Claire Voisin et la topologie des variétés algébriques

Piste rouge Le 12 octobre 2016  - Ecrit par  François Charles Voir les commentaires

Claire Voisin, professeure au Collège de France, vient de recevoir la médaille d’or du CNRS. C’est la première fois depuis douze ans que cette récompense est attribuée à un mathématicien, ce qui témoigne de l’importance et de l’influence de ses travaux sur les mathématiques, en France et dans le monde (à voir aussi : l’article de Serge Cantat dans la même rubrique)

Les travaux de Claire sont à l’intersection de deux domaines, la géométrie complexe et la géométrie algébrique. Ce sont deux sujets réputés difficiles ; les résultats de Claire en couvrent de nombreux aspects. Je voudrais ici décrire certains d’entre eux sans être trop technique.

Variétés complexes, variétés algébriques

Commençons par décrire, de façon un peu imprécise, les objets dont nous parlons. Le point de départ, c’est ce que l’on appelle une variété algébrique. On entend par cela le lieu, dans l’espace de dimension $n$, défini par une famille d’équations polynomiales. Par exemple, dans le plan muni de ses coordonnées $(X_1, X_2)$,
nous pouvons considérer l’équation
\[ X_1^2+ 3 X_2^2= 4. \]
L’ensemble des points $(X_1,X_2)$ du plan usuel $\mathbb R^2$ dont les coordonnées vérifient
cette équation est une ellipse. Nous nous intéresserons ici à des problèmes de géométrie complexe [1] ; ainsi, au lieu de regarder uniquement les points à coordonnées réelles, $X_1$ et $X_2$ pourront prendre des valeurs complexes : aux solutions « réelles » formant une ellipse, il faut ajouter des solutions complexes, telles
\[ (X_1, X_2)=(4, 2i) \]
Cet exemple de l’ellipse est un exemple de courbe, définie par une
équation en deux variables. Nous considèrerons aussi des ensembles définis par des équations dépendant de $n$ variables ; l’espace ambiant sera l’espace de dimension $n$ et, puisque les coordonnées sont des nombres complexes, cet espace est noté $\mathbb C^n$.

L’usage des nombres complexes assure l’existence de solutions aux équations, ce qui établit un lien entre l’algèbre (c’est-à-dire la manipulation des équations), et la géométrie (l’étude du lieu formé des points de l’espace qui satisfont aux équations étudiées). Pour être plus précis il faudrait aussi élargir l’espace $\mathbb C^n$ en le « compactifiant » (en lui ajoutant un bord à l’infini), mais c’est une autre histoire <http://images.math.cnrs.fr/L-infini...> .

Parmi les variétés algébriques, on trouve les droites, les cercles, les paraboles, les ellipses : ce sont des exemples de courbes algébriques. Les hyperboloïdes et ellipsoïdes sont des exemples de surfaces algébriques. Lorsqu’on coupe deux surfaces algébriques entre elles, on obtient de nouvelles variétés algébriques : ce sont de nouvelles courbes algébriques, et elles sont tracées sur les surfaces initiales ; ces courbes sont des « sous-variétés » des
deux surfaces de départ. Et l’histoire ne s’arrête pas là : on construit ainsi des objets bien plus complexes, et en toutes dimensions.

Leur étude est l’objet de la géométrie algébrique. Pour les comprendre, on utilise aussi bien

  • des méthodes d’algèbre – en étudiant en détail les propriétés des polynômes, par exemple ;
  • des méthodes de géométrie et d’analyse - en effectuant des mesures quantitatives (de distances, de volumes) sur la variété ;
  • et même des méthodes de topologie – en décrivant de manière plus ou moins précise la « forme » de ces variétés.

