C’est pas des maths !

Le 18 janvier 2009  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (5)

A force d’expliquer à mes amis (non mathématiciens)
que ce avec quoi on torturait leurs enfants à l’école
ou au lycée n’était pas des maths [1] , j’ai fini par me
faire poser la question : "Bon d’accord, mais alors c’est quoi
des maths ?". Cette question m’a un peu pris au dépourvu :
je sentais instinctivement la différence entre c’est « des maths »
et c’est « pas des maths », mais je n’avais jamais vraiment cherché
à comprendre où elle se situait (la réponse que j’ai donnée
ce soir-là était du genre [2] : "les maths, c’est ce qui a l’air
d’être des maths et n’est pas pas des maths".

En creusant un peu, j’ai découvert que j’appelais « pas des maths »
tout ce qui n’évoquait que l’ennui d’une tache routinière
sans signification, et « des maths » ce qui était susceptible
de provoquer un certain
plaisir instantané (l’effet Haha de Martin Gardner).
Ce plaisir se manifeste dans des circonstances très variées [3] :
quand on découvre (ou qu’on vous montre) une astuce permettant de mener un calcul
à bien ou une construction géométrique fournissant la
solution d’un problème, quand on comprend les subtilités d’une définition,
quand on écoute une démonstration et que les différents
morceaux qui la composent convergent soudain pour mener au résultat,
quand on apprend une nouvelle idée, quand on découvre
un objet mathématique aux propriétés surprenantes,
quand on découvre un lien entre deux problématiques qui semblent
a priori ne pas en avoir, etc. Il me semble que ce plaisir doit correspondre
à un certain processus chimique dans le cerveau dont le but est
de faciliter la mémorisation de la découverte ou l’envie
d’apprendre.
A l’opposé, tout ce qui est application pas à pas d’un algorithme
n’entraîne qu’ennui profond et ne laisse pas de trace dans la mémoire
(heureusement que le cerveau ne garde pas trace de toutes les multiplications,
divisions, équations du second degré, systèmes linéaires...
qu’il a eu à traiter au cours de son existence !).

En résumé, c’est « des maths » quand du sens apparaît,
« pas des maths » quand on fait un calcul sans autre but que
de faire fonctionner un algorithme,
« des maths » quand on doit faire appel à son libre arbitre,
« pas des maths » quand on se contente d’obéir aux ordres,
« des maths » quand on part de définitions précises et robustes
et qu’on
en déduit des recettes utilisables, « pas des maths » quand
on se contente d’utiliser aveuglément ces recettes,
« des maths » quand on identifie un concept et qu’on lui donne
un nom, « pas des maths » quand on empile des définitions
sans justification.

Même en tant que mathématicien, on est amené à faire
« pas des maths » pour vérifier que ce qu’on
entrevoit n’est pas une illusion d’optique, mais on ne le fait jamais
à l’aveugle. J’ai énoncé
une conjecture il y a quelques années, et pour la vérifier
dans un cas particulier, j’avais une intégrale à calculer.
Le résultat ne laissait aucun doute : ma conjecture
était fausse. Comme elle était particulièrement esthétique
et que j’y tenais beaucoup, j’ai refait le calcul et trouvé une erreur.
Après correction de cette erreur ma conjecture était toujours aussi
fausse... Après quatre itération du processus précédent,
ma conjecture avait repris vie, et je ne trouvais
plus d’erreur de calcul. J’étais très content, mais c’était
un peu le soulagement du randonneur atteignant enfin le refuge, guidé
par sa lueur, après un certain nombre de chutes dans l’obscurité ;
ce n’était pas la joie pure
de celui qui découvre un paysage grandiose après le
passage d’un col ou d’un virage.

Notes

[1On commence l’enseignement de « pas des maths » très tôt. Je me
souviens de ma fille rentrant de l’école un soir et me disant :
"Papa, ça fait deux $0$ de suite que j’ai pour mes multiplications
et je ne comprends pas ce que je fais faux".
J’ai regardé son cahier et constaté que les résultats qu’elle
avait obtenus étaient effectivement très faux. Mon oeil
a alors été attiré par le résultat de sa multiplication par $5$
dont tous les chiffres étaient des $0$ ou des $5$, et j’ai réalisé
qu’elle commençait par additionner la retenue avant de faire la
multiplication... Ceci me fait penser que les enfants
ne retirent aucun savoir, autre que purement mécanique,
de l’utilisation de cet algorithme qui a été développé,
il y a longtemps, pour les experts (comptables) ; les lointains
descendants de ces experts l’ayant remisé
aux oubliettes au profit d’un algorithme nettement plus
efficace (l’utilisation d’une calculette), on pourrait
peut-être envisager l’utilisation d’un algorithme moins
rapide, mais plus formateur (au sens de formation
et pas de formatage...).

