« Ce n’est pas un des résultats les moins intéressants et les moins inattendus de cette étude... »

Élie Cartan entre algèbre(s) et géométrie

Piste noire Le 15 janvier 2017  - Ecrit par  François Lê Voir les commentaires (3)

Élie Cartan est un mathématicien français ayant notamment contribué à un domaine qu’on appelle aujourd’hui la « théorie des algèbres de Lie ». Nous nous intéressons ici à un théorème démontré par Cartan au début de sa carrière. Le rapprochement que ce théorème exprime entre la théorie des algèbres de Lie et d’autres domaines a priori très différents lui a valu d’être perçu par son auteur comme un résultat pour le moins « inattendu »...

Élie Cartan (1869-1951) est né dans le village isérois de Dolomieu, deuxième d’une fratrie de quatre enfants dont les parents étaient d’« humbles paysans qui pendant leur longue vie [leur] ont donné [...] l’exemple du travail joyeusement accompli et des charges vaillamment acceptées » [1]. Après de brillantes études primaires et secondaires effectuées dans sa région natale, Cartan fréquenta le lycée parisien Janson-de-Sailly puis intégra l’École normale supérieure en 1888. Il y suivit les enseignements de plusieurs des grands noms français des mathématiques de la fin du XIXe siècle, comme Charles Hermite, Gaston Darboux, Jules Tannery, Henri Poincaré, Émile Picard et Édouard Goursat.

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Élie Cartan (1869-1951).

Cartan prépara sa thèse de doctorat entre 1892 et 1894. La thématique générale de la thèse est l’étude de certains ensembles de transformations de l’espace, comme par exemple des rotations. À l’époque, il était connu que pour comprendre ces ensembles de transformations, il est possible de passer par l’étude d’autres ensembles qui leur sont associés, et qu’on appelle aujourd’hui des « algèbres de Lie ». Ces algèbres de Lie sont les objets qui se trouvent au cœur des travaux de thèse de Cartan [2].

Le théorème qui nous intéresse a été développé dans des prolongements des travaux doctoraux de Cartan. Il apparaît d’abord sous une première forme incomplète dans une courte note aux Comptes rendus hebdomadaires de l’Académie des sciences de 1894 (Cartan, 1894a), et met en relation certaines algèbres de Lie avec des objets attachés à la théorie des équations algébriques, les « groupes de substitutions ». En 1896, Cartan publie un article plus développé dans l’American Journal of Mathematics (Cartan, 1896). La version de 1894 du théorème y est augmentée, notamment par l’intervention des « vingt-sept droites d’une surface du troisième ordre », configuration provenant de la géométrie algébrique.

Notre objectif ici est de présenter et de situer dans le contexte du XIXe siècle ce théorème avec les différents objets qui y sont mis en relation : algèbres de Lie, groupes de substitutions, vingt-sept droites. Nous allons commencer par décrire quelques travaux de cette époque relatifs aux vingt-sept droites et aux groupes de substitutions, chronologiquement antérieurs à ceux qui ont été dévolus aux algèbres de Lie.

Les vingt-sept droites et les groupes de substitutions

Des droites et des surfaces

Les « vingt-sept droites » sont des objets attachés à une partie de la géométrie (dite « géométrie algébrique ») qui étudie des courbes et des surfaces pouvant être définies par des équations polynomiales comme
\[ y=x^2 \qquad \text{ou} \qquad x^2+y^2+z^2=1. \]
La première de ces équations n’implique que deux variables $x$ et $y$, et décrit donc une courbe du plan. Plus précisément, il s’agit ici d’une parabole. La deuxième équation utilise quant à elle les trois variables $x$, $y$ et $z$, de sorte qu’elle définit une surface de l’espace. Cette surface est ici une sphère.

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À gauche, une parabole. À droite, une sphère avec un « équateur » marqué en noir.

Pour adopter le vocabulaire des mathématiciens du XIXe siècle (et même d’avant), on dira que ces objets sont « du second ordre » car les exposants qui interviennent dans les équations sont égaux à 2 au maximum.

On peut aussi considérer des équations dans lesquelles les exposants atteignent des valeurs plus grandes que 2. Par exemple, avec deux variables :
\[ y^2=x^3-x \qquad ; \qquad x^4 - 4xy^3+ 2y^2+3=0. \]
La terminologie introduite précédemment s’adapte pour ces équations : ces dernières définissent ainsi respectivement une courbe du troisième ordre et une courbe du quatrième ordre.

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La courbe de gauche est du troisième ordre, tandis que celle de droite est du quatrième ordre.

De même, si on utilise maintenant les trois variables $x$, $y$, $z$ avec des exposants atteignant 3, comme dans l’équation
\[ x^3-3y^2z+z^3-3x^2+7z+1=0, \]
on obtient une surface dite du troisième ordre.

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Deux surfaces du troisième ordre. Le jaune et le violet colorent à chaque fois les deux « faces » (intérieure et extérieure) de la surface.

Ces surfaces du troisième ordre, parfois également appelées « surfaces cubiques », ont fait l’objet de nombreuses recherches dans la deuxième moitié du XIXe siècle, recherches en grande partie liées à un théorème prouvé en 1849 par les britanniques Arthur Cayley (1821-1895) et George Salmon (1819-1904) (Cayley, 1849 ; Salmon, 1849). Ce théorème affirme que toutes les surfaces cubiques contiennent exactement 27 droites. Autrement dit, il existe dans chaque surface du troisième ordre un même nombre de lignes droites, à savoir 27 [3] — James Joseph Sylvester, ami et collègue de Cayley et Salmon, utilisait une métaphore organique et assimilait ces vingt-sept droites au squelette de la surface dans laquelle elles sont incluses.

