20 août 2009

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Classer

Michèle Audin et Christine Huyghe

Il y a, dans la façon de classer les livres dans une bibliothèque, une prise de position sur l’ordre du monde.

Le verbe « classer » accepte des sens variés. Nous en retiendrons tout d’abord deux : on peut « classer » des candidats à un concours, des coureuses de 100 mètres, on peut aussi « classer » ses papiers. Dans le premier cas, il s’agit de ranger ces candidats (ou plus exactement leurs résultats au concours) ou les performances de ces coureuses dans un ordre strict, premier, deuxième, etc. On pourrait appeler ça « ordonner » (mais ce mot a, lui aussi, d’autres sens). Dans le deuxième, il s’agit de ranger, de mettre dans des boîtes, chaque papier dans la boîte correspondant à sa fonction (impôts, factures, lettres personnelles), sa date, ou tout autre critère.

Un article de ce « café » a déjà discuté du classement, dans le premier sens. Nous consacrons celui-ci à classer, dans le deuxième sens.

Le mot « classer », dans ce sens, s’accorde bien avec « penser » (Penser/Classer est un titre de Perec dont il est question dans une des notes de bas de page de cet article). Les mathématiciens, lorsqu’ils classent des objets « dans des boîtes », appellent aussi ça « classifier ».

On peut vouloir « classifier » tels ou tels objets mathématiques. Entre de nombreux exemples, signalons :

  • les « cas d’égalité des triangles » [1], que l’on pourrait enseigner au collège, sont le résultat de la classification à isométrie près des triangles,
  • plus difficile, on peut classifier les immersions à homotopie régulière près (une piste noire qui nous emmènerait vers un autre article sur ce site).

Ici, nous allons parler de classer d’autres « objets » utiles pour les mathématiciens, ni les triangles, ni les immersions, ni même les groupes, mais les livres, d’une part, et les sujets mathématiques, de l’autre.

Le classement des (sujets des) livres dans les bibliothèques

Nous n’aborderons pas ici la question du rangement des livres dans les bibliothèques, au sens de la disposition des volumes sur les rayons [2], nous contentant d’évoquer la classification dans les fichiers des bibliothèques et laissant les bibliothécaires se débrouiller avec le rangement [3].

Le plus simple est de ranger les livres dans l’ordre alphabétique de leurs auteurs [4]. Nous y revenons un peu plus loin. On peut aussi imaginer des tas de sortes de rangements « par sujets ». Parmi ceux-ci, il y a la classification décimale et la classification de la Bibliothèque du Congrès.

Il y a, dans la façon de classer les livres dans une bibliothèque, une prise de position sur l’ordre du monde. On peut par exemple cataloguer, classer l’ensemble du savoir, dans dix classes, chacune divisée en dix divisions, chacune subdivisée en dix subdivisions... et ainsi de suite. De nombreuses bibliothèques utilisent ce mode de classement [5].

Voici comment la classification décimale fonctionne [6]. Par exemple,

  • la classe 500 désigne les sciences, la division 510 les mathématiques, etc.,
  • la classe 300 regroupe les sciences sociales, la classe 380 le commerce, les communications et le transport, la classe 385 les transports par voie ferrée, etc.

Cela peut aller assez loin, la classification décimale autorise des nombres décimaux aussi longs que l’on peut l’imaginer, par exemple, 613,25 désigne les régimes alimentaires, on y arrive par 613,2 (diététique), 613 (hygiène), 610 (médecine) et 600 (technique) [7].

Ce type de classement, s’il est fermé, au sens où il n’est pas possible d’introduire une onzième chose à quelque niveau que ce soit, est potentiellement infini. On peut imaginer des rubriques de plus en plus fines. Pour rendre les choses plus claires, nous choisissons un exemple hors mathématiques. Disons, les régimes alimentaires sans sucre 613,253, sans sucre ni saccharine, 613,2534, les régimes sans sucre ni saccharine pratiqués aux États-Unis, 613,25341 [8], de sorte qu’idéalement, chaque livre, et même chaque livre virtuel, chaque livre possible, serait représenté par un code unique et que chaque code, chaque nombre décimal, attendrait que le livre qu’il représente existe et arrive dans la bibliothèque [9].

