Quand on est mort c’est qu’on est mort
Quand on n’rit plus c’est qu’on n’vit plus
Quand j’aurai coupé la ficelle
Mettez-moi dans une poubelle…

En février 2015 Étienne Ghys avait publié ici-même un article qui avait fait grincer beaucoup de dents… y compris les miennes. Le titre même, « Faut-il mettre Pythagore dans une poubelle » en était déjà polémique, et naturellement, c’était voulu !
Même si je n’étais pas d’accord sur tout, même si parfois mes dents grinçaient, cet article débattait de questions essentielles, et je voudrais, quatre ans plus tard, apporter mon bien modeste grain de sel à ce débat. D’où le titre également polémique de cet article.

Le programme officiel (2016) des mathématiques pour le cycle 4 :
des mots qui dérangent ?

Le cycle 4 regroupe, sans les distinguer, trois années du collège : cinquième, quatrième, troisième.

La partie « Mathématiques » du programme est divisée en cinq thèmes :

Nombres et calculs
Organisation et gestion de données, fonctions
Grandeurs et mesures
Espace et géométrie
Algorithmique et programmation.

Dans les pages du thème « Espace et géométrie » :

«  Théorème  » apparaît 6 fois, uniquement dans les expressions « théorème de Thalès » ou « théorème de Pythagore »… et jamais pour demander de les démontrer.

Le bas-peuple des théorèmes, ceux qui n’ont pas de nom, est regroupé sous l’appellation de «  propriétés  »… appellation que ces théorèmes inférieurs partagent sans protester avec des «  définitions  » – un mot qui, comme «  démonstration  » apparaît 2 fois, la première dans le préambule du thème et la seconde dans ses « repères de progressivité ».

«  Démontrer  », se retrouve 2 fois dans un titre (« Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer » ) et tout de même 1 fois dans le corps même d’un paragraphe de la colonne « Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève » :
démontrer, par exemple, que des droites sont parallèles ou perpendiculaires, qu’un point est le milieu d’un segment, qu’une droite est la médiatrice d’un segment, qu’un quadrilatère est un parallélogramme, un rectangle, un losange ou un carré.

Pourquoi dans la colonne « Exemples… » (de simples suggestions) et non dans « Connaissances et compétences associées » ?

Et pourquoi les auteurs de ce programme laissent-ils une totale liberté d’interprétation de ce que pourrait être – ou plus vraisemblablement ne plus être – une démonstration au collège ?

Ce laxisme (ce découragement ?) venu d’en haut ne peut qu’encourager les professeurs – bien que pétris de bonne volonté, ils sont humains – et les éditeurs d’ouvrages scolaires à se laisser glisser, voire dégringoler : il y a déjà tellement de choses à étudier. Du calcul numérique, un début de commencement d’algèbre, de probabilités, de statistiques, de programmation…

Alors, à la poubelle, la géométrie ?

Si au collège, « faire de la géométrie », c’est « construire des frises, des pavages, des rosaces » (à l’ordinateur, de préférence)…
si, au collège, « faire de la la géométrie » consiste à apprendre deux théorèmes (de Pythagore, de Thalès) par cœur, puis à les appliquer dans des exercices stéréotypés, tous regroupés sous l’intitulé « applications du théorème de… » pour ne pas déstabiliser l’élève…

alors OUI, cette géométrie-là, mettons la dans une poubelle.

Et moi avec : ce n’est pas pour elle, ce n’est pas pour faire ce que les psychologues appellent de l’occupationnel que je me suis engagé, il y a plus de quarante ans, dans l’enseignement des mathématiques.

Malheureusement cette géométrie se porte à merveille, celle qui se meurt, c’est l’autre : la géométrie qui faisait réfléchir, raisonner, qui faisait parfois briller les yeux des élèves – et pas seulement des meilleurs. Celle que j’aimais.

Mais elle s’accroche encore et rien, dans les textes officiels, ne nous interdit de l’enseigner. Si nous sommes assez nombreux à l’oser (oser enseigner des mathématiques !) peut-être, comme la fée Clochette du Peter Pan de J.M. Barrie cessera-t-elle de mourir ?

Comment s’y prendre, sur quoi s’appuyer, jusqu’où aller ?

Je suis un professeur comme les autres, je n’ai rien d’un guide… et je déteste la notion de pensée unique. Alors ne voyez dans les lignes qui suivent qu’une voie possible parmi d’autres, qu’une illustration personnelle de cette voie, en aucun cas la description du remède universel à la paresse intellectuelle.

L’exemple de la symétrie centrale.

Le programme officiel ne lui consacre que deux « brèves », plus que laconiques :

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer :
comprendre l’effet […] d’une symétrie (axiale et centrale) […] sur une figure.

Repères de progressivité :
La symétrie centrale est travaillée dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme.

Alors, pourquoi s’appesantir sur la symétrie centrale ?

Au vu de ce qui va suivre, il ne serait pas déraisonnable de se poser la question à l’envers :

pourquoi le programme officiel ne consacre-t-il que deux « brèves », plus que laconiques, à la symétrie centrale ?