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Des surfaces cubiques avec leurs droites. À gauche : modèle en plâtre datant de la fin du XIXe siècle. Source : (Fischer, 1986). À droite : image récente tirée du site web http://cubics.algebraicsurface.net d’Oliver Labs.

Depuis les années 1830, d’autres configurations de droites ou de points associées à des surfaces ou des courbes étaient connues. Par exemple, Julius Plücker (1801-1868) avait démontré en 1835 que les courbes du troisième ordre possèdent exactement 9 points d’inflexion [4], et en 1839 que toute courbe du quatrième ordre possède 28 tangentes doubles, c’est-à-dire 28 droites qui lui sont tangentes en deux points.

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À gauche, une courbe cubique. Les trois points marqués sont des points d’inflexions : la courbe y traverse chacune des trois tangentes, tracées en pointillés. À droite, une courbe quartique avec une tangente double.

Les mathématiciens du XIXe siècle ne s’étaient pas contentés de dénombrer tous ces objets. Par exemple, un de leurs enjeux était d’élucider les relations d’incidence existant entre les objets d’une même configuration. Ces relations ayant souvent été vues comme compliquées, un autre problème avait été d’établir des systèmes de notation permettant de bien les comprendre.

Ainsi, dès leurs publications de 1849, Cayley et Salmon avaient montré que chacune des vingt-sept droites en rencontre exactement 10 autres, et qu’elles sont coplanaires trois à trois, formant en tout 45 triangles.

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Une surface cubique avec trois de ses droites formant un triangle. Source : http://cubics.algebraicsurface.net.

Les deux mathématiciens britanniques avaient par ailleurs proposé trois systèmes de notation différents, mais c’est celui que Ludwig Schläfli (1814-1895) présenta dans un article de 1858 qui fut par la suite le plus largement répandu et adopté (Schläfli, 1858). La notation de Schläfli consiste à utiliser les symboles $a_1,a_2,\ldots,a_6,b_1,b_2,\ldots,b_6$ et $c_{12},c_{13},\ldots,c_{56}$, où les indices des lettres $c$ sont des couples d’entiers distincts compris entre 1 et 6, avec la convention que $c_{ik}=c_{ki}$ pour tous $i\neq k$. Il y a ainsi 27 symboles qui désignent les vingt-sept droites, et les règles reflétant leurs relations d’incidence sont les suivantes :

  • Les droites que rencontre $a_i$ sont toutes les droites $b_j$ avec $j\neq i$, ainsi que celles de la forme $c_{ik}$. Par exemple, $a_1$ rencontre $b_2,b_3,b_4,b_5,b_6$, $c_{12}, c_{13}, c_{14}, c_{15}, c_{16}$ et seulement celles-là.
  • De même, les droites que rencontre $b_i$ sont toutes les droites $a_j$ avec $j\neq i$, ainsi que celles de la forme $c_{ik}$.
  • Enfin, les droites que rencontre $c_{ik}$ sont $a_i$, $a_k$, $b_i$, $b_k$, ainsi que les droites $c_{j\ell}$ où $j$ et $\ell$ parcourent tous les entiers compris entre 1 et 6 à l’exception de $i$ et $k$. Par exemple, $c_{12}$ rencontre $a_1,a_2,b_1,b_2$ ainsi que $c_{34},c_{35},c_{36},c_{45},c_{46},c_{56}$.

Outre ces travaux sur les relations d’incidence et les notations, les configurations géométriques ont aussi servi à alimenter des recherches liées à la théorie des équations algébriques. Avant d’entrer dans les détails, présentons brièvement certains des aspects de cette théorie, indépendamment des configurations géométriques.

Équations algébriques et groupes de substitutions

Commençons par considérer l’équation algébrique suivante :
\[ x^{10}-x^2-1=0. \]
On voit que si l’on appelle $y_1,y_2,\ldots,y_5$ les racines (c’est-à-dire, les solutions) de l’équation $y^5-y-1=0$ , alors on obtient celles de l’équation de départ en résolvant les équations
\[ x^2=y_1 \qquad ; \qquad x^2=y_2 \qquad ; \qquad \cdots \qquad ; \qquad x^2=y_5. \]
Autrement dit, en supposant avoir résolu l’équation $y^5-y-1=0$, on trouve les solutions de l’équation de départ en résolvant encore cinq équations de degré 2. Pour adopter le vocabulaire du XIXe siècle, on dit que la résolution de l’équation $x^{10}-x^2-1=0$ se ramène à celle d’une équation de degré 5 et d’équations de degré 2 [5]. Cette question de savoir ramener la résolution d’une équation à celles d’autres équations auxiliaires plus simples a été très importante pour les mathématiciens du XIXe siècle.

C’est dans ce cadre qu’au début des années 1830, Évariste Galois (1811-1832) eut l’idée de ramener l’étude d’une équation à celle d’un objet qui lui est associé : son groupe. Sans entrer dans les détails, disons que le groupe d’une équation est un ensemble formé de certaines des substitutions agissant sur ses racines, c’est-à-dire des applications qui échangent entre elles ces dernières [6]. Les propriétés de résolubilité d’une équation se reflètent alors en celles de son groupe. Par exemple, l’existence d’équations auxiliaires permettant de résoudre une équation se traduit par l’existence de certains sous-groupes contenus dans le groupe de l’équation. On est ainsi amené à analyser le groupe lui-même et ses sous-groupes : on cherche à en déterminer plusieurs caractéristiques comme ce qu’on appelle l’ordre, l’indice, l’invariance et la simplicité [7], qui informent plus précisément sur les éventuelles chaînes d’équations auxiliaires de résolution de l’équation donnée.

Camille Jordan et l’« équation aux vingt-sept droites »

Les idées de Galois ont mis un certain temps à être diffusées et assimilées au cours de la deuxième moitié du XIXe siècle. Sans vouloir revenir ici sur cette histoire [8], retenons un des ouvrages ayant joué un rôle important dans le processus de synthèse et de clarification de ces idées : le Traité des substitutions et des équations algébriques, écrit par Camille Jordan (1838-1922) et publié en 1870.

