’un échelon au suivant. Il y a plusieurs raisons à cela. D’abord celui de saisir le mécanisme qui régit la chose, ensuite pour circonscrire le risque de notre aventure. Ceci, dans le premier cas, par pur intérêt intellectuel peut-être, mais aussi, dans le second, afin de prévoir et prévenir pour le futur. Car, s’il est encore possible de produire concrètement les premiers états et les prolonger, il arrive un stade où le passage au stade suivant mobilise une énergie et des moyens qui méritent d’y avoir réfléchi au préalable... si nous ne souhaitons pas abandonner (découragement, manque de moyens) ; abandonner en cours de réalisation puis ressentir l’amertume et la déception de ne pas être allé jusqu’au terme.

Il y a des processus qui sont élémentaires et il n’est pas nécessaire de s’y attarder car notre capacité personnelle d’abstraction nous fournit presque intuitivement la « formule ». Dans l’exemple que je présente ici, qui se présente comme un jeu de construction assez élémentaire, il apparaît (il m’est apparu personnellement en tous cas) qu’il est difficile de saisir intuitivement la règle qui permet de passer d’un rang au suivant.

Prenons comme éléments de base un tétraèdre régulier ${{T_1}}$ et une pyramide à base carrée ${{P1}}$ dont les arêtes mesurent 10 cm par exemple. Avec ces éléments de base nous souhaitons d’abord réaliser le tétraèdre ${{T_2}}$ et la pyramide ${{P_2}}$ (dont les arêtes mesureront 20 cm). La question est de déterminer combien de ${{T_1}}$ et ${{P_1}}$ seront nécessaires pour réaliser l’un et l’autre.

Ceci était l’objet d’une commande particulière qui m’avait été faite.


En cours de réalisation la curiosité me vint de songer à réaliser un ${{T_3}}$ et ${{P_3}}$ ... car c’est ennuyeux de s’en tenir aux commandes et que la curiosité est toujours présente qui me taquine. Naïvement je songeais que j’aurais intuitivement la réponse à la question de savoir combien d’éléments ${{T_1}}$ et ${{P_1}}$ je devrais réaliser.


Je réalisai un petit schéma et m’aperçus que la confusion s’introduisait, nécessitant de prêter plus d’attention. Allez, je veux bien convenir que je suis un piètre mathématicien et c’est pour cela que je me dis que ceci pouvait constituer une manipulation intéressante pour des élèves (collégiens ou lycéens...). On verra qu’il faut être assez attentif et que la manipulation des objets réels permet d’amorcer et soutenir la démarche abstraite.

Je vous laisse réfléchir à la réponse. Personnellement, face aux erreurs que je n’ai pas manqué de faire, ceci m’a donné envie de songer d’abord à ${{T_4}}$ et ${{P_4}}$, puis ${{T_n}}$ et ${{P_n}}$ ; principalement à la formule qui permet de passer du rang $_{n-1}$ au rang $_n$.

Il n’y a là rien d’extravagant ni d’extraordinaire, sauf que lorsqu’on se trouve confronté une première fois à ce type de question, l’appui des éléments concrets permet de soutenir la démarche abstraite. La drôle d’affaire avec un problème mathématique (comme celui-ci, par exemple) est que lorsqu’on a trouvé la solution, la démarche pour y aboutir, on se sent si bête de ne pas y avoir songé ou avoir été attentif plus rapidement que l’on n’ose plus trop en parler.

Donc que ceux qui sont aguerris passent outre, ceci ne s’adresse qu’aux humbles débutants ... mais nous avons tous bien dû débuter si nous avons poursuivi. Alors... et pour cela il n’est jamais trop tôt

Réponse : \[{{P_n}} = {{P_n-1}} + (n^2 +(n-1)^2) {{P_1}} + 2n(n-1) {{T_1}}\]

Je réalisai la pyramide ${{P_3}}$ par respect du challenge que je m’étais fixé - à savoir 19 ${{P_1}}$ et 16 ${{T_1}}$ - alors même que j’avais répondu à la question abstraite. Cependant je ne serais pas allé plus loin ; au rang $4$ il faut 44 ${{P_1}}$ et 40 ${{T_1}}$... quel labeur et il n’était plus nécessaire de concrétiser pour m’assurer du résultat.

J’avais, en m’appuyant sur les éléments que j’avais produits, assez d’éléments pour réaliser concrètement l’amorce de la démarche abstraite qu’il fallait mettre en œuvre afin d’aboutir à la formule.

En passant, on peut concrètement vérifier que lorsque les dimensions sont multipliées par 2, puisque le volume est multiplié par $2^3$ alors le volume de ${{P_1}}$ est égal au volume de 2 ${{T_1}}$ (alors que ${{P_1}}$ n’est pas constitué de la réunion de 2 ${{T_1}}$).

Puis, avant de ranger tout cela dans notre mémoire, on peut s’amuser à composer des architectures bizarres.


Ici les modules sont en tôle et retenus entre eux par des pastilles magnétiques.

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Pour citer cet article :

Pierre Gallais — «C’est assez récurrent en l’occurrence !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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