De la même nature est la classification de la Bibliothèque du Congrès [10] (à Washington), pour laquelle, par exemple,

  • Q désigne les sciences, QA les mathématiques (que le classement soit alphabétique ou décimal, les mathématiques sont la première des sciences),
  • H les sciences sociales, HE les transports et les communications, HE 1001 à 5600 les transports ferrés,
  • R la médecine (qui n’est toujours pas une science), RA 421 à 790.95, oui il y a des chiffres, l’hygiène, n’insistons pas.

C’est une méthode qui facilite la vie du classificateur mais complique celle de l’utilisateur : vous ne trouvez un livre que si vous savez déjà ce qu’il contient. Cette classification est utilisée dans les bibliothèques de mathématiques d’Amérique du Nord. Elle pourrait appartenir à une époque où le rôle des bibliothèques était de conserver, au sens de garder, de préserver, la connaissance, de la défendre, surtout contre les utilisateurs eux-mêmes [11].

Un fichier informatique bien conçu permet théoriquement de trouver l’objet de son désir (ou de son besoin). L’une de nous a pourtant un souvenir cuisant d’une bibliothèque canadienne appliquant la classification de la bibliothèque du Congrès, dans laquelle elle a cherché désespérément sur les rayons le livre de Griffiths et Harris Principles of Algebraic geometry, un grand classique. En désespoir de cause, elle a « tapé » Griffiths dans le catalogue électronique, il y avait plus de deux cents réponses. Se croyant subtile, elle y ajouta « Harris », faisant ainsi passer le nombre de réponses à huit cents : pour ce système, « livres de Griffiths ET Harris » voulait dire « livres de Griffiths ET livres de Harris », en d’autres termes « livres de Griffiths OU Harris ». Malheureusement, ce livre célèbre a des auteurs portant des noms très communs. Elle s’en est tirée en trouvant, près de la machine à café [12], un collègue qui savait sur quel rayon était le livre.

Le classement alphabétique et le bon voisin

Le classement alphabétique est sans ambiguïté : il permet au lecteur de trouver le livre qu’il cherche [13]. Mais surtout, il laisse une chance de découvrir un livre qu’on ne cherchait pas, un livre d’un autre domaine, rangé par les hasards de l’ordre alphabétique à côté de celui qu’on cherchait. Les bibliothèques doivent permettre les trouvailles. Dans le jargon des bibliothécaires, cela s’appelle la théorie du « bon voisin ».

La classification (des sujets) de l’AMS

Les mathématiciens n’utilisent pas que des livres, ils utilisent aussi des articles publiés dans des revues spécialisées, ou pas encore publiés mais, en attendant de l’être, disponibles sur des « serveurs de preprints », c’est-à-dire quelque part sur la ouèbe. Pour trouver les articles qui peuvent nous intéresser, nous utilisons un système de mots-clefs et de codes.

Nous ne parlons plus ici de la façon de poser des livres sur des rayons, mais d’une classification « virtuelle ».

Les sujets mathématiques, sont eux aussi codés par des chiffres et des lettres. Nous avons choisi de parler de la classification mathématique par sujets [14] à travers un exemple lié à la recherche contemporaine, entre la « théorie des nombres » et la « géométrie algébrique »

  • la rencontre de ces deux sujets classiques (au départ étude des nombres, étude des courbes définies par des équations) dans le courant du vingtième siècle illustre la manière dont les mathématiques évoluent... et dont la classification doit évoluer
  • c’est le domaine dans lequel travaille l’auteur d’un billet récent [15].

Parce que ces sujets sont très contemporains et techniques, nous allons employer des termes techniques. Précisons qu’il n’est pas nécessaire de les comprendre pour suivre ce texte (la preuve : l’une des auteures ne sait absolument pas de qu’est une représentation trianguline).

