Mathématiques et langages : le feuilleton de l’été

Ces fichues variables

Le 8 septembre 2017  - Ecrit par  René Cori Voir les commentaires (12)

Bien plus que le recours à des symboles, c’est l’utilisation de variables qui distingue selon moi le langage mathématique de la langue usuelle. Et ce sont ces variables et les règles, presque jamais explicitées, auxquelles elles sont soumises qui posent de gros problèmes aux élèves, et parfois aussi aux professeurs !

C’est au collège que se fait, progressivement, ce qu’il est convenu d’appeler « le passage du numérique à l’algébrique », qui consacre l’utilisation de lettres pour désigner des nombres, connus ou inconnus. Mais les lettres sont présentes dès l’école primaire, par exemple pour nommer des objets géométriques (points, droites...).

Désigner par une lettre un objet bien déterminé n’est pas problématique et se fait aussi bien dans le langage courant qu’en mathématiques. Appeler $D$ telle droite qu’on vient de dessiner au tableau ou appeler « Monsieur X » tel personnage d’une émission de radio, cela relève de la même démarche.

Là où les choses se compliquent, là où le langage mathématique se singularise, c’est lorsque les variables y sont quantifiées, ce qui est le cas dans l’immense majorité des énoncés des propriétés que nous enseignons à nos élèves. Cette procédure très particulière n’a pas d’analogue dans la langue usuelle. Bien sûr, on peut y restituer l’idée de la quantification à l’aide de constructions syntaxiques appropriées, mais celles-ci sont très différentes de la façon qu’a le langage mathématique de quantifier les variables.

Dans la proposition « Pour tout réel $x$, si $x\geqslant 1$, alors $x^2\geqslant x$ », la lettre $x$ ne sert pas à nommer un objet précis. Pour dire la même chose dans la langue naturelle, on n’éprouve pas le besoin d’utiliser une variable. On dira par exemple « Tout réel supérieur ou égal à $1$ est inférieur ou égal à son carré », expression où la variable $x$ ne figure pas du tout. Cela illustre le fait que, dans la proposition initiale, la variable $x$ est muette. Si l’on veut faire intervenir une variable (par exemple en disant « Tout réel $x$ supérieur ou égal à $1$ est tel que $x^2$ est supérieur ou égal à $x$ »), on est obligé de recourir à des tournures de phrase que la langue usuelle n’utilise jamais.

Pour ne rien arranger, dans le parler des mathématiciens, les quantifications sont très souvent implicites. Les propositions conditionnelles (du type « si..., alors... ») sont systématiquement porteuses d’une quantification universelle qui est omise. Ainsi, la proposition précédente sera le plus souvent réduite à « Si $x\geqslant 1$, alors $x^2\geqslant x$ », la quantification sur $x$ étant sous-entendue.

Les manuels scolaires, de la sixième à la terminale, sont truffés de propositions de ce type, sans que rien ne soit jamais dit sur le statut des variables ni sur les quantifications implicites.

Ce n’est pas fait pour faciliter la tâche de l’élève !

L’intérêt d’expliciter les quantificateurs apparaît clairement au moment où il s’agit de nier une proposition conditionnelle où la quantification universelle sur la variable n’est qu’implicite. Car si le quantificateur universel peut être omis, il est en revanche impossible de se passer du quantificateur existentiel qui lui correspond dans la négation.

Une expérience faite plusieurs fois auprès de professeurs de mathématiques en formation révèle qu’assez peu d’entre eux parviennent à formuler la négation de la proposition « Si un quadrilatère a deux angles droits, alors c’est un rectangle », tandis que la même tâche est réussie pratiquement à 100 % lorsque la quantification est explicitée. Il s’agit pourtant d’une formulation très banale, et être en mesure d’en donner la négation peut s’avérer utile, en particulier lorsqu’on cherche à prouver que la propriété exprimée est fausse !

Le refus, tenace, d’utiliser des quantificateurs, héritage de l’époque post-maths modernes, serait dû au fait que ces notions sont trop difficiles pour nos élèves. Cet argument est absurde. Les propositions mathématiques, même très élémentaires, comportent presque toujours des quantificateurs. Les manuels scolaires de tout niveau en regorgent, mais en les cachant soigneusement. Une explicitation de ces quantificateurs (sans recourir aux symboles $\forall$ et $\exists$) et quelques indications sur l’usage des variables et sur le fait qu’elles sont souvent muettes : voilà qui simplifierait grandement, j’en suis convaincu, la tâche des professeurs et des élèves.

Post-scriptum :

Ce texte appartient au dossier thématique « Mathématiques et langages ».

Article édité par Jérôme Germoni

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Pour citer cet article :

René Cori — «Ces fichues variables» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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Image à la une - Extrait de tableau noir, inspiré de l’illustration / © MaxPPP de l’article

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  • Ces fichues variables

    le 9 septembre à 17:55, par René Cori

    Cher Romain Joly,

    Merci pour votre lecture et vos commentaires.

    Je voudrais d’abord préciser que je ne suis pas du tout partisan des recettes à appliquer mécaniquement !

    D’ailleurs, le problème (pour moi) n’est pas de savoir comment enseigner les quantificateurs, mais avant tout de faire savoir que dans la plupart des propositions mathématiques, il y a des quantificateurs, même s’ils sont parfois bien cachés. Il ne s’agit pas de « passer un jour ou l’autre par les quantificateurs » ! Ils sont là, tout le temps et partout !

    Maintenant il y a quelques points sur lesquels nous sommes en désaccord.

    D’abord, à propos de la proposition citée dans ce que vous appelez « l’anecdote finale » (qui n’a hélas rien d’anecdotique !), vous semblez la considérer comme très simple : eh bien je puis vous assurer qu’elle n’est pas simple du tout. Faites l’expérience !

    Et je dis que les collègues y arrivent lorsque la quantification est explicite (la phrase « Si un quadrilatère a deux angles droits, alors c’est un rectangle » étant par exemple remplacée par « Tous les quadrilatères qui ont deux angles droits sont des rectangles ») ; il ne s’agit pas du tout de passer à une formalisation avec les symboles de quantificateurs.

    Ensuite, concernant votre exemple « si j’ouvre la porte, il se met à pleuvoir », vous dites que les étudiants « savent qu’il faut ouvrir la porte et constater qu’il fait toujours beau ». Mais savoir ce qu’il faut faire pour « contredire » la phrase (d’ailleurs c’est « il suffit » plutôt que « il faut »), ce n’est pas du tout la même chose qu’écrire une proposition qui exprime la négation de la propriété initiale. Si beaucoup de vos étudiants arrivent à donner « j’ouvre la porte et il ne se met pas à pleuvoir » comme négation de la phrase que vous leur soumettez, eh bien vous avez beaucoup de chance ! Je dois d’ailleurs dire que je suis très réservé quant à l’utilisation de phrases non mathématiques (« de la vie courante ») pour illustrer et expliquer les problèmes de langage et de raisonnement mathématique, mais c’est un autre sujet.

    Enfin, je dois dire que je ne vois pas du tout comment on peut comprendre, et a fortiori enseigner, les mathématiques sans rien connaître aux quantificateurs, quelles que soient la quantité et la qualité du bon sens dont on dispose.

    En tout cas merci d’avoir alimenté le débat. Bien cordialement,

    René Cori

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