Champs aléatoires fractionnaires en géologie

Irrégularité, intermittence et anisotropie

Piste bleue 16 octobre 2009  - Ecrit par  Alexandre Brouste Voir les commentaires

Les reliefs montagneux et les failles tectoniques, par exemple, présentent
des morphologies dont l’irrégularité est complexe. Ces formes naturelles
peuvent-elles nous renseigner sur les mécanismes thermodynamiques et sur
l’énergie nécessaire, par lesquels elles ont été créées ? Ces surfaces
donnent lieu, pour les géologues, à des recherches expérimentales diverses et des
mesures sur le terrain ; et pour les statisticiens, ces reliefs posent
certaines questions : quels modèles de surfaces présentent ces
irrégularités ? Quelles sont les méthodes statistiques d’estimation des
paramètres de ces modèles ? Comment
simuler ces régularités complexes ?

Reliefs montagneux et champ brownien fractionnaire

Dès 1970, Benoît Mandelbrot remarque que les reliefs
montagneux peuvent être décrits par un modèle de surfaces aléatoires [1] ne possédant qu’un unique paramètre. Ce modèle de relief aléatoire
est le champ brownien fractionnaire
et ce paramètre, compris entre 0 et 1, l’ exposant de Hurst .

Plus l’exposant de Hurst est petit et proche de 0, plus la surface paraît
rugueuse et irrégulière, plus le paramètre est grand et s’approche au contraire de 1,
plus la surface paraît lisse et régulière. Sur les deux figures ci-contre, qui sont deux réalisations de champ brownien fractionnaire, il est facile de distinguer, à l’œil nu, celle dont l’exposant de Hurst est de 0.2 et l’autre d’exposant 0.9.

Rapidement, des outils statistiques ont été développés pour estimer le paramètre de Hurst à partir de l’observation de la surface. Et comme pour les sondages, il est même possible de trouver des fourchettes de valeurs [2] dans lesquelles le paramètre de Hurst de la surface se trouve.

Plusieurs algorithmes permettent de simuler
de telles surfaces en temps raisonnable.
Aujourd’hui, il est même possible de construire et simuler des généralisations du champ brownien fractionnaire sur des
surfaces plus complexes que le plan.

Le champ brownien fractionnaire ne peut pas modéliser toutes les morphologies
irrégulières existantes que présentent les roches étudiées par les géologues,
la faute à des propriétés
statistiques particulières (ces champs sont à accroissements gaussiens , stationnaires et autosimilaires [3]). Pour un relief aléatoire, posséder simultanément ces trois propriétés est contraignant. Si donc nous voulons modéliser d’autres types de roches, il va falloir écarter une de ces propriétés.

Les stylolites et l’intermittence

Les stylolites sont des surfaces irrégulières résultant de la dissolution d’une partie de la roche en interface avec un fluide. Ils se développent à la suite de fortes pressions sédimentaires ou tectoniques dans les profondeurs de la croûte terrestre. On les trouve principalement dans les roches sédimentaires telles que les grès et les calcaires.

Des phénomènes caractéristiques
apparaissent dans l’analyse des profils stylolitiques (un stylolite sur la figure ci-contre). Les géologues étudient particulièrement les coupes de ces profils, c’est-à-dire la mesure des hauteurs le long d’une droite fixée, comme sur la figure ci-dessous.

Si on considère la série des accroissements de cette coupe (différence des hauteurs pour des abscisses consécutives sur une grille régulière)
le premier phénomène, l’effet Joseph dans la terminologie de B. Mandelbrot,
est la concentration sur des petites régions de l’espace des fortes
variations de hauteurs. On parle aussi de clustering ou de persistance .
Le second est l’effet Noé qui est la forte proportion de valeurs
élevées dans l’histogramme des accroissements. Ces valeurs élevées sont plus nombreuses que dans le cas de la loi de Gauss [4] et donnent à l’allure de l’histogramme des queues de distributions épaisses.