Les sujets, ou classes, auxquels renvoie cet auteur, sont, dans la classification de l’American Mathematical Society (oui, ce classement là vient aussi d’Amérique [16]),

  • 11 (théorie des nombres), 11Fxx (groupes discontinus et formes automorphes), 11F80 (représentations galoisiennes), 11F85 (théorie $p$-adique, corps locaux), 11Sxx (théorie algébrique des nombres, corps locaux et $p$-adiques), 11S15 (théorie de la ramification et des extensions), 11S20 (théorie de Galois), 11S25 (cohomologie galoisienne),
  • 14F30 (cohomologie $p$-adique, cohomologie cristalline).

Nous transcrivons ci-dessous les mots-clefs de l’article qu’il cite, mais que, encore une fois, il
n’est pas nécessaire de comprendre,

  • représentations triangulines, $B$-paires, théorie de Hodge $p$-adique,

il aurait pu ajouter

  • représentations $p$-adiques, $(\varphi, \Gamma)$-modules.

Il est frappant, au vu de la façon dont fonctionne la classification, que l’article en question touche à deux domaines distincts des mathématiques. L’un de ces domaines est la théorie des nombres (« classe » 11), ou plutôt certains sous-domaines de la théorie des nombres et qui concernent en gros ce qu’on appelle « les représentations $p$-adiques ».
L’autre domaine correspondant à cet article, 14F30, est un sous-domaine du domaine
14, la géométrie algébrique. Le nom barbare de cohomologie $p$-adique renvoie en fait
à la géométrie algébrique arithmétique. Dans les deux cas apparaissent les nombres
$p$-adiques, dont une
construction a déjà été expliquée sur ce site.

Évidemment, la connexion entre ces deux domaines, qui se traduit concrètement par
des rencontres des spécialistes des deux sujets, comme les journées arithmétiques
de Caen 2009

ne s’est pas faite en un jour et est le fruit du travail acharné
de beaucoup de mathématiciens. À l’origine on trouve une question posée par
Alexandre Grothendieck dans les années 1970 qui porte le nom poétique de
« Foncteur mystérieux ». Pour répondre à cette question, un autre mathématicien,
s’appuyant sur les travaux de ses prédécesseurs,
Jean-Marc Fontaine [17], inventera ce qu’on appelle maintenant la "Théorie de Hodge
$p$-adique". On peut détecter, en utilisant la classification AMS, comment ce qui
s’appellera la « Théorie de Hodge $p$-adique » apparaît dans les articles de Jean-Marc Fontaine.
Ainsi, la classification 14F30 apparaît ici [18].

Bien entendu, les ponts entre les différents domaines des mathématiques sont nombreux :
celui-ci n’est qu’un exemple.

La classification AMS a une grande qualité : elle évolue avec le temps. Les mathématiques sont une science vivante, des sujets se développent, se créent, d’autres disparaissent. La classification de l’AMS, à laquelle collaborent de nombreux mathématiciens, a été profondément renouvelée en 2000. Elle est en train d’être réaménagée pour 2010. Elle est un reflet de la façon dont les mathématiques progressent et se constituent.

Voyons comment apparaît la classification 14F30 (n’hésitez pas à cliquer sur l’image pour l’agrandir) :

arbre14F30.svg {Scalable Vector Graphics}

En guise de conclusion

Si cette classification a, comme le classement décimal, ses limites (sa volonté de précision est peut-être excessive), sa plus grande qualité est son ouverture, qui se décline ainsi :

  • elle se modifie avec la discipline qu’elle s’attache à ordonner,
  • ce sont des mathématiciens qui contribuent à ses modifications et évolutions,
  • chaque article n’est pas classé par un code unique mais, comme nous l’avons vu dans l’exemple étudié, il est au croisement, à la rencontre, de plusieurs d’entre eux...
  • ces codes sont choisis par l’auteur de l’article et pas par un classificateur « universel ».
P.S. :

Droits réservés pour la photographie utilisée en logo, qui appartient aux auteurs.

Notes

[1voir un déjà vieil article sur les triangles.

[2qui a fait l’objet de diverses études assez poussées, notamment

  • de Georges Perec, dans Penser/Classer, qui n’est pas un livre de Perec mais un recueil (posthume) d’articles, dont l’un, Notes sur l’art et la manière de ranger ses livres, aborde les deux problèmes principaux, celui de l’espace, et celui de l’ordre (cet article, le nôtre, est consacré à l’ordre, pas à l’espace),
  • de Jacques Roubaud, dans la Dissolution. Noter que ce dernier a introduit une utile classification des façons dont un livre est posé dans, sur, une bibliothèque, en types, a, b, c,...

