Voy a presentarles dos modelos muy clásicos en los campos de las probabilidades y los sistemas dinámicos :

• los caminos aleatorios (modelo probabilista),
• un modelo de Lorentz o billar de Sinai (modelo determinista).

Mi objetivo es mostrar las similitudes existentes entre estos dos modelos e introducir así de cierta manera la teoría del caos.

En lo que se refiere a las probabilidades, no es necesario ningún conocimiento detallado para comprender lo que sigue. Les recuerdo simplemente que una probabilidad mide la chance que tiene un acontecimiento de producirse.
La probabilidad de que un acontecimiento $A$ se produzca es un número $P(A)$ comprendido entre $0$ (=0%) y $1$ (=100%).

• $P(A)=0$ significa que el acontecimiento $A$ no se produce (casi) nunca (un acontecimiento así no se observa nunca).
• $P(A)=1$ significa que el acontecimiento $A$ se produce (casi) siempre.

La palabra casi forma parte del vocabulario probabilista y puede ser olvidada.

Camino aleatorio en dimensión 1

Consideremos un caminante aleatorio (cuyos pasos son todos de igual longitud) que, antes de cada paso, lanza una moneda al aire para determinar si va a ir hacia la izquierda o hacia la derecha.

$\quad$

Este modelo se llama marcha aleatoria simple simétrica sobre el conjunto de los naturales (enumerando los lugares mediante los naturales ...,-2,1,0,1,2,...). Numerosos aspectos de este modelo han sido y son aún estudiados. Aquí me interesan sólo dos aspectos:

1. la recurrencia,
2. el número $R_n$ de lugares diferentes visitados antes del $n$-ésimo paso.

Camino aleatorio en dimensión 2

Consideremos ahora un caminante aleatorio que puede desplazarse en cada paso hacia la izquierda, la derecha, arriba y abajo, con una chance sobre 4 de ir en alguna de estas direcciones.

Uno puede plantearse todavía la pregunta de la recurrencia e interesarse en el comportamiento del número $R_n$ de lugares visitados antes del $n$-ésimo paso.

Una vez más, la propiedad de recurrencia es verificada, pero el número de lugares visitados es más grande: cuando $n$ es grande, $R_n$ es del orden de $n/lg(n)$, por lo tanto es un poco más pequeño que $n$ (recordatorios acerca de la función $lg$: [1]).

$\quad$

Los caminos aleatorios son también presentados en Wikipedia.

Modelo de Lorentz, billar de Sinai

En 1905, H. A. Lorentz modelizó los desplazamientos de los electrones en ciertos metales considerándolos independientes uno de los otros, siendo preponderantes las colisiones de los electrones con los átomos metálicos, supuestamente fijos (referencia de investigación: [2]).

Simplifiquemos este modelo. Consideremos que los átomos son discos repartidos de manera periódica en el plano:

Supongamos que la configuración sea tal que toda recta encuentra forzosamente un átomo (se habla de horizonte finito). Se considera una partícula puntual (que representa un electrón) desplazándose a 300 km/s.
Se supone que cuando no encuentra átomo, la partícula se desplaza en línea recta, pero que en el instante en que encuentra un átomo, rebota hacia arriba siguiendo la ley clásica (de Descartes) de la reflexión: ángulo incidente = ángulo reflejado.

Ese modelo, estudiado primero por Y. G. Sinai con resultados en 1970, es totalmente determinista: si uno conoce la posición y la orientación de la partícula en el momento $0$, se puede calcular su posición y su orientación en todo momento $t$. Pero, en la práctica, uno no conoce la posición y la orientación en el instante $0$, sino solo con cierta precisión (estamos limitados por nuestros aparatos de medición). Uno sabe solamente que la partícula sale de una pequeña región $B$ alrededor de un punto $X$, con una orientación en el pequeño campo $C$ alrededor de una orientación $V$.

La imprecisión acerca de la posición y orientación iniciales creó una aleatoriedad y, con esa pequeña aleatoriedad inicial, el sistema se comporta como el camino aleatorio en dimensión 2. La forma de los obstáculos juega un rol en ese comportamiento caótico: dos partículas pueden partir con posiciones y orientaciones muy cercanas y tener trayectorias alejándose mucho una de la otra (se dice que ese sistema es hiperbólico).

Benoît Saussol, con quien he tenido la oportunidad de trabajar sobre el modelo de Lorentz, ha realizado animaciones acerca de ese modelo.

Usted puede consultar también una página web, en la cual yo presento el modelo de Lorentz y el billar de Sinai de una manera cercana, sin ser idéntica al contenido de este artículo.

El estudio del comportamiento caótico de sistemas deterministas es un campo de investigación muy activo en el enlace de los sistemas dinámicos y de las probabilidades. El estudio del modelo de Lorentz rápidamente se revela difícil, especialmente en dimensión 3 (en el espacio, con átomos esféricos), donde se plantean problemas técnicos incluso más complejos.