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Camille Jordan (1838-1922).

Dans ce livre, Jordan présente les méthodes de Galois, mettant donc au devant de la scène la notion de groupe de substitutions et ses liens avec les questions de résolubilité des équations. Plusieurs chapitres du Traité sont consacrés à divers exemples d’application. On trouve ainsi dans le chapitre intitulé « Applications géométriques » des équations liées aux configurations géométriques que nous avons présentées précédemment, appelées « équation aux vingt-sept droites », « équation aux neuf points d’inflexion », « équation aux vingt-huit tangentes doubles », etc.

L’équation aux vingt-sept droites est ainsi une équation de degré 27 (en une inconnue) dont chacune des racines correspond à une des vingt-sept droites d’une surface du troisième ordre. Conformément au cadre général du Traité, Jordan en cherche les propriétés de résolubilité en s’appuyant sur l’étude de son groupe. Il démontre ainsi que ce « groupe de l’équation aux vingt-sept droites » est d’ordre 51840 et qu’il possède un sous-groupe invariant d’indice 2, qui est simple.

Notons que toutes ces équations liées à des configurations géométriques font partie d’une famille qui était à l’époque appelée « les équations de la géométrie ». Elles ont joué un rôle important autour de 1870 pour certains mathématiciens comme Alfred Clebsch, Felix Klein ou Max Noether. Permettant en effet à ces derniers de mobiliser leurs connaissances géométriques, elles les ont aidés à mieux comprendre la théorie des substitutions, qu’ils trouvaient abstraite et difficile : par exemple, la recherche d’équations auxiliaires pour une équation de la géométrie était remplacée par celle de nouvelles configurations géométriques [9].

Nous avons maintenant présenté suffisamment d’informations au sujet des vingt-sept droites et des groupes de substitutions. Il est donc temps de nous tourner vers les travaux de thèse de Cartan.

Groupes de transformations finis et continus

La définition actuelle des groupes et algèbres de Lie comme des ensembles munis de structures abstraites n’est pas celle utilisée par Cartan dans sa thèse. Pour simplifier la présentation du point de vue de Cartan, utilisons un exemple (au contraire de ce que fait ce dernier...). Les équations
\[\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x'_1= x_1 \cos a_1 - x_2\sin a_1 +a_2 \\ x'_2=x_1 \sin a_1 + x_2\cos a_1 +a_3 \end{array} \right. \end{equation}\]
définissent une transformation des variables $x_1,x_2$ dépendant des trois paramètres $a_1$, $a_2$, $a_3$ ; plus précisément, il peut s’agir soit d’une rotation d’angle $a_1$ et dont les coordonnées du centre dépendent de $a_1$, $a_2$, $a_3$, soit (dans le cas où $a_1$ est un multiple de $2\pi$) d’une translation dont le vecteur a pour composantes $a_2$, $a_3$.

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Exemple d’une rotation définie par les équations (1), avec $a_1=\dfrac{\pi}{6}, a_2=0, a_3=0$. Le point $A$ de coordonnées $(x_1,x_2)$ est envoyé sur le point $A'$ de coordonnées $(x'_1,x'_2)$ par la rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\dfrac{\pi}{6}$.

Comme Cartan le faisait implicitement, nous considérerons dans cet exemple, mais aussi dans tout ce qui suit, que les variables ainsi que les paramètres utilisés sont des nombres complexes. Nous obtenons donc toute une famille de transformations, paramétrée par les trois nombres complexes $a_1,a_2,a_3$.

Un petit calcul montre que si l’on compose deux transformations de cette famille, alors on obtient encore une transformation de la même famille. En effet, si dans les équations
\[ \left\{ \begin{array}{l} x''_1= x'_1 \cos b_1 - x'_2\sin b_1 +b_2 \\ x''_2=x'_1 \sin b_1 + x'_2\cos b_1 +b_3, \end{array} \right. \]
on remplace $x'_1$ et $x'_2$ par leurs expressions données dans les formules (1), on arrive à des équations de la forme
\[ \left\{ \begin{array}{l} x''_1= x_1 \cos c_1 - x_2\sin c_1 +c_2 \\ x''_2=x_1 \sin c_1 + x_2\cos c_1 +c_3, \end{array} \right. \]
les paramètres ainsi obtenus $c_1,c_2,c_3$ pouvant s’exprimer en fonction des paramètres $a_i$ et $b_i$. [10]

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La composition de deux rotations est une rotation : envoyer d’abord $A$ sur $A'$ par la rotation de centre $\Omega$ et d’angle $\dfrac{\pi}{6}$ puis $A'$ sur $A''$ par la rotation de centre $\Omega'$ et d’angle $\dfrac{\pi}{3}$ revient à envoyer $A$ sur $A''$ par la rotation de centre $\Omega''$ et d’angle $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$.

En adoptant la terminologie de Cartan, cette propriété de composition fait de notre famille de transformations un « groupe fini et continu » de transformations [11]. Expliquons le sens de chacun des termes de cette expression :

  • Pour Cartan, le mot « groupe » traduit le fait que la famille est stable par composition. [12]
  • L’adjectif « fini » renvoie au nombre fini de paramètres entrant dans les équations de définition de la famille.
  • L’adjectif « continu » fait référence à la dépendance continue de $x'_1$ et $x'_2$ en fonction des paramètres.

Ajoutons qu’au début de sa thèse, Cartan suppose explicitement que les familles de transformations qu’il étudie contiennent toutes la transformation identique, qui laisse inchangées les variables. Dans notre exemple, il s’agit de la transformation définie par les équations
$ \left\{ \begin{array}{l} x'_1= x_1 \\ x'_2=x_2. \end{array} \right.$
Elle fait bien partie de la famille de transformations considérée, puisqu’elle est obtenue pour $(a_1,a_2,a_3)=(0,0,0)$.