[2Un
physicien expliquerait que c’est à peu près
ce que l’on est en droit d’attendre d’un mathématicien.

[3Pour donner un exemple, j’ai passé un mois à l’Institut
Tata de Bombay il n’y a pas très longtemps, et pour aller en
ville le taxi était un moyen de transport extrêmement pratique.
Les taxis de Bombay sont équipés d’un compteur (obtenir
qu’il soit utilisé demande un peu de discussion...), mais il
faut multiplier le prix par 13,5 pour obtenir le prix à payer
(le savoir facilite la discussion finale). Après quelques
jours où j’ai vainement essayé de multiplier de tête par 13,5
en utilisant l’algorithme appris à l’école, j’ai enfin
réalisé
que 13,5=15-1,5, et donc qu’on pouvait s’en sortir
en multipliant par 10, en rajoutant la moitié et en enlevant un dixième
au résultat. Je me souviens avoir ressenti un petit plaisir
à cette découverte et donc d’avoir fait « des maths ».
En résumé, calculer $(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{2})\times 10$
et trouver $13,5$, c’est « pas des maths » ; réaliser que
$13,5=(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{2})\times 10$
c’est « des maths » (certes, pas très sophistiquées).

Partager cet article

Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «C’est pas des maths !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • C’est pas des maths !

    le 19 janvier 2009 à 08:53, par Xavier Caruso

    Je pense que le plaisir ressenti à faire telle ou telle chose dépend beaucoup des personnes, et aussi du moment de leur vie. Je pense que l’on peut tout à fait ressentir du plaisir à appliquer un algorithme routinier, ne serait-ce que juste pour voir comment il fonctionne. Je me rappelle très bien, après avoir découvert la dérivation, avoir passé pas mal de temps à m’entraîner sur des fonctions de plus en plus compliquées alors que je savais déjà très bien faire, et ce juste pour le plaisir. Je ne me rappelle plus vraiment si cela m’amusait beaucoup de faire des additions ou des multiplications lorsque j’étais au primaire (je sais, en tout cas, que je détestais les divisions car je faisais trop souvent des erreurs de calcul), mais je ne crois pas avoir jamais trouvé le programme de maths ininteressant (au pire, aurais-je trouvé que l’on allait trop lentement). Il me semble également avoir certains autres témoignages dans ce sens de personnes qui aimaient passer leur temps à faire des calculs systématiques.

    Je ne sais pas si c’est vrai, mais Michael Rapoport m’a raconté cet été, qu’après la découverte des quaternions, certaines personnes trouvaient ça tellement magnifique qu’ils auraient formé des sociétés secrètes se réunissant la nuit pour multiplier des quaternions dans l’intimité. Il faut bien quand même pour cela y éprouver un certain plaisir, tu me l’accorderas.

    Répondre à ce message
  • C’est pas des maths !

    le 19 janvier 2009 à 10:18, par giordano27

    Pour reprendre la terminologie de l’article, je dirais que c’est en faisant beaucoup de « c’est pas des maths » qu’on arrive finalement à faire du « c’est des maths ». L’abstraction qui symbolise les mathématiques doit être considérée comme une action, le fait d’abstraire. Or cela ne peut se faire qu’à partir d’une matière première abondante qui est obtenue avec du « c’est pas des maths ». Pour comprendre une astuce, une définition subtile, une démonstration, un lien entre deux problématiques il faut disposer d’une culture mathématique, de références qui se sont en général construites avec du « c’est pas des maths ».

    Répondre à ce message
  • C’est pas des maths !

    le 19 janvier 2009 à 16:08, par rferreol

    Attention, je vous suggère de remplacer « c’est des maths » ou « c’est pas des maths », par « c’est des maths que j’aime », ou « c’est des maths que j’aime pas »...
    car tout le monde n’est pas comme vous !

    Par exemple, j’ai d’anciens élèves qui après avoir intégré leur école d’ingénieur ont tenu le discours :
    "en école tout ce qu’on fait en prépa c’est fini ! Surtout on n’a pas besoin de démontrer ! On vous donne les formules et il n’y a plus qu’à les appliquer (ouf de soulagement)...