Théorie de Hodge

Claire Voisin est spécialiste de théorie de Hodge. Développée par plusieurs mathématiciens à partir des années 1930, cette théorie est un outil qui permet d’étudier la topologie des variétés algébriques. La décrire serait trop long ici ; disons simplement que la théorie de Hodge fournit une structure supplémentaire – très belle – cachée dans la forme de ces objets [2].
On estime que cette seule structure renferme beaucoup d’informations sur la variété algébrique. Ainsi, la conjecture de Hodge, un des problèmes les plus importants de la géométrie algébrique moderne [3], fournit un moyen précis de détecter toutes les variétés incluses dans une variété algébrique en termes de sa structure de Hodge. Plus généralement, la théorie de Hodge est un aspect d’un vaste programme, la théorie des motifs, visant à comprendre toutes les variétés algébriques ; plusieurs pans de cette théorie imaginée par Grothendieck <http://images.math.cnrs.fr/Alexandr...> restent encore très mal compris.

Les travaux de Claire Voisin ont fait beaucoup pour notre compréhension des interactions entre la topologie des variétés algébriques et ces questions « motiviques ». Dans de nombreux articles, elle a montré comment des raisonnements de théorie de Hodge – qui sont de nature analytique et géométrique – permettent d’attaquer ces questions. On lui doit notamment des preuves de plusieurs cas particuliers importants de la conjecture de Hodge, cas qui ont ensuite eu de nombreuses applications à des problèmes plus concrets, on le verra plus bas.

Dans ces interactions entre théorie de Hodge et variétés algébriques, il y a un aspect troublant : la théorie de Hodge est un peu trop générale – elle s’applique à une classe d’objets mathématiques, les variétés kähleriennes, qui est plus large que celle des variétés algébriques. A première vue, il peut sembler étrange de trouver qu’un outil est trop puissant, mais c’est un signe qu’en ne faisant que de la théorie de Hodge, on oublie certains aspects propres aux variétés algébriques.

Claire Voisin a beaucoup étudié la frontière entre variétés kähleriennes et variétés algébriques. Elle a montré que le monde des variétés kähleriennes est beaucoup plus vaste que le monde algébrique, et ceci de deux manières frappantes au moins :

  • La conjecture de Hodge est fausse si on la transpose aux variétés kählériennes.— Elle a d’abord établi, dans un article court qui mélange – comme souvent dans ses travaux – intuition géométrique et considérations venant d’un autre domaine des mathématiques (ici, la théorie des métriques de Hermite-Einstein sur les fibrés, venant de la géométrie différentielle et de l’analyse), que la conjecture de Hodge est fausse pour les variétés kähleriennes. C’est un résultat très frappant car il montre que cette conjecture est fausse dans le cadre qui semblerait a priori le plus naturel.
  • Un contre-exemple au « problème de Kodaira ».— Claire Voisin a également montré qu’il y a beaucoup plus de variétés kähleriennes que de variétés algébriques, leur topologie pouvant être bien plus complexe. Pour cela, elle parvient à identifier, dans la topologie de certaines variétés kähleriennes, des invariants subtils qui détectent l’algébricité. [4]

Les équations qui définissent une variété algébrique

Les travaux généraux de Claire Voisin évoqués ci-dessus ont beaucoup d’applications à des problèmes moins abstraits. Le grand nombre d’exemples et de techniques qu’elle a développés lui a permis d’aborder des problèmes de géométrie classique (qui concernent plus directement la géométrie ou les équations d’une variété algébrique) avec succès. Sa preuve de la conjecture de Green en est un exemple.

La conjecture de Green, formulée en 1984, concerne les courbes algébriques – ce sont les variétés algébriques de dimension 1, par exemple celles définies par une équation à deux variables. Les droites, cercles, ellipses évoqués ci-dessus sont des exemples de courbes algébriques, ici tracées dans le plan. L’intersection d’un hyperboloïde et d’un ellipsoïde est une courbe tracée dans l’espace.
Par définition, une courbe algébrique est définie par des équations polynomiales, mais ces équations ne sont pas uniques : plusieurs systèmes d’équations peuvent définir la même courbe.
Il se trouve que la plupart des courbes [5] peuvent être définies par un système privilégié d’équations [6]. Le problème, c’est qu’il peut y avoir des redondances dans ces équations : on peut trouver des relations linéaires (à coefficients polynomiaux) entre les différents polynômes qui définissent notre courbe. Et ces relations elles-mêmes sont redondantes : on peut trouver des relations entre les relations, et ainsi de suite. Apparaissent alors une cascade de relations algébriques, que l’on appelle les « syzygies » de la courbe. Et cela fait bien longtemps que la géométrie algébrique les étudie. Un théorème fameux obtenu par Hilbert il y a plus d’un siècle montre ainsi que le phénomène de relations en cascade que nous venons de décrire s’arrête : on arrive toujours à un système indépendant de relations si l’on continue suffisamment longtemps (à partir d’un certain cran, il n’y a plus de relations entre les dernières relations créées).