Groupes de transformations infinitésimales

Pour comprendre les groupes de transformations finis et continus, Lie avait suggéré de passer par l’étude d’autres objets appelés par Cartan « groupes de transformations infinitésimales » : ce sont les « algèbres de Lie » que nous avons déjà plusieurs fois mentionnées. [13]

Reprenons notre exemple et effectuons dans les équations (1) un développement limité au premier ordre autour des paramètres $0$, $0$, $0$ correspondant à l’identité :
\[ \left\{ \begin{array}{l} x'_1= x_1 - a_1x_2 +a_2 +\cdots \\ x'_2= x_2 + a_1x_1 +a_3 +\cdots \end{array} \right. \]
Réécrivons ce système sous la forme d’une égalité entre couples :
\[ (x'_1,x'_2)=(x_1,x_2)+a_1(-x_2,x_1)+a_2(1,0)+a_3(0,1)+\cdots \]
En considérant les couples que multiplient respectivement $a_1,a_2,a_3$, on peut alors définir les trois applications
\[ X_1(x_1,x_2)=(-x_2,x_1) \qquad ; \qquad X_2(x_1,x_2)=(1,0) \qquad ; \qquad X_3(x_1,x_2)=(0,1). \]
Ces applications $X_1,X_2,X_3$ (de $\mathbf C^2$ dans $\mathbf C^2$) sont ce que Cartan appelle des « transformations infinitésimales » associées au groupe fini et continu de départ.

Il s’agit ensuite de considérer toutes les combinaisons linéaires de ces applications, c’est-à-dire toutes les applications de la forme $\lambda_1 X_1+\lambda_2 X_2+\lambda_3 X_3$ avec $\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3 \in \mathbf C$. L’ensemble de toutes ces combinaisons linéaires est appelé « groupe à 3 paramètres engendré par 3 transformations infinitésimales » par Cartan — dans la terminologie actuelle, il s’agit d’une algèbre de Lie de dimension 3. À l’image de ce que nous avons fait jusqu’à présent, nous nous permettrons dans la suite d’utiliser ce vocabulaire actuel plus concis, en particulier pour éviter les confusions possibles avec les groupes de transformations finis et continus et les groupes de substitutions. [14]

Nous avons dit précédemment que dans sa thèse, Cartan ne s’appuie pas sur l’exemple que nous avons utilisé. Au contraire, il considère d’emblée un groupe de transformations fini et continu défini par des équations du type
\[ \left\{ \begin{array}{c} x'_1=f_1(x_1,\ldots,x_n ; a_1,\ldots,a_r) \\ x'_2=f_2(x_1,\ldots,x_n ; a_1,\ldots,a_r) \\ \vdots \\ x'_n=f_n(x_1,\ldots,x_n ; a_1,\ldots,a_r), \end{array} \right. \]
qui généralisent nos équations (1). Il y a alors $r$ paramètres $a_1,\ldots,a_r$, et de la même façon que nous l’avons fait sur notre exemple, un tel groupe donne alors lieu à une algèbre de Lie de dimension $r$ engendrée par $r$ transformations infinitésimales $X_1,\ldots,X_r$, qui sont toutes des applications de $\mathbf C^n$ dans $\mathbf C^n$.

Comme écrit plus haut, les algèbres de Lie sont les objets qui sont au cœur de la thèse de Cartan. Plus précisément, son objectif principal est de les classifier, c’est-à-dire de déterminer de manière exhaustive toutes les algèbres de Lie qui existent et les ranger selon certains critères. En particulier, Cartan s’intéresse à la classification d’une sorte particulière d’algèbres de Lie, les algèbres « simples » — sans entrer dans leur définition technique, disons qu’il s’agit du type d’algèbres auquel se réduit la classification des algèbres générales.

Équation caractéristique et racines

Un objet crucial dans cette classification des algèbres de Lie est « l’équation caractéristique ». Considérons une algèbre de Lie de dimension $r$ et un de ses éléments, disons $X$. L’équation caractéristique de l’algèbre est l’équation algébrique de degré $r$ dont les racines sont les nombres complexes $\varpi$ tels qu’il existe $Y\neq 0$ vérifiant $X\circ Y - Y\circ X =\varpi Y$ [15]. Ainsi, les racines de l’équation caractéristique sont ce que nous appelons maintenant les valeurs propres de l’endomorphisme $Y\mapsto X\circ Y - Y\circ X$.

Du fait qu’on a systématiquement $X\circ X-X\circ X=0$, l’équation caractéristique possède toujours $0$ comme racine, et sa multiplicité est appelée le « rang » de l’algèbre. Cartan montre alors que la dimension $r$ et le rang $\ell$ d’une algèbre ne sont pas des nombres indépendants, et que les $r-\ell$ racines non nulles de l’équation caractéristique peuvent toutes s’exprimer à l’aide de $\ell$ nombres. Lorsque $\ell=1$ par exemple, Cartan prouve qu’on a forcément $r=3$ et que les $2$ racines non nulles de l’équation caractéristique sont des nombres opposés : cela correspond à une équation caractéristique de la forme
\[ x(x-\varpi)(x+\varpi)=0, \]
où $\varpi$ est un nombre complexe non nul.

De façon générale, c’est la détermination de toutes les possibilités pour $\ell$, $r$ et les racines non nulles de l’équation caractéristique qui permet à Cartan de classifier les algèbres de Lie simples. Il trouve ainsi sept types d’algèbres simples qu’il désigne par les lettres $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$. Les quatre premiers types recouvrent chacun une infinité d’algèbres dont les rangs peuvent valoir (presque) tous les entiers naturels, tandis que pour les trois autres, le rang a des valeurs complètement déterminées : il ne peut valoir que 6, 7 ou 8 pour le type $E$ ; 4 pour le type $F$ ; 2 pour le type $G$. Pour cette raison, les algèbres de type $E$, $F$ et $G$ sont qualifiées de « spéciales » par Cartan — de nos jours, on parle plutôt d’algèbres de Lie « exceptionnelles ».