    Répondre à ce message
    • C’est pas des maths !

      le 19 janvier 2009 à 16:26, par Thierry Barbot

      Autant répondre : trouver plaisir « à faire des maths » n’est nullement une incongruité réservée à quelques phénomènes aux gènes particuliers. Mais elle nécessite le plus souvent effectivement une initiation, plus ou moins douloureuse... c’est en fait propre à chaque domaine artistique, ou à toute discipline ! Même le sport : combien de séances d’entraînement avant de pouvoir savourer le plaisir d’inscrire un but !

      Quant au « ouf de soulagement » de ces élèves ingénieur : quel dommage que leur réticence les fasse passer à côté d’un vrai plaisir ! Mais après tout, on peut bien consuire sa voiture sans avoir idée de son fonctionnement, mais y-a t’il lieu de s’en vanter ?

      Répondre à ce message
  • C’est pas des maths !

    le 16 juillet 2011 à 19:57, par bayéma

    je pense que le problème soulevé par pierre colmez est plus profond : c’est celui de l’émergence, profondément ancrée en chacun.e de nous de la victoire (quel que soit le terme que l’on emploiera pour la désigner : satisfaction d’un besoin, extinction d’une frustration, sentiment de puissance, etc.). mais dans le cas de la mathématique (mais en fait c’est vrai partout) c’est le sentiment que cette victoire nous (dé)montre que notre activité mentale est capable de mettre à jour des structures qui ne sont pas nécessairement accessibles à nos sens immédiats et ainsi inscrit dans notre ego un autre sentiment, plus ou moins inconscient crois-je, de (re)trouver une harmonie dans le réel. ce qui certainement participe à donner un sens à notre vie. bien sûr on peut parfaitement vivre sans analyser ces choses ni même les connaître, mais ces plaisirs (qui ne sont pas toujours petits) sont les « théorèmes » psychiques de notre accès à la liberté intérieure, base de notre puissance (au sens du verbe et non du substantif) à comprendre et agir. il y a donc deux bénéfices obtenus par ces plaisirs : d’abord la joie ! tout simplement la joie qui illumine (même pour un court instant) notre vie intérieure et qui nous entraîne vers les autres pour partager quelque chose ; qui d’entre nous, l’ayant ressentie, ne se retrouve à la raconter ? ensuite il y a l’assurance due à cette rencontre avec l’harmonie du monde ; galilée disait que le monde était écrit en mathématique, je comprends cette assertion comme la réponse d’einstein « dieu ne joue pas aux dés » c’est-dire que le monde n’est pas n’importe quoi ! et que nous pouvons y accéder par de nouvelles voies que strictement alimentaires.
    ce n’est donc pas rien que de passer à 15 - 1,5 !
    josef bayéma

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

<
  • /ul> "> bsp;-&

    class="res

  • à ji class="m so Institut
    Si vous a hreere"> eemorep.php?page=perso" titl icle=195docu5) dutruct="spip_note_r/i>< llaticon-rss">
    #8217/div> /d
    des''/_note' titleg" a titleg" as's "> atteim

    le eemorep.php?paSeptetes -1if">LfiématiqUn/h3> sohas> "spip_note_r/i>< llaticon-rss"> #8217/div>

    content">

    Notag&eacut-r clmmensggé/a> clmme ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-La-nisbunihtml" cla.html" cls-re ColmTisbuni ass=ous a hrass=ous a hre elto:?subge=agenda">Notre actuaAe act ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-Defi.htmlCalir. ier" cla.htmlssenre ColmDa> fi".

    ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-Lihtmbathtml18nre ColmDa> baneur 18

    ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-Revuk-dtmpsqu-onre ColmRevukà 15squ-o ass=ous a hrass=ous a hre elto:?subge=agenda">Notlexlsses>e xlsse ass=ous a hrass=ous

    ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-Lis-avait repr.htmltismeéal- ="pis>e Boavait repr.bsp;tismeéal

    ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-H. ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-ths+-"turevise; ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-Ridentrcledpedagoglsser-re ColmRidentrcle pédagoglsserl dommag;pas des mathn
    ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-Con:
    ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-es-et-litterattm-la-Planete-T_.htm48-re Colmues, CNRS, 200 matiqplanuni T_.ht

    ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-Li-rtdcast-Henri-Poincarl- ="pis>e rtdcast Henri Poincarle

    ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-ths+-"ttml" cla7-2004-re ColmMathém très t2004

    ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-ths+-"ttml" cla7-2006-re ColmMathém très t2006 ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous a hre elto:?sub-Cour ier"tml"l 7-re ColmCour ierm trl 7 ass=ous a hrass=ous a hr/ul> ass=ous a hrass=ous

    r eumls-3">
    orum2 MathematiquAu hrettm-Gal217-+re ColmAu hre maGal217 <
    orum2 MathematiquBenoit-es;eslbrotturecut"omatis-\timtal7-+re ColmBenoît es;eslbrotvant par catis \timtal7 <
    orum2 MathematiquBiblio-etteratureperiodtterat+re ColmBiblio-eètératurp quiodtteraques : http://i

    orum2 MathematiquCarntis-tm-ne sshtm-la-MMIt+re ColmCarntiser &lline&nmatiqMMI

    orum2 MathematiquCartmathphiet+re ColmCartmathphie

    orum2 MathematiquFaut-il-ade sepeurttml" cla7-+re ColmFaut-ilé pas mectures ès tà fncante s <

    orum2 MathematiquHenri-Poincarl-73-+re ColmHenri Poincarle

    orum2 MathematiquJacces-Hadamard-+re ColmJacces Hadamard

    orum2 MathematiquJeanecu-R7;e-D-Aleteertt+re ColmJeanat dR7;e D’Aleteertl

    orum2 MathematiquJoseph-Lou17-Lami"nget+re ColmJoseph-Lou17 Lami"nge

    orum2 MathematiquLis-hutes s-bondae 7-jumeauxt+re ColmLaoavait reprures hutes s bondae 7 jumeaux

    orum2 MathematiquLi-17;ess-mat cla.htmlssen+ ="pis>e 17;estnbspues : http://

    orum2 MathematiquLis-5-minRuLibesgsen+ ="pis>e s 5 minR Libesgse

    orum2 MathematiquLis-figepr.her c-parolrat+re Colme s figepr.ser ceparolra

    orum2 MathematiquLis- (au view.htmlCIRMt+re Colme s (au view.mdut IRM

    orum2 Mathematiques-et-litterattm-la-planete-T_.htm69.hématiques et littéramatiqplanuni T_.ht (2013)

    orum2 Mathematiqu cla.htmlsser-urearts-plasttterat+re Colmues et littératurarts plastttera

    orum2 Mathematiques-et-litteratureIndsenti+.hématiques et littératurIndsenti+

    orum2 Mathematiques-et-litteraturet ds+-"thématiques et littératurt ds+-"

    orum2 Mathematiques-et-litteraturet areprthématiques et littératurt orum2 Mathematiqueikhail-Gromov-geometprthématiquikhaïl Gromov,&ue foutpr

    orum2 MathematiquNir eas.htmrbakithématiqNir eas htmrbaki

    orum2 MathematiquParlez-esse" cla7-+re ColmParlez-esse;». orum2 MathematiquR clme fai-+re ColmR clme fai <

    orum2 MathematiquTtrêmeme-optimal-+re ColmTtrêmeme optimall

    r cl7;un ass=ous a hrass=ous a hre elto:?subNnce -e8217ere Colme'a> 8217e ass=ous a hrass=ous a hre elto:?subFnt, mais y-a htmls sore ColmFnt, mais y-a tif) so ass=ous a hrass=ous a hre elto:?subge=agenda">Notre actuaNté mente; ass=ous a hrass=ous a hre elto:?subSu &luParten-- --ls sos-amisre ColmParten-- -- ass=ous a hrass=ous a hre elto:?subject=C&i> @.cnrs.fr%2FC-est-palmCon/a> ass=ous a hrass=ous

    i>Laisser head"> i>ldlef ic NotplanlmPlantif) so ass=ous a hrass= elto:?subMvous sl"l:oir n ass=ous a hrass= elto:?subSu &luParten-- --ls sos-amisre ColmSu &l weblR n ass=ous a hrass= elto:?subject=C&i> @.cnrs.fr%2FC-est-palmmenu con/a> ass=ous a hr
    >ld=/>
    < <> /ul> itype rext/;"> "ettes-7;élH300/ajs/ .frin.jsousy.j > itype rext/;"> "ettes-7;élH300/-csenom/v acor/cookiesplease/cookiespleasefrin.j > itype rext/;"> "ettes-7;élH300/-csenom/js/appfrin.j > itype rext/;"> "
    var _paq = _paq || [];/div> _paq.push(['i sykPnrsView']);/div> _paq.push(['en-bleLinkT syking']);/div> _paq.push(['setT sykerUrl', '/piwik/piwikgend']);/div> _paq.push(['setSu &Id', 1]);/d/div> (fut, mai() { var d=docu5) g.type 'rext/;"> '; g.defer=true; g.async=true; g.cache/piwik/piwikgjs';/div> s.parettNode.inme lBefore(g,s);/div> })();/div> 2> >