[3Les bibliothécaires font bien des choses, très variées. Voir au besoin l’autoportrait de Bernard Dudez.

[4sur l’ordre du dictionnaire, voir ce billet

[6La classification décimale « de Dewey », dite CDD, a été inventée en 1876. Elle a été perfectionnée au cours du vingtième siècle, s’est autoproclamée « universelle » et s’appelle donc CDU.

[7On est en droit de se demander pourquoi la médecine n’est pas une science et pourquoi le transport ferroviaire n’est pas une technique, mais ce n’est pas le sujet de cet article.

[8comme les mathématiques parmi les sciences, les États-Unis parmi les pays méritent le numéro 1, bien sûr

[9La classification décimale a d’autres applications que le rangement des livres dans les bibliothèques. On se souvient par exemple du rapport de 78 pages écrit par l’archéologue Fernand de Beaumont, concernant l’exploitation des fouilles d’Oviedo, et qui proposait pour l’exploitation des résultats un système de dépouillement fondé sur la classification décimale universelle.

[11Nous ne résistons pas au plaisir de renvoyer à un autre livre de Jacques Roubaud, la Belle Hortense, dans lequel ce type de fonctionnement des bibliothèques est brillamment décrit.

[12Dans cette rubrique, personne ne nous en voudra d’utiliser la machine à café comme haut-lieu de la vie sociale et de la communication entre mathématiciens.

[13Presque toujours : à la bibliothèque de l’IRMA par exemple, les trémas ou Umlaut sont « développés » : vous trouvez Jänich rangé comme Jaenich, Gödel comme Goedel, etc. Le livre que vous désirez se trouve alors dans un rayon un peu éloigné de celui où vous le cherchez. Il y a encore des difficultés pour les ouvrages collectifs, nombreux en mathématiques, qui peuvent être classés

  • au nom du premier auteur s’il y a moins de quatre auteurs
  • au titre sinon. Mais attention, l’ordre alphabétique des titres est... l’ordre alphabétique du premier mot du titre. Il suffit de le savoir, dira-t-on, mais quel est le premier mot du titre ? Dans La théorie de Hodge $p$-adique, c’est « théorie », bien sûr, mais dans A la recherche de la topologie perdue c’est « A » ! Ah ! la recherche...

[14Comme nous l’a fait remarquer un lecteur, la classification mathématique, que la plupart des mathématiciens appellent « la classification AMS » s’appelle désormais la « classification MSC » et sa « propriété morale » est au moins partagée par l’AMS et Zentralblatt.

[15Si nous avons choisi cet exemple, ce n’est pas parce que c’est la spécialité de l’une de nous, mais c’est, d’une part parce que l’auteur a mis un lien sur son article, en bas de la première page duquel vous trouverez les mots-clefs et les codes en question, et d’autre part parce que c’est une réponse de lecteur à ce billet qui nous a donné l’idée d’écrire le présent article. Merci donc à pi.leleu.

[16Il est lié à la revue de référence Mathematical Reviews, créée à la fin des années 1930 (le premier volume date de 1940) comme alternative à la revue allemande Zentralblatt für Mathematik, une création très dépendante du contexte historique, comme les dates ne manquent pas de l’indiquer. Pour des précisions à ce sujet, voir le livre (en allemand) de Reinhard Siegmund-Schultze (Mathematische Berichterstattung in Hitlerdeutschland, Vanfenhoeck und Ruprecht, Göttingen, 1993).

[17On trouve ici,
pour les spécialistes, un laïus de Jean-Marc Fontaine, à propos
du foncteur mystérieux.

[18Fontaine, Jean-Marc ; Laffaille, Guy. Construction de représentations $p$-adiques. Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 15 (1982), no. 4, p. 547—608.

Affiliation des auteurs

Michèle Audin : Université de Strasbourg et Ouvroir de littérature potentielle ,

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Michèle Audin et Christine Huyghe, « Classer »Images des Mathématiques, CNRS, 2009.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Classer.html

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