L’algèbre spéciale de type $E$ et de rang 6 (notée désormais $E_6$) est celle qui nous intéresse ici car c’est elle que Cartan met en relation avec la configuration des vingt-sept droites [16]. Il s’agit d’une algèbre de dimension $r=78$, et les 72 racines non nulles de son équation caractéristique s’expriment en fonction de six nombres $\omega_1,\ldots,\omega_6$ sous la forme
\[ \omega_i-\omega_j \qquad ; \qquad \pm (\omega_i+\omega_j+\omega_k) \qquad ; \qquad \pm 3 \omega_0,\]
où $i,j,k$ sont à chaque fois des entiers distincts compris entre 1 et 6, et où $\omega_0=-(\omega_1+\cdots+\omega_6)$.

Vers l’article de 1896 de Cartan

Comme nous l’avons écrit plus haut, le résultat « inattendu » de Cartan est apparu d’abord sous une première forme incomplète dans une note aux Comptes rendus hebdomadaires de l’Académie des sciences de 1894, puis dans un article plus long de 1896 de l’American Journal of Mathematics. Dans ces deux publications, Cartan a (entre autres) pour but d’étudier les propriétés de résolubilité des équations caractéristiques associées aux algèbres de Lie exceptionnelles, ce qu’il fait en déployant des techniques de la théorie des substitutions.

Une note aux Comptes rendus de 1894

Ainsi, pour l’équation caractéristique associée à l’algèbre exceptionnelle $E_6$, Cartan énonce en 1894 :

Pour le groupe simple spécial d’ordre 78 et de rang 6, on a une équation de degré 72 qui se ramène à l’extraction d’une racine carrée et à une équation du 27e degré admettant un groupe de substitutions d’ordre 51840 ; ce groupe admet un seul groupe invariant d’ordre moitié moindre, et qui est simple. (Cartan, 1894a, p. 641)

Le lecteur aura peut-être pensé aux travaux de Jordan décrits plus haut, en voyant évoquée « une équation du 27e degré admettant un groupe de substitutions d’ordre 51840 »... Cela ne semble toutefois pas avoir été le cas pour Cartan en 1894 : après avoir indiqué des résultats analogues pour les algèbres $E_7$ et $E_8$, celui-ci ajoute en effet :

Ces trois derniers groupes simples de substitutions n’ont pas encore, que je sache, été signalés ; leur étude, surtout celle du premier, mériterait peut-être d’être entreprise. (Cartan, 1894a, p. 642)

On voit donc que l’étude des équations caractéristiques du point de vue de leur groupe de substitutions a éveillé la curiosité de Cartan...

Comme c’était à l’époque le cas pour beaucoup de notes aux Comptes rendus, celle-ci ne comporte pas les démonstrations des résultats annoncés. On peut cependant les trouver dans un cahier de notes manuscrites de Cartan daté de 1893-1894 [17]. Regardons le passage qui nous intéresse.

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Extrait du cahier de notes de Cartan numéroté I-18. Avec l’autorisation des Archives de l’Académie des sciences.

On peut reconnaître sur cet extrait les « quantités » $\omega_i-\omega_k$, $\pm (\omega_i+\omega_j+\omega_k)$ et $\pm 3 \omega_0$, qui sont les 72 racines non nulles de l’équation caractéristique de l’algèbre de Lie $E_6$. Dans les pages qui suivent, Cartan s’emploie à étudier le groupe de l’équation de degré 72 ayant ces quantités comme racines (ce qui revient à étudier le groupe de l’équation caractéristique elle-même, qui possède en plus la racine 0 avec multiplicité 6).

Dans cette optique, Cartan considère les 27 quantités
\[ x_i= \omega_i-\omega_0, \quad y_i= \omega_i+2\omega_0, \quad z_{ik}= -\omega_0-\omega_i-\omega_k \]
ainsi que leurs opposées, que l’on voit sur l’extrait du manuscrit. Les quantités $\pm x_i$, $\pm y_i$ et $\pm z_{ik}$ étant au nombre de 54, ce sont les solutions d’une certaine équation de degré 54. Par des techniques de théorie des substitutions, Cartan montre que cette équation et l’équation caractéristique ont les mêmes propriétés de résolubilité, et donc qu’il lui suffit d’étudier l’équation de degré 54.

Ensuite, comme les 54 quantités se regroupent en 2 paquets de 27 de signes opposés, la théorie des substitutions indique que résoudre l’équation de degré 54 revient à résoudre une équation de degré 2 (ce degré correspond au nombre de paquets) et une équation de degré 27. L’étude se ramène donc à cette dernière : Cartan montre que son groupe est d’ordre 51840 et qu’il possède un sous-groupe invariant d’indice 2, qui est simple. Il s’agit donc bien des résultats annoncés dans la note aux Comptes rendus.

La reconnaissance des 27 droites

Avant de passer au contenu de la publication de 1896, remarquons que dans le même cahier de notes manuscrites, les vingt-sept droites des surfaces du troisième ordre sont évoquées quelques pages après la démonstration que nous venons de présenter.

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Extrait du cahier de notes I-18 de Cartan.