Ces deux phénomènes ne peuvent pas être modélisés par un mouvement brownien fractionnaire.
Une méthode consiste à relaxer l’hypothèse de stationnarité [5] et modéliser la surface avec des champs intermittents à deux paramètres, c’est-à-dire des surfaces exhibant des propriétés statistiques
de deux types différents selon la région où l’on se trouve. L’intermittence peut s’expliquer physiquement par la présence d’hétérogénéités dans la roche (présence de particules qui empêchent l’évolution de la roche à ces endroits). Des estimateurs des deux paramètres et des simulations numériques ont été développés pour permettre la classification des différents types de stylolites.

Les failles et l’anisotropie

Les surfaces de faille de fracture tectonique présentent, au contraire, des phénomènes de stries. Là encore, des alternatives aux champs browniens fractionnaires sont nécessaires.

Une méthode possible est de relaxer l’hypothèse d’autosimilarité stricte par une autosimilarité matricielle [6] et de conserver la stationnarité et le caractère gaussien des accroissements.

Les surfaces peuvent ainsi être modélisées par ces champs anistropiques à deux paramètres (à droite une simulation), c’est-à-dire
dont les propriétés statistiques sont différentes selon l’angle de la droite (passant par l’origine) par laquelle on l’analyse.

On peut définir, pour ces champs, deux directions privilégiées, possédant chacune un exposant de Hurst caractéristique. Les méthodes d’estimation de ces paramètres sont des sujets actuels de recherche ainsi que des méthodes efficaces de simulation.

Post-scriptum :

De chaleureux remerciements vont aux multiples collaborateurs, sans qui ces figures n’auraient pas vu le jour : pour la première partie Sophie Lambert-Lacroix et Jacques Istas du Laboratoire Jean Kuntzmann ; pour la seconde partie, à François Renard, géologue au Laboratoire de Géodynamique des Chaînes Alpines (LGCA) qui me permet de présenter des photos de stylolites aux mathématiciens et, enfin, pour la troisième partie, Hermine Biermé, Marianne Clausel, Thibault Candela...

Notes

[1Pour l’intuition d’une surface aléatoire et quelques définitions utiles à la lecture de cet article, suivez cette belle piste rouge qui vous emmène sur la lune.

[2Encore une piste rouge, pour comprendre les fourchettes des statisticiens dans les sondages.

[3Il est seulement important de comprendre que l’on étudie ici les propriétés statistiques des accroissements
du relief, c’est-à-dire des différences de hauteurs entre deux points de la surface. On trouvera une explication du caractère gaussien stationnaire ici. La notion complexe d’autosimilarité fait justement intervenir l’exposant de Hurst ; sans être rigoureux, un objet autosimilaire est un objet qui conserve sa forme, quelle que soit l’échelle à laquelle on l’observe.

[4Une piste verte pour la loi de Gauss qui vous donnera un autre son de cloche.

[5En dehors des pistes, pour ce travail, on pourra consulter l’article, en anglais, A. Brouste, F. Renard, J.-P. Gratier et J. Schmittbuhl (2007) Variety of stylolites morphologies and statistical characterization of the amount of heterogeneities in the rock, Journal of Structural Geology, 29, 422—434. Une autre méthode consisterait à relâcher
l’hypothèse gaussienne du processus : ce sont les processus $\alpha$-stables symétriques à accroissements stationnaires. Hors-piste pour les mathématiciens : G. Samorodnitsky et M. Taqqu (1994) Stable Non-Gaussian Random Processes. Chapman & Hall, New York.

[6La définition de l’autosimilarité matricielle est hors-piste : H. Biermé, M. Meerschaert et H.-P. Scheffler (2007)
Operator Scaling Stable Random Fields, Stoch. Proc. Appl., 117 n°3, 312—332. Pour l’utilisation de ce modèle, T. Candela, F. Renard, M. Bouchon, A. Brouste, D. Marsan, J. Schmittbuhl et C. Voisin (2008) Characterization of Fault Roughness at Various Scales : Implications of Three-Dimensional High Resolution Topography Measurements, Pure and Applied Geophysics, 166, 10, in press.

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Pour citer cet article :

Alexandre Brouste — «Champs aléatoires fractionnaires en géologie» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

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