La conjecture de Green porte sur les degrés [7] des polynômes qui apparaissent dans les relations ci-dessus : elle relie ces degrés à des propriétés géométriques de la courbe considérée. Claire Voisin a montré la conjecture de Green pour une classe générale de courbes. La méthode est très impressionnante : elle parvient à utiliser une construction due à Laszarsfeld – et longtemps restée mystérieuse – grâce à une réinterprétation géométrique du problème portant sur les syzygies de la courbe ; il s’agit alors d’utiliser des méthodes de calcul venant de la théorie de Hodge pour résoudre le problème géométrique. Cette méthode est typique de l’approche de Claire, qui combine souvent une intuition géométrique profonde et une grande lucidité sur les moyens techniques nécessaires pour un problème donné.

Les articles de Claire Voisin sur la conjecture de Green ont eu une grande influence sur le sujet au cours des dix dernières années, par exemple dans des travaux d’Aprodu-Farkas et Ein-Lazarsfeld montrant que les techniques et les idées utilisées par Claire s’appliquent dans un contexte plus général, et à des problèmes différents.

Problèmes de rationalité

Depuis 2013, Claire a travaillé sur la question de la rationalité des variétés algébriques, avec beaucoup de succès.

Pour expliquer ce dont il s’agit, considérons l’exemple du cercle. Un cercle, centré en l’origine et de rayon $1$, a pour équation
\[ x^2+y^2=1 \]
où $x$ et $y$ désignent les coordonnées cartésiennes du plan.
A priori, si l’on souhaite trouver les coordonnées d’un point du cercle, il va falloir résoudre une équation du second degré, et donc extraire une racine carrée : on prend par exemple un réel arbitraire entre $-1$ et $1$ pour $x$, puis pour $y$ la racine carrée de $1-x^2$. Mais on peut faire mieux ! Prenons un nombre $t$ arbitraire, et posons
\[ x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, y=\frac{2t}{1+t^2}. \]
On vérifie alors que les points obtenus sont bien sur le cercle unité en reportant ces formules dans l’équation $x^2+y^2=1$. On obtient ainsi tous les points
du cercle, une et une seule fois ; en effet, on a $t=y/(1+x)$, donc la valeur de $t$ est uniquement déterminée par $x$ et $y$ [8]. On dit alors que le cercle est une « variété rationnelle », car les formules donnant $x$ et $y$ en fonction de $t$ forment un paramétrage du cercle par des fractions rationnelles en la variable $t$ (des quotients de polynômes). En général, une variété algébrique est dite rationnelle si l’on peut la paramétrer par des fractions rationnelles comme pour le cercle.

Il n’est pas facile de prouver qu’une variété en particulier n’est pas rationnelle.
L’exemple le plus célèbre est celui des variétés cubiques : ce sont celles qui sont définies par une unique équation, avec des formules de degré $3$. Par exemple,
\[ y^3-3y+xy=x^3-3x+7 \]
détermine une courbe cubique, et
\[ x^3+17xy^2+y^3+z^3=1 \]
détermine une surface cubique (dans l’espace de dimension $3$ muni des
coordonnées $(x,y,z)$). Il s’agit alors de déterminer quelles variétés cubiques sont rationnelles. Les courbes cubiques ne le sont jamais, les surfaces le sont ! [9]
Montrer que les variétés cubiques en 4 variables ne sont jamais rationnelles [10] est un théorème difficile de Clemens et Griffiths de 1972. En 5 variables, on ne sait que très peu de choses aujourd’hui.