Comme on le voit sur cet extrait, Cartan s’intéresse en particulier à la notation des droites — celle de Schläfli en $a_i$, $b_k$ et $c_{ik}$ — et à leurs relations d’incidence : « on peut représenter toutes les droites au moyen des indices $a_i,b_i,c_{ik}=c_{ki}$, où $i\neq k = 1,2,\ldots, 6$, de telle sorte que $a_1$ rencontre $b_j$ ($j\neq 1$) & $c_{1i}$ ; $b_1$ rencontre $a_i$ ($i\neq 1$) et $c_{1i}$ ; enfin $c_{12}$ rencontre $a_1,a_2,b_1,b_2$ et $c_{ik}$ où $i,k\neq 1,2$. » Cependant, aucun lien avec l’algèbre $E_6$ n’est fait dans le cahier — en outre, notons qu’à l’image de presque tous les cahiers de notes, Cartan n’indique ici ni ses motivations ni ses sources.

Venons-en donc à la publication de 1896 elle-même. Le changement de cadre par rapport à la note de 1894 est net, puisque Cartan ouvre son article par une référence explicite aux équations de la géométrie, dont il souligne sinon l’importance, du moins l’utilité dans le cadre de la théorie des équations algébriques :

Étant donnée une équation algébrique, il peut arriver dans certains cas que, par des considérations géométriques ou autres, on connaisse d’avance certaines relations entre les racines de cette équation, par exemple dans le cas de l’équation qui donne les neuf points d’inflexion d’une courbe du troisième degré. On peut alors profiter de ces relations pour ramener la résolution à celles d’équations plus simples ; la nature, le nombre, l’ordre de ces équations dépendent uniquement de la structure d’un certain groupe de substitutions effectuées sur les racines. (Cartan, 1896, p. 1)

Le résultat-phare est annoncé un peu plus loin dans l’introduction de l’article :

[Dans le cas des équations caractéristiques des algèbres exceptionnelles, les groupes de substitutions associés à $E_6$, $E_7$ et $E_8$] offrent un intérêt particulier et sont isomorphes, l’un avec le groupe des 27 droites d’une surface du 3e ordre, l’autre avec le groupe des 28 tangentes doubles d’une courbe du 4e ordre, le dernier avec le 7e groupe hypoabélien de 120 lettres [18]. Ce n’est pas un des résultats les moins intéressants et les moins inattendus de cette étude, que d’établir une relation entre ces groupes de substitutions de Galois et les groupes de transformations de M. Lie.
(Cartan, 1896, p. 2)

Cartan met donc ici en valeur son résultat en plaçant l’accent sur le pont disciplinaire créé avec les équations de la géométrie ; en outre, l’importance accordée à celles-ci au sein de la théorie des équations lui permet d’en renforcer encore davantage l’intérêt.

Mais l’apparition des configurations géométriques ne fait pas que changer le méta-discours de Cartan ; elle agit aussi sur les démonstrations. Regardons en effet le passage de la preuve concernant l’algèbre $E_6$ et les vingt-sept droites. Cartan commence par rappeler la forme des racines de son équation caractéristique :

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Extrait de la publication de 1896 (p. 35). Par souci de cohérence avec les autres sources, nous avons remplacé par des $\omega$ les lettres $\varpi$ utilisées par Cartan dans son article.

Comme dans le cahier de notes de 1893-1894, Cartan introduit ensuite 54 quantités définies à partir des racines. Néanmoins, la notation change et ce sont les lettres $a_i$, $b_i$ et $c_{ik}$ qui apparaissent en lieu et place des $x_i$, $y_i$, $z_{ik}$ du manuscrit :
\[ \pm a_i=\pm (\omega_i-\omega_0), \quad \pm b_i= \pm (\omega_i+2\omega_0), \quad \pm c_{ik}= \mp (\omega_0+\omega_i+\omega_k). \]
Cartan nomme ces quantités « racines secondaires », par opposition aux racines de l’équation caractéristique qualifiées de « principales ». Il ajoute : « Je conviendrai de dire que deux racines secondaires se rencontrent [lorsque leur somme est nulle]. C’est ainsi que $a_1$ rencontre $b_2,b_3,\ldots,b_6$, $c_{12},c_{13},\ldots,c_{16}$, et que $c_{12}$ rencontre $a_1,a_2,b_1,b_2,c_{34},c_{35},\ldots,c_{56}$. »

Cette notation et ce vocabulaire particulier (je ne connais pas d’autre exemple au XIXe siècle où le verbe « se rencontrer » a été utilisé au sujet de racines d’équations), qui n’étaient pas présents dans la version du manuscrit, entrent tout à fait en écho avec ce que Cartan avait écrit dans ses pages manuscrites sur les vingt-sept droites : celui-ci semble être en train de préparer le terrain pour leur entrée en scène...

La suite est, à quelques détails techniques près, identique à la version du manuscrit de 1893-1894. Cartan montre en effet que l’étude de l’équation caractéristique se ramène à celle de l’équation de degré 54 ayant pour racines les racines secondaires. Il démontre ensuite que le groupe de cette dernière possède un sous-groupe invariant $G_1$ d’indice 2 correspondant aux substitutions échangeant entre elles les racines secondaires affectées d’un signe positif $a_i,b_i,c_{ik}$.

Le groupe $G_1$ est alors reconnu comme étant identique à celui des vingt-sept droites :

Le groupe $G_1$ [...] est isomorphe au groupe des 27 droites d’une surface du 3e degré. On sait en effet qu’on peut désigner les 27 droites d’une telle surface au moyen des lettres $a_i,b_i,c_{ij}$, la droite $a_1$ rencontrant $b_2,b_3,\ldots,b_6$, $c_{12},c_{13},\ldots,c_{16}$ ; la droite $b_1$ rencontrant $a_2,a_3,\ldots,a_6$, $c_{12},c_{13},\ldots,c_{16}$, et la droite $c_{12}$ rencontrant $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, $c_{34}$, $c_{35},\ldots,c_{56}$ ; ce groupe peut de plus être engendré au moyen des substitutions telles que [celles mises en évidence plus haut dans l’article de Cartan] ; par suite, il se confond avec $G_1$. (Cartan, 1896, p. 43)