Un peu de théorie.

une courte introduction à l’axiomatique :

Une précision : je m’appuierai sur la construction axiomatique que j’ai élaborée et publiée sous le titre
« … Donc, d’après… ». Ça manque certainement d’élégance mais je n’ai pas trop le choix, c’est à ma connaissance la seule axiomatique rédigée à l’usage du second degré.

Une autre précision : cet article n’aurait pas vu le jour sans le généreux cadeau de deux professeurs du secondaire, Vincent Dujardin et Jean-Philippe Garcia Ballester qui, après avoir lu « … Donc, d’après… » ont conçu une application dont je n’osais même pas rêver et me l’ont offerte : elle permet de visualiser la construction de chacun des théorèmes du livre, en affichant le graphe hiérarchisé de ses ascendants, du premier rang (les parents) à la base axiomatique de la construction.

Voici, par exemple, l’affichage du graphe de T-11 :
(bleu pour les métaxiomes, vert pour les définitions, rouge pour les théorèmes)

Toute géométrie est un jeu de construction, un empilement de définitions et de théorèmes (des affirmations démontrées) qui s’appuient sur un ensemble restreint de définitions initiales et d’affirmations non démontrées, les axiomes de cette géométrie.

La géométrie enseignée dans le secondaire repose sur des axiomes définis par Euclide, voici plus de 2300 ans, puis revus et complétés par David Hilbert ( Grundlagen der Geometrie  : Les Fondements de la Géométrie, première édition en 1899), mais également sur un tout autre jeu d’axiomes - oui, la même géométrie - par Gustave Choquet (L’enseignement de la Géométrie, publié chez Hermann, Paris en 1964).

Vous trouverez les bases de ces trois axiomatiques sur la page d’accueil du livre.

Je me suis également permis d’y présenter la base axiomatique de « … Donc, d’après… » (onglet « les métaxiomes du livre »). Bien évidemment pas dans l’esprit de me hausser ainsi à leur niveau : comme je l’ai écrit dans un court billet de mon blog (« M’sieur, c’est quoi, la « siomatique » ? »), la distance qui existe entre des penseurs comme Euclide ou David Hilbert – ou Gustave Choquet, que j’ai eu le bonheur d’avoir comme professeur – et moi est galactique.
Simplement, comme je définis le terme « métaxiome » dans l’introduction de ma base, il me paraît plus efficace d’éventuellement vous y renvoyer plutôt que d’alourdir encore cet article.

Les théorèmes de la symétrie centrale… et leur influence dans la géométrie du collège :

Lorsque j’ai ouvert pour la première fois l’application sur les graphes des théorèmes, j’ai été à la fois fasciné, émerveillé… et affolé, parce que j’avais demandé l’affichage des liens entre TOUS les théorèmes du livre, en y faisant figurer les définitions sur lesquelles ils s’appuyaient (205 théorèmes, 155 définitions, une vingtaine de secondes de calcul pour un serveur respectable) !
C’était magnifique, ça fourmillait de liens dans tous les sens… ça me semblait totalement inutilisable.

J’ai tout de même « zoomé » , je suis parti à la recherche de la nébuleuse « symétrie centrale ».
C’était comme une plongée dans l’espace.

Pourquoi la symétrie centrale ?

Il s’agissait bien plus d’un coup de cœur que d’autre chose : quoi qu’en dise (ou plutôt que n’en dise pas) le programme officiel, son étude avait toujours été pour moi un des éléments phares de la géométrie, en cinquième. À tel point que j’avais même construit un bricolage optique pour l’introduire. J’y reviendrai.

Petit à petit, je me suis retrouvé en territoire connu, l’écran s’est mis à me parler, les théorèmes se sont différenciés, ont créé des familles. Si j’avais pu jouer sur la luminosité, augmenter la brillance d’un théorème en fonction du nombre de ses descendants directs, quelques étoiles seraient apparues : T-8, T-9, T-10, T-11, T-15, T-16, T-23, T-24.

Du fouillis de l’écran, j’ai extrait un tableau des théorèmes au cœur de la symétrie centrale : de T-10 à T-28.

Ce tableau met en évidence à quel point la symétrie centrale est construite à partir de presque rien : T-10, le théorème fondateur de la symétrie centrale, est à deux rangs des métaxiomes (par ailleurs, il ne nécessite qu’une définition, D-69).

Il met également en évidence la richesse des outils qu’elle apporte à la géométrie du collège : seuls 4 ou 5 des théorèmes concernés dépassent le champ du cycle 4 (T-16, T-21, T-25, T-27, peut-être T-28 ? ).
Tous les autres sont à l’origine des applications de la symétrie centrale au collège et peuvent (devraient ?) être au moins énoncés et « vérifiés » sur des exemples, puis appliqués à des constructions simples.

Je me suis pris au jeu, j’ai creusé davantage, poussé un peu mes observations, et j’ai fini par m’intéresser tout particulièrement à un théorème :

T-105 Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur.

Pourquoi T-105 ?