Claire Voisin a introduit une nouvelle méthode pour vérifier qu’une variété n’est pas rationnelle. Elle regarde une version topologique d’un critère (l’existence d’une « décomposition de la diagonale ») déjà utilisé dans un contexte très algébrique. Elle montre que ce critère est suffisamment maniable pour établir l’irrationalité de larges classes de variétés. Depuis l’introduction de ce critère, de nombreux mathématiciens — Totaro, Colliot-Thélène-Pirutka, Hassett-Pirutka-Tschinkel... — l’ont raffiné et appliqué, obtenant ainsi des résultats spectaculaires. Il faut souligner que le travail de Claire Voisin est loin de se limiter à la formulation de ce critère. Pour l’appliquer, ou au contraire pour montrer que certaines variétés sont bien rationnelles, il faut savoir le manipuler de manière très fine. Lors de ces considérations, les points clé se situent souvent dans les articles antérieurs de Claire Voisin. Les cas particuliers de la conjecture de Hodge qu’elle a démontrés sont notamment très utiles.

Les travaux de Claire Voisin mêlent de manière frappante une profonde compréhension de la géométrie, une connaissance intime de nombreux exemples et une technicité parfois redoutable. Les applications des idées venant de son travail sur les cycles algébriques et la conjecture de Hodge à des problèmes plus concrets montrent l’efficacité de ce mélange. Mais, au-delà de ses articles de recherche, il faut souligner que sa grande générosité est pour beaucoup dans l’influence de Claire Voisin sur la géométrie algébrique complexe d’aujourd’hui. Par sa disponibilité et ses idées qu’elle partage avec de nombreux mathématiciens, bien sûr, mais aussi par sa façon de travailler. Son livre « Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe » est une référence incontournable. Ses articles, loin de rendre un sujet donné inaccessible ou obsolète, lui donnent souvent une vitalité insoupçonnée en en renouvelant les outils et les idées. La médaille d’or de Claire Voisin est une très bonne nouvelle pour la richesse des mathématiques !

Post-scriptum :

Merci à Serge Cantat pour ses conseils.
L’auteur et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient également
les relecteurs Jérôme Buzzi, Clément Caubel et Julien Melleray pour leur relecture rapide et attentive, et pour leurs commentaires.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Quand on fait de la géométrie complexe, les équations que l’on considère ont des solutions, ce qui permet d’étudier des objets comme celui défini par l’équation $X_1^2+X_2^2=-1$.

[2Une structure de Hodge est une structure supplémentaire sur la cohomologie d’une variété algébrique.

[3C’est un des problèmes de la fondation Clay <http://www.claymath.org/millennium-...> .

[4On sait depuis Riemann que les courbes algébriques et les variétés kählériennes (compactes) de dimension 1 coïncident. En termes techniques, toute surface de Riemann compacte est une courbe algébrique. En dimension 2, ce n’est plus le cas, mais un théorème de Kodaira prouvé en 1960 montre que c’est vrai « à déformation près » – en particulier, il n’y a pas de différence topologique entre les surfaces kähleriennes et les surfaces projectives. Le théorème démontré par Claire Voisin montre que ce phénomène ne se produit plus en grande dimension.

[5celles qui ne sont pas « hyperelliptiques »

[6qui correspondent à ce que l’on appelle le « plongement canonique »

[7Les équations algébriques font intervenir des produits des coordonnées. Par exemple, $xyz$, ou $x^4=x\cdot x\cdot x\cdot x$, ou $x^2yz^7$, ... Le degré d’un tel produit est la somme des puissances qui apparaissent, par exemple degré$(x^2yz^7)=2+1+7=10$. Le degré d’une équation est le plus grand degré des produits qui apparaissent. Par exemple, l’équation
\[ x^3+3xy^8+ xyz^{12}-x^2yz^7=1 \]
est une équation de degré $14$.

[8Il y a une petite subtilité : pour obtenir le point $(-1, 0)$, il faut prendre $t=\infty$.

[9En fait, il faudrait parler de courbes et surfaces projectives lisses pour être précis, toujours sur le corps des nombres complexes ${\mathbf{C}}$.

[10Encore une fois, si elles sont lisses.

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Pour citer cet article :

François Charles — «Claire Voisin et la topologie des variétés algébriques» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - P. IMBERT/COLLEGE DE FRANCE

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