3 janvier 2013

Carrément circulaire

Patrick Popescu-Pampu

Professeur, Université Lille 1. Responsable de notre rubrique Café des maths. (page web)

Savez-vous métamorphoser un cercle en carré ? Je présente ici deux méthodes pour le faire. La première passe par la manipulation de quelques formules importantes en Analyse. La deuxième, expliquée dans un petit film des années 60, interroge notre perception visuelle.

Savez-vous transformer de manière continue un cercle en carré ?

Ceux qui ont étudié suffisamment d’Analyse Mathématique pourraient répondre de la manière suivante :

$-$ Mais bien sûr ! Il suffit de dessiner la sphère unité pour la norme $L^p$, puis de faire varier le paramètre $p$ de $1$ à $\ 2$ ou bien de $\ 2$ à l’infini !

$-$ Qu’est-ce à dire ? pourront légitimement s’interroger ceux qui ne sont pas allés si loin en Analyse.

J’essayerai d’expliquer brièvement cette réponse.

On se place dans le plan, rapporté à un système de coordonnées cartésien $(x,y)$. Le cercle de rayon $1$ centré à l’origine est le lieu des points vérifiant l’équation [1] : \[|x|^2 + |y|^2 =1.\] Considérons ensuite, pour chaque nombre réel $p \geq 1$, les points du plan qui vérifient l’équation plus générale :
\[|x|^p + |y|^p =1.\]
Comme le cercle, il s’agit d’une courbe, que l’on notera $C_p$. Le cercle de rayon $1$ s’obtient dans le cas particulier $p=2$. Pour $p=1$ on obtient un carré [2]. On en obtient aussi dans le cas limite $p = \infty$. À vrai dire, la courbe $C_p$ n’a pas été définie pour $p = \infty$, mais on peut montrer que lorsque $p$ tend vers l’infini, les courbes $C_p$ tendent vers le carré dont les sommets ont comme coordonnées $(\pm 1, \pm 1)$.

Donc, en faisant varier continûment l’exposant $p$ de $1$ à $2$, on métamorphose le carré $C_1$ en le cercle $C_2$. De même, en faisant varier $p$ de $2$ à $\infty$, on transforme le cercle $C_2$ en le carré $C_{\infty}$.

Et les normes dans tout ça ?

C’est vrai, la réponse parlait, de manière un peu pédante, de norme $L^p$. Voici de quoi il s’agit.

Une norme est une manière éventuellement différente de celle standard, euclidienne, de mesurer les longueurs des vecteurs dans le plan ou, plus généralement, dans n’importe quel espace vectoriel. Plus précisément, si on note, comme c’est devenu la convention universelle, par $|| v ||$ la norme d’un vecteur,
c’est-à-dire sa longueur d’après la nouvelle « norme », on demande que certaines propriétés vraies pour la longueur euclidienne soient encore vérifiées :
— que les vecteurs non nuls aient une norme $> 0$ et que $|| 0 || =0$ ;
— que $|| a v || = |a| \cdot || v ||$ pour tout nombre réel $ a$ et pour tout vecteur $v$ ;
— que l’inégalité triangulaire soit vérifiée : $|| u || + || v || \geq || u - v ||$ pour toutes les paires de vecteurs $u, v$.

Si notre espace vectoriel est le plan cartésien des paires $(x,y)$ de nombres réels, alors on a une famille $|| . ||_p$ de normes, dites $L^p$, très importantes en Analyse (mais principalement sous une version de dimension infinie), et définies de la manière suivante. Le paramètre $p$ varie de $1$ à l’infini. Si on prend le vecteur $v =(x,y)$, alors :
\[ || v ||_p = ( |x|^p + |y|^p)^{1/p}.\]
C’est un exercice demandant un certain savoir-faire de prouver que l’on a bien des normes, mais c’est vrai. La courbe $C_p$ est donc définie par l’équation
$|| v ||_p =1$, c’est bien la sphère unité pour la norme $L^p$, si on appelle, comme c’est devenu conventionnel, sphère unité le lieu des points de norme $1$ dans tout espace vectoriel muni d’une norme !

Dans le dessin suivant j’ai représenté plusieurs courbes $C_p$, permettant de ressentir, j’espère, comment on passe du cercle au carré avec cette première méthode.

Le lecteur féru de programmation pourra aisément fabriquer une courte animation grâce aux équations précédentes, montrant la métamorphose du cercle en carré.

En fait, je n’en viens que maintenant au sujet principal de mon billet. Il s’agit d’un petit film que j’ai trouvé tout à fait étonnant, réalisé par Jean Beuchet. Son titre complet est « Le cercle carré, étude de la perception d’une forme mouvante » [3]. Eh bien, ce film présente une manière complètement différente de métamorphoser un cercle en carré ... de manière circulaire. Et, vous verrez, il n’y est plus du tout question d’Analyse, mais seulement de Géométrie, et de perception. Pourrez-vous découvrir le procédé utilisé avant de regarder le film en entier ?

Ce film vient d’atteindre l’âge de 50 ans ! Si vous l’avez aimé, peut-être apprécierez-vous aussi ce deuxième film de Jean Beuchet, analysant d’autres aspects de notre perception visuelle. Peut-être voudrez-vous alors revoir les bases de la perspective géométrique dans cet article écrit par Denis Favennec, redécouvrir dans cet article d’Etienne Ghys comment de multiples perspectives permettent de construire une horloge solaire et dans cet article de Pierre Gallais comment des points de vue différents déroutent complètement le sens logique qui nous pousse à vouloir répondre par oui ou par non ...

Bonne année, au moins aussi agréablement surprenante que le film de Jean Beuchet !

P.S. :

Merci beaucoup à Arnaud Bodin pour m’avoir fait découvrir le film « Le cercle carré », ainsi qu’à Etienne Ghys pour ses suggestions !

Notes

[1] Vous me direz que je n’ai pas besoin d’écrire de valeurs absolues, car le carré d’un nombre est égal à celui de sa valeur absolue. En fait, cette écriture prépare l’équation plus générale suivante. Quant à celle-ci, je rappelle qu’elle découle du théorème de Pythagore. En effet, si $P$ désigne un point quelconque du cercle, que $A$ est sa projection sur l’axe de la coordonnée $x$ et que $O$ désigne le centre, le triangle $PAO$ est rectangle en $A$ donc, par le théorème de Pythagore, $OA^2 + AP^2 = OP^2$. Mais cela est exactement l’équation mentionnée.

[2] Ses sommets sont les points des axes de coordonnées situés à distance $1$ de l’origine.

[3] On trouvera ici plus d’informations le concernant.