C’est pas des maths !

Le 18 janvier 2009  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (5)
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A force d’expliquer à mes amis (non mathématiciens)
que ce avec quoi on torturait leurs enfants à l’école
ou au lycée n’était pas des maths [1] , j’ai fini par me
faire poser la question : "Bon d’accord, mais alors c’est quoi
des maths ?". Cette question m’a un peu pris au dépourvu :
je sentais instinctivement la différence entre c’est « des maths »
et c’est « pas des maths », mais je n’avais jamais vraiment cherché
à comprendre où elle se situait (la réponse que j’ai donnée
ce soir-là était du genre [2] : "les maths, c’est ce qui a l’air
d’être des maths et n’est pas pas des maths".

En creusant un peu, j’ai découvert que j’appelais « pas des maths »
tout ce qui n’évoquait que l’ennui d’une tache routinière
sans signification, et « des maths » ce qui était susceptible
de provoquer un certain
plaisir instantané (l’effet Haha de Martin Gardner).
Ce plaisir se manifeste dans des circonstances très variées [3] :
quand on découvre (ou qu’on vous montre) une astuce permettant de mener un calcul
à bien ou une construction géométrique fournissant la
solution d’un problème, quand on comprend les subtilités d’une définition,
quand on écoute une démonstration et que les différents
morceaux qui la composent convergent soudain pour mener au résultat,
quand on apprend une nouvelle idée, quand on découvre
un objet mathématique aux propriétés surprenantes,
quand on découvre un lien entre deux problématiques qui semblent
a priori ne pas en avoir, etc. Il me semble que ce plaisir doit correspondre
à un certain processus chimique dans le cerveau dont le but est
de faciliter la mémorisation de la découverte ou l’envie
d’apprendre.
A l’opposé, tout ce qui est application pas à pas d’un algorithme
n’entraîne qu’ennui profond et ne laisse pas de trace dans la mémoire
(heureusement que le cerveau ne garde pas trace de toutes les multiplications,
divisions, équations du second degré, systèmes linéaires...
qu’il a eu à traiter au cours de son existence !).

En résumé, c’est « des maths » quand du sens apparaît,
« pas des maths » quand on fait un calcul sans autre but que
de faire fonctionner un algorithme,
« des maths » quand on doit faire appel à son libre arbitre,
« pas des maths » quand on se contente d’obéir aux ordres,
« des maths » quand on part de définitions précises et robustes
et qu’on
en déduit des recettes utilisables, « pas des maths » quand
on se contente d’utiliser aveuglément ces recettes,
« des maths » quand on identifie un concept et qu’on lui donne
un nom, « pas des maths » quand on empile des définitions
sans justification.

Même en tant que mathématicien, on est amené à faire
« pas des maths » pour vérifier que ce qu’on
entrevoit n’est pas une illusion d’optique, mais on ne le fait jamais
à l’aveugle. J’ai énoncé
une conjecture il y a quelques années, et pour la vérifier
dans un cas particulier, j’avais une intégrale à calculer.
Le résultat ne laissait aucun doute : ma conjecture
était fausse. Comme elle était particulièrement esthétique
et que j’y tenais beaucoup, j’ai refait le calcul et trouvé une erreur.
Après correction de cette erreur ma conjecture était toujours aussi
fausse... Après quatre itération du processus précédent,
ma conjecture avait repris vie, et je ne trouvais
plus d’erreur de calcul. J’étais très content, mais c’était
un peu le soulagement du randonneur atteignant enfin le refuge, guidé
par sa lueur, après un certain nombre de chutes dans l’obscurité ;
ce n’était pas la joie pure
de celui qui découvre un paysage grandiose après le
passage d’un col ou d’un virage.

Notes

[1On commence l’enseignement de « pas des maths » très tôt. Je me
souviens de ma fille rentrant de l’école un soir et me disant :
"Papa, ça fait deux $0$ de suite que j’ai pour mes multiplications
et je ne comprends pas ce que je fais faux".
J’ai regardé son cahier et constaté que les résultats qu’elle
avait obtenus étaient effectivement très faux. Mon oeil
a alors été attiré par le résultat de sa multiplication par $5$
dont tous les chiffres étaient des $0$ ou des $5$, et j’ai réalisé
qu’elle commençait par additionner la retenue avant de faire la
multiplication... Ceci me fait penser que les enfants
ne retirent aucun savoir, autre que purement mécanique,
de l’utilisation de cet algorithme qui a été développé,
il y a longtemps, pour les experts (comptables) ; les lointains
descendants de ces experts l’ayant remisé
aux oubliettes au profit d’un algorithme nettement plus
efficace (l’utilisation d’une calculette), on pourrait
peut-être envisager l’utilisation d’un algorithme moins
rapide, mais plus formateur (au sens de formation
et pas de formatage...).

[2Un
physicien expliquerait que c’est à peu près
ce que l’on est en droit d’attendre d’un mathématicien.

[3Pour donner un exemple, j’ai passé un mois à l’Institut
Tata de Bombay il n’y a pas très longtemps, et pour aller en
ville le taxi était un moyen de transport extrêmement pratique.
Les taxis de Bombay sont équipés d’un compteur (obtenir
qu’il soit utilisé demande un peu de discussion...), mais il
faut multiplier le prix par 13,5 pour obtenir le prix à payer
(le savoir facilite la discussion finale). Après quelques
jours où j’ai vainement essayé de multiplier de tête par 13,5
en utilisant l’algorithme appris à l’école, j’ai enfin
réalisé
que 13,5=15-1,5, et donc qu’on pouvait s’en sortir
en multipliant par 10, en rajoutant la moitié et en enlevant un dixième
au résultat. Je me souviens avoir ressenti un petit plaisir
à cette découverte et donc d’avoir fait « des maths ».
En résumé, calculer $(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{2})\times 10$
et trouver $13,5$, c’est « pas des maths » ; réaliser que
$13,5=(1-\frac{1}{10})(1+\frac{1}{2})\times 10$
c’est « des maths » (certes, pas très sophistiquées).

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «C’est pas des maths !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

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  • C’est pas des maths !

    le 19 janvier 2009 à 08:53, par Xavier Caruso

    Je pense que le plaisir ressenti à faire telle ou telle chose dépend beaucoup des personnes, et aussi du moment de leur vie. Je pense que l’on peut tout à fait ressentir du plaisir à appliquer un algorithme routinier, ne serait-ce que juste pour voir comment il fonctionne. Je me rappelle très bien, après avoir découvert la dérivation, avoir passé pas mal de temps à m’entraîner sur des fonctions de plus en plus compliquées alors que je savais déjà très bien faire, et ce juste pour le plaisir. Je ne me rappelle plus vraiment si cela m’amusait beaucoup de faire des additions ou des multiplications lorsque j’étais au primaire (je sais, en tout cas, que je détestais les divisions car je faisais trop souvent des erreurs de calcul), mais je ne crois pas avoir jamais trouvé le programme de maths ininteressant (au pire, aurais-je trouvé que l’on allait trop lentement). Il me semble également avoir certains autres témoignages dans ce sens de personnes qui aimaient passer leur temps à faire des calculs systématiques.

    Je ne sais pas si c’est vrai, mais Michael Rapoport m’a raconté cet été, qu’après la découverte des quaternions, certaines personnes trouvaient ça tellement magnifique qu’ils auraient formé des sociétés secrètes se réunissant la nuit pour multiplier des quaternions dans l’intimité. Il faut bien quand même pour cela y éprouver un certain plaisir, tu me l’accorderas.

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