Ceci n’est pas une géodésique !

Piste verte Le 4 avril 2018  - Ecrit par  Jos Leys Voir les commentaires (3)

Dans une œuvre de M.C. Escher qui est souvent utilisée pour expliquer la géométrie hyperbolique, certaines choses ne sont pas ce qu’elles semblent être !

Quand on parle dans des exposés de divulgation de la géométrie hyperbolique, on utilise souvent l’image Cirkellimiet III de M.C.Escher pour expliquer ce que sont les géodésiques dans le disque de Poincaré.
Les géodésiques ici sont des cercles perpendiculaires au bord du disque, et souvent on montre les courbes en blanc dans l’image pour montrer une géodésique.
Eh bien, c’est faux ! Ces courbes sont bien des cercles, mais ce ne sont pas des géodésiques.
Voici pourquoi...

On doit d’abord comprendre que l’image représente un pavage hyperbolique. Les pavés sont des octogones et à chaque sommet, trois octogones se rencontrent.

Dans un pavage hyperbolique, deux pavés voisins sont les images miroir l’une de l’autre par l’inversion par rapport au cercle qui sous-tend l’arête commune. Ceci est illustré dans l’image ci-dessous, cette fois-ci avec un pavage par hexagones.

Dans l’image d’Escher, ce qu’il a dessiné dans le pavé central, quatre poissons qui tournent dans le sens des aiguilles d’une montre, se répète dans tous les autres pavés. Dans les pavés voisins les poissons tournent dans le même sens.
L’image par inversion leur donnerait pourtant le sens opposé ! Il a donc pris l’image symétrique du pavé central vis à vis un axe de symétrie du pavé central avant d’effectuer l’inversion. Et puis, il a encore adapté les couleurs pour que les poissons alignés aient la même couleur !
Dessiner ça à la main : quel exploit !

Regardons maintenant une courbe en blanc dans le pavé central qui connecte deux sommets, et que l’on a remplacée dans la figure en bas par une courbe en vert.

Pour que cette courbe verte se superpose exactement à ses images par inversion par rapport aux cercles qui prolongent les arêtes (les cercles rouges), il faut que ce soit un cercle perpendiculaire à ces deux arêtes .
Mais cela ne veut pas dire que ce cercle vert est une géodésique ! En fait, la géodésique qui passe par les deux sommets est le cercle bleu dans la figure ci-dessous.

Pour Escher, ce cercle bleu n’a aucun intérêt bien sûr.
Notre cercle vert rencontre le bord du disque avec un angle d’environ 80° et n’est donc pas du tout une géodésique !

Escher n’a dessiné que quatre pavages hyperboliques dans sa vie, donc si on veut rester chez Escher, c’est peut-être une bonne idée d’utiliser dans les exposés l’image ci-dessous, Cirkellimiet I (un pavage par hexagones où six hexagones se rencontrent autour de chaque sommet ).
On y trouve autant de belles (vraies) géodésiques que l’on veut !

Post-scriptum :

L’auteur et la rédaction de Images des Mathématiques remercient les relecteurs Jimmy Dillies, Thomas Sauvaget et Clément Caubel pour leur relecture attentive et leurs commentaires constructifs.

Article édité par Jos Leys

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Pour citer cet article :

Jos Leys — «Ceci n’est pas une géodésique !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

  • Ceci n’est pas une géodésique !

    le 8 avril à 18:14, par Rémi Peyre

    Très intéressant ! 8-) Au début j’ai eu un peu de mal à comprendre que l’argument portait sur l’objet mathématique « pavage par octogones du plan hyperbolique » lui-même, indépendamment de la représentation graphique qu’en avait faite Escher : du coup je ne comprenais pas comment l’auteur pouvait affirmer que la courbe verte n’était « vraiment » pas une géodésique (alors que j’avais l’impression que c’était juste une géodésique approximativement dessinée, dans la mesure où les courbes vertes et bleue étaient assez proches).

    Voilà donc une excellente remarque sur un piège auquel, désormais, j’aurai soin de prendre garde si jamais j’ai à expliquer la géométrie hyperbolique ! :-)

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  • Coxeter a aussi écrit à ce sujet

    le 18 avril à 23:18, par Patrick Popescu-Pampu

    Cher Jos,

    Ton article est comme d’habitude très élégant. Je voudrais par contre attirer ton attention sur le fait que Coxeter avait déjà écrit à ce sujet, comme je l’ai appris aux pages 226—228 du livre « King of infinite space. Donald Coxeter, the man who saved geometry » de Siobhan Roberts, publié par Profile Books en 2007. Il l’a fait dans plusieurs articles, le dernier en date semblant être « The trigonometry of Escher’s woodcut Circle Limit III », Math. Intelligencer 18 (4), 42-46, repris dans « M.C.Escher’s legacy : a centennial celebration », Springer, 2003, 297-304. D’autres références à ce sujet sont mentionnées à la fin de la page Wikipedia sur la gravure concernée :

    https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_Limit_III

    Amitiés,

    Patrick

    Répondre à ce message
    • Coxeter a aussi écrit à ce sujet

      le 19 avril à 00:16, par Jos Leys

      Cher Patrick,

      Oui, c’est Coxeter qui a aidé Escher à dessiner ses pavages hyperboliques.

      Jos

      Répondre à ce message

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