Mathématiques et langages : le feuilleton de l’été

Ces fichues variables

Le 8 septembre 2017  - Ecrit par  René Cori Voir les commentaires (12)

Bien plus que le recours à des symboles, c’est l’utilisation de variables qui distingue selon moi le langage mathématique de la langue usuelle. Et ce sont ces variables et les règles, presque jamais explicitées, auxquelles elles sont soumises qui posent de gros problèmes aux élèves, et parfois aussi aux professeurs !

C’est au collège que se fait, progressivement, ce qu’il est convenu d’appeler « le passage du numérique à l’algébrique », qui consacre l’utilisation de lettres pour désigner des nombres, connus ou inconnus. Mais les lettres sont présentes dès l’école primaire, par exemple pour nommer des objets géométriques (points, droites...).

Désigner par une lettre un objet bien déterminé n’est pas problématique et se fait aussi bien dans le langage courant qu’en mathématiques. Appeler $D$ telle droite qu’on vient de dessiner au tableau ou appeler « Monsieur X » tel personnage d’une émission de radio, cela relève de la même démarche.

Là où les choses se compliquent, là où le langage mathématique se singularise, c’est lorsque les variables y sont quantifiées, ce qui est le cas dans l’immense majorité des énoncés des propriétés que nous enseignons à nos élèves. Cette procédure très particulière n’a pas d’analogue dans la langue usuelle. Bien sûr, on peut y restituer l’idée de la quantification à l’aide de constructions syntaxiques appropriées, mais celles-ci sont très différentes de la façon qu’a le langage mathématique de quantifier les variables.

Dans la proposition « Pour tout réel $x$, si $x\geqslant 1$, alors $x^2\geqslant x$ », la lettre $x$ ne sert pas à nommer un objet précis. Pour dire la même chose dans la langue naturelle, on n’éprouve pas le besoin d’utiliser une variable. On dira par exemple « Tout réel supérieur ou égal à $1$ est inférieur ou égal à son carré », expression où la variable $x$ ne figure pas du tout. Cela illustre le fait que, dans la proposition initiale, la variable $x$ est muette. Si l’on veut faire intervenir une variable (par exemple en disant « Tout réel $x$ supérieur ou égal à $1$ est tel que $x^2$ est supérieur ou égal à $x$ »), on est obligé de recourir à des tournures de phrase que la langue usuelle n’utilise jamais.

Pour ne rien arranger, dans le parler des mathématiciens, les quantifications sont très souvent implicites. Les propositions conditionnelles (du type « si..., alors... ») sont systématiquement porteuses d’une quantification universelle qui est omise. Ainsi, la proposition précédente sera le plus souvent réduite à « Si $x\geqslant 1$, alors $x^2\geqslant x$ », la quantification sur $x$ étant sous-entendue.

Les manuels scolaires, de la sixième à la terminale, sont truffés de propositions de ce type, sans que rien ne soit jamais dit sur le statut des variables ni sur les quantifications implicites.

Ce n’est pas fait pour faciliter la tâche de l’élève !

L’intérêt d’expliciter les quantificateurs apparaît clairement au moment où il s’agit de nier une proposition conditionnelle où la quantification universelle sur la variable n’est qu’implicite. Car si le quantificateur universel peut être omis, il est en revanche impossible de se passer du quantificateur existentiel qui lui correspond dans la négation.

Une expérience faite plusieurs fois auprès de professeurs de mathématiques en formation révèle qu’assez peu d’entre eux parviennent à formuler la négation de la proposition « Si un quadrilatère a deux angles droits, alors c’est un rectangle », tandis que la même tâche est réussie pratiquement à 100 % lorsque la quantification est explicitée. Il s’agit pourtant d’une formulation très banale, et être en mesure d’en donner la négation peut s’avérer utile, en particulier lorsqu’on cherche à prouver que la propriété exprimée est fausse !

Le refus, tenace, d’utiliser des quantificateurs, héritage de l’époque post-maths modernes, serait dû au fait que ces notions sont trop difficiles pour nos élèves. Cet argument est absurde. Les propositions mathématiques, même très élémentaires, comportent presque toujours des quantificateurs. Les manuels scolaires de tout niveau en regorgent, mais en les cachant soigneusement. Une explicitation de ces quantificateurs (sans recourir aux symboles $\forall$ et $\exists$) et quelques indications sur l’usage des variables et sur le fait qu’elles sont souvent muettes : voilà qui simplifierait grandement, j’en suis convaincu, la tâche des professeurs et des élèves.

Post-scriptum :

Ce texte appartient au dossier thématique « Mathématiques et langages ».

Article édité par Jérôme Germoni

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Pour citer cet article :

René Cori — «Ces fichues variables» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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Image à la une - Extrait de tableau noir, inspiré de l’illustration / © MaxPPP de l’article

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  • Ces fichues variables

    le 9 septembre à 17:50, par René Cori

    Cher François Desnoyer,

    Merci pour votre lecture de mon texte et pour votre intervention.

    L’expression que vous proposez (x²-1 < -x) est une proposition qui parle d’un objet nommé x.
    Je présume que le domaine est fixé et que la lettre x ne peut désigner ici, par exemple, que des nombres réels. Cette proposition affirme donc une propriété de l’objet x et, sans autre indication, la variable x n’y est pas muette. Je ne pense pas qu’on puisse considérer qu’il y a une quantification implicite. Il faut vraiment connaître le contexte pour pouvoir dire plus. Or cette expression peut apparaître dans des contextes variés, correspondant à diverses tâches proposées aux élèves. Par exemple, les phrases suivantes pourraient figurer dans un exercice :

    1. « Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’inéquation x²-1 < -x » ;

    2. « Déterminer l’ensemble des réels x tels que x²-1 < -x » (qui a exactement la même signification que 1) ;

    3. « Montrer qu’il n’existe pas de réel x tel que x²-1 < -x » ;

    4. « Appelons x la plus petite des racines du polynôme P. La proposition x²-1 < -x est elle vraie ? »

    Notez qu’aucune de ces phrases n’est une expression mathématique : s’y mêlent des expressions mathématiques et des éléments d’un dialogue entre auteur et lecteur, ou entre professeur et élève.

    Dans les expressions mathématiques qui apparaissent dans 1, 2 et 3, la lettre x est muette, alors que ce n’est pas le cas dans 4.

    Bien cordialement,

    René Cori

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