La reconnaissance de l’isomorphisme entre le groupe $G_1$ et le groupe des vingt-sept droites est donc divisé en trois morceaux :

  • La concordance des notations des droites d’une part et des racines permutées par $G_1$ d’autre part.
  • La concordance des relations respectives de ces objets (soulignée par l’utilisation du même vocabulaire de la « rencontre »).
  • Un argument concernant les substitutions « engendrant » chacun des deux groupes. [19]

En conclusion du paragraphe consacré à l’algèbre $E_6$, Cartan résume son résultat :

Il résulte de tout cela que la résolution de l’équation caractéristique d’un groupe simple de rang 6 et de type E) se ramène à celle d’une équation du second degré et celle d’une équation du 27e degré dont le groupe de substitutions est le même que celui de l’équation qui donne les 27 droites d’une surface du 3e degré ; ce groupe admet un seul sous-groupe invariant d’indice 2, qui est simple. (Cartan, 1896, p. 43)

« Ce n’est pas un des résultats les moins intéressants et les moins inattendus de cette étude... »

Faute d’avoir pu trouver des preuves claires, je ne sais pas quel cheminement a amené Cartan à reconnaître le groupe des vingt-sept droites entre 1894 et 1896. Quoi qu’il en soit, il me semble tout de même intéressant de constater que cette reconnaissance a des effets réels sur l’écriture même de la version définitive du théorème et de sa démonstration : changement de notations, introduction d’un vocabulaire ad hoc et mise en valeur des résultats eux-mêmes sont autant de traces indiquant un certain poids des équations de la géométrie à la fin du XIXe siècle (au moins chez certains mathématiciens).

Aussi intéressant et inattendu que ce résultat ait pu être pour Cartan de par les ponts disciplinaires qu’il permet d’établir, il semble néanmoins n’avoir été repris par la suite ni dans ses propres travaux, ni dans ceux d’Hermann Weyl, autre grand contributeur à la théorie des algèbres de Lie [20]. Les premières recherches reparlant de ce lien entre l’algèbre $E_6$ et les vingt-sept droites que j’ai pu détecter datent des années 1940 : ce sont celles du mathématicien Harold Scott MacDonald Coxeter, dont le nom est resté attaché à ses diagrammes, mais ceci est une autre histoire...

Références bibliographiques

Akivis, Maks Aizikovich & Rosenfeld, Boris A. (1993). Élie Cartan (1869-1951), Providence, Rhode Island, American Mathematical Society. Traduction par V. V. Goldberg.

a, b et c Cartan, Élie (1894a). « Sur la réduction de la structure d’un groupe à sa forme canonique », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, vol. 119, p. 639-642.

Cartan, Élie (1894b). Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, thèse de doctorat, Faculté des sciences de Paris.

a, b, c, d et e Cartan, Élie (1896). « Sur la réduction à sa forme canonique de la structure d’un groupe de transformations fini et continu », American Journal of Mathematics, vol. 18, p. 1-61.

Cartan, Élie (1946). « Quelques remarques sur les 28 bitangentes d’une quartique plane et les 27 droites d’une surface cubique », Bulletin des sciences mathématiques, 2e sér., vol. 70, p. 42-45.

Cayley, Arthur (1849). « On the Triple Tangent Planes of Surfaces of Third Order », The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vol. 4, p. 118-132.

Eckes, Christophe (2014). Les Groupes de Lie dans l’œuvre de Hermann Weyl : Traduction et commentaire de l’article « Théorie de la représentation des groupes continus semi-simples par des transformations linéaires » (1925-1926), avec la collaboration d’Amaury Thuillier, Nancy, Presses universitaires de Nancy.

Ehrhardt, Caroline (2012). Itinéraire d’un texte mathématique : Les réélaborations des écrits d’Évariste Galois au XIXe siècle, Paris, Hermann.

Fischer, Gerd (1986). Mathematische Modelle, Braunschweig, Viewer & Sohn.

Lê, François (2015a). « ‘‘Geometrical Equations’’ : Forgotten Premises of Felix Klein’s Erlanger Programm », Historia Mathematica, vol. 42, p. 315-342.

Lê, François (2015b). Vingt-sept droites sur une surface cubique : rencontres entre groupes, équations et géométrie dans la deuxième moitié du XIXe siècle, thèse de doctorat, Université Pierre et Marie Curie (Paris 6).

Lê, François (2016). « Reflections on the Notion of Culture in the History of Mathematics : The Example of ‘‘Geometrical Equations’’ », Science in Context, vol. 29, p. 273-304.

Salmon, Georges (1849). « On the Triple Tangent Planes to a Surface of the Third Order », The Cambridge and Dublin Mathematical journal, vol. 4, p. 252-260.

Schläfli, Ludwig (1858). « An Attempt to Determine the Twenty-seven Lines upon a Surface of the Third Order and to Divide such Surfaces into Species in Reference to the Reality of the Lines upon the Surface », The Quarterly Journal of Mathematics, vol. 2, p. 55-65, 110-120.

Post-scriptum :

Je remercie chaleureusement Jenny Boucard, Sébastien Gauthier, ainsi que les relecteurs Baptiste, Christophe Boilley et Nicolas Juillet pour leurs remarques ayant permis d’améliorer cet article.

Article édité par Jenny Boucard

Notes

[1Extrait d’une allocution de Cartan donnée à la Sorbonne en 1939 à l’occasion de son jubilé scientifique, et reproduit dans (Akivis & Rosenfeld, 1993, p. 275). Voir par ailleurs un portrait d’Élie Cartan par André Weil décrit par Michèle Audin.

[2La thèse, intitulée Sur la structure des groupes de transformations finis et continus (Cartan, 1894b), fut soutenue le 28 juin 1894 devant un jury composé de Hermite, Picard et Paul Appell.

[3En fait, certaines conditions techniques doivent être ajoutées pour que cet énoncé soit correct : il faut d’abord supposer que la surface ne possède pas de points ressemblant à des pointes (comme c’est le cas sur la surface de droite de la figure 3), et il faut accepter de compter des droites formées uniquement de points à coordonnées complexes ou situées entièrement à l’infini. Au sujet de l’histoire du théorème des vingt-sept droites, voir (Lê, 2015b).

[4Un point d’inflexion est un point de la courbe en lequel cette dernière traverse la tangente.

[5On pourrait d’ailleurs essayer de raffiner ce résultat en regardant si la résolution de l’équation $y^5-y-1=0$ peut elle-même se ramener à d’autres équations auxiliaires de degrés inférieurs à 5. Il se trouve (et c’est un résultat assez difficile) que c’est impossible ici...

[6Parmi toutes les substitutions qui agissent sur les racines d’une équation, il s’agit de ne garder que celles qui conservent les relations algébriques existant entre les racines. Par exemple, si une équation possède deux racines $\alpha$ et $\beta$ liées par la relation $\alpha^3+2\beta=0$, alors une substitution $\sigma$ du groupe de l’équation enverra $\alpha$ et $\beta$ sur deux autres racines $\sigma(\alpha)$ et $\sigma(\beta)$ vérifiant $\sigma(\alpha)^3+2\sigma(\beta)=0$. Au sujet des groupes et de Galois, voir par ailleurs (entre autres) cet article de Caroline Ehrhardt et celui-là de Christine Huyghe.

[7L’ordre d’un (sous-)groupe est le nombre de ses éléments et l’indice d’un sous-groupe $H$ d’un groupe $G$ est le nombre d’ensembles distincts de la forme $gH$, $g$ parcourant $G$. Par ailleurs, notons que l’adjectif « invariant » est l’équivalent au XIXe siècle de notre actuel « distingué ». Rappelons ainsi qu’un sous-groupe $H$ d’un groupe $G$ est dit distingué si pour tous $g\in G$ et $h\in H$, on a $ghg^{-1}\in H$. Enfin, un groupe simple est un groupe qui ne possède pas d’autre sous-groupe distingué que $\{ 1\}$ et lui-même.

[8Je renvoie pour cela à (Ehrhardt, 2012).

[9Pour plus de détails au sujet de ces équations de la géométrie, voir (Lê, 2015a ; Lê, 2016).

[10Le lecteur pourra vérifier que $c_1=a_1+b_1$, $c_2=a_2\cos b_1-a_3\sin b_1 + b_2$ et $c_3=a_2\sin b_1+a_3\cos b_1+b_3$.

[11Il s’agit d’un cas particulier de ce que nous appelons maintenant un « groupe de Lie ».

[12Le lecteur sera peut-être surpris de voir Cartan appeler la famille de transformations un groupe par la seule propriété d’être stable par composition, puisque d’autres critères sont demandées aujourd’hui (associativité, existence d’un élément neutre et possibilité d’inverser tout élément). En fait, le dégagement de ces critères pour définir la notion de groupe au sens actuel s’est fait progressivement à partir de la fin du siècle.

[13L’expression « algèbre de Lie » a été proposée par Hermann Weyl dans les années 1930. Voir (Eckes, 2014).

[15] Rappelons que $X$ et $Y$ sont des applications définies sur $\mathbf C^n$ ; la notation $\circ$ renvoie donc à la composition usuelle des applications. Par ailleurs, notons que l’équation caractéristique ainsi définie dépend de l’élément $X$ choisi. Pour qu’elle ait de bonnes propriétés et que ce qui suit soit correct, il faudrait choisir cet élément $X$ de façon un peu précautionneuse, mais nous passerons ce point sous silence.

[16Nous verrons également en passant que d’autres configurations géométriques sont mises en relation avec $E_7$ et $E_8$. Nous ne attarderons toutefois pas sur ces dernières, par souci de concision.

[17Les cahiers de notes de Cartan sont conservés, avec d’autres de ses manuscrits, aux Archives de l’Académie des sciences. Ces cahiers sont consultables en ligne sur le site http://eliecartanpapers.ahp-numerique.fr.

[18Les groupes hypoabéliens sont des groupes de substitutions que Jordan avait étudiés dans son Traité. Notons d’ailleurs que Cartan cite plus loin le Traité de Jordan comme référence sur les trois groupes listés ici.

[19On dit que certaines substitutions $S_1,\ldots,S_r$ engendrent un groupe lorsque toutes les substitutions de celui-ci peuvent s’écrire comme des composées des $S_i$ et de leurs inverses.

[20Chez Cartan, on en trouve mention dans une courte publication très tardive de 1946, qui se focalise plutôt sur une relation entre la configuration des vingt-sept droites et celle des vingt-huit tangentes doubles (Cartan, 1946).

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Pour citer cet article :

François Lê — «« Ce n’est pas un des résultats les moins intéressants et les moins inattendus de cette étude... » » — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Commentaire sur l'article

  • « Ce n’est pas un des résultats les moins intéressants et les moins inattendus de cette étude... »

    le 23 janvier à 09:33, par Pierre Lecomte

    Merci pour ce bel article des plus intéressants !

    Répondre à ce message
    • « Ce n’est pas un des résultats les moins intéressants et les moins inattendus de cette étude... »

      le 24 janvier à 22:00, par François Lê

      Merci à vous pour ce commentaire (et le jeu de mots) ! Je suis ravi que l’article vous a plu.

      Répondre à ce message
      • « Ce n’est pas un des résultats les moins intéressants et les moins inattendus de cette étude... »

        le 25 janvier à 10:11, par Pierre Lecomte

        Le jeu de mots était bien involontaire ! Désolé !

        Répondre à ce message

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