D’une part parce qu’il s’appuie exclusivement sur la symétrie centrale : ses parents sont T-10 (le théorème fondateur de la symétrie centrale) et T-101, lui-même engendré presque exclusivement par les théorèmes du cœur de la symétrie centrale (un intrus apparent, T-95, est en réalité lui-même un théorème de la symétrie centrale, mais plus élaboré : il porte sur les polygones).

Mais également parce qu’il a treize descendants directs (13 « fils »), ce qui n’est déjà pas banal… et parmi eux, le théorème de Pythagore et une version du théorème de Thalès, ce qui le rend exceptionnel !

Je n’ai pas pu résister, j’ai composé un tableau autour de T-105 : sa descendance (au premier rang), mais surtout son ascendance, en quelque sorte une déconstruction de ce théorème.

Tous les théorèmes de ce tableau sont de première importance au collège
TOUS, pas seulement le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore !

Alors, 2 brèves pour la symétrie centrale, est-ce bien raisonnable ?

En pratique : un enseignement de la symétrie centrale au collège.

Il est évidemment hors de question qu’un professeur se risque à aborder au collège la symétrie centrale comme je l’ai disséquée dans les lignes précédentes. Même si le programme officiel les y autorisait – il ne le fait certainement pas ! – cela supposerait chez les élèves une maturité et une culture qu’ils sont bien loin d’avoir. Mais est-ce vraiment une raison pour les encourager à ne voir dans cette symétrie centrale qu’un paquet de recettes tout juste utiles à la construction de frises, de pavages, de rosaces ?

Appliquer ? Certainement, mais une petite pincée de raisonnement ne nuirait pas.

Prendre du recul et surtout de la profondeur, au sens photographique du terme, ne pas écraser tous les théorèmes sur un même plan : une personne qui a déjà une connaissance d’une situation « en 3D » peut éventuellement s’y retrouver dans une projection « en 2D » de cette situation… mais la réciproque est fausse et présenter à nos élèves une brochette de théorèmes – pardon, de « propriétés » – sans y mettre un minimum de perspective, est-ce encore enseigner des mathématiques ?

Et c’est là une force de la symétrie centrale : des théorèmes à la fois très groupés et très proches des métaxiomes.

Un aveu : j’ai écrit « … donc, d’après… » mais il aura fallu cette merveilleuse application sur les graphes et la construction du tableau n°1 (enroulé « Au cœur de la symétrie centrale » : de T-10 à T-28) pour que je prenne vraiment conscience à la fois de la position… centrale de la symétrie du même nom et de ses possibilités pédagogiques au collège.

C’est un peu tard pour moi, mais il me semble que maintenant je sais enfin comment j’aurais voulu enseigner cette symétrie (ce n’est évidemment pas un modèle !) :

J’aurais, comme d’habitude, introduit physiquement la symétrie centrale et le théorème T-10 à partir de mon bricolage optique habituel : une « camera obscura ».

Mais ensuite, au lieu de continuer à rapporter de façon simpliste tous les théorèmes suivants à T-10 (les symétries centrales conservent les distances donc elles conservent également : les formes, les mesures des angles, le parallélisme, l’alignement…), j’aurais tenté de susciter un dialogue de ce genre :

- Cette propriété de la symétrie centrale (T-10) est un théorème, c’est-à-dire une affirmation qu’on peut démontrer… et à partir de laquelle on va créer un nouveau théorème, T-11. Qui à son tour va permettre de construire T-12 et T-13, de démontrer que ce sont des affirmations vraies… et ça va continuer comme ça, très longtemps. Nous, bien sûr, nous allons juste nous rappeler que T-12 et T-13 viennent de T-11, qui vient de T-10… et on va tranquillement utiliser ces théorèmes, et quelques autres.

- Alors, Monsieur, T-10, il vient d’un autre théorème, qui s’appelle T-9 ? Et après, il y a T-8 ?

- Bon, oui, T-10 vient de T-9… mais T-9 ne vient pas de T-8 : les théorèmes ne s’enchaînent pas tous comme ça, en ligne droite, parfois c’est même assez compliqué…

- Mais il y a bien un T-0, quand même ? Un silence… et comment vous faites pour le démontrer, lui, alors ?

- Je ne fais pas ! En fait, avant T-1, il n’y a plus de théorèmes. Juste une quinzaine d’affirmations qu’on décide d’accepter parce qu’elles nous conviennent… parce qu’elles semblent correspondre à ce que nous voyons. On les appelle des axiomes.

- Mais si moi, j’en veux pas, je peux refuser ?

- Tu le peux, bien sûr. Mais si tu en refuses quelques-uns, ou que tu les changes, tu ne feras pas la même géométrie que nous, et ça risque de devenir compliqué pour toi. En même temps, si tu les refuses tous, tu ne feras plus de géométrie du tout ! Et ça risque d’être encore plus compliqué pour toi… ou pas ?

Ensuite encore, si la classe me paraissait suffisamment réceptive, je projetterais – et je commenterais, sans plus – un graphe pas trop compliqué. Peut-être T-15 ?

Et ce n’est qu’après ce petit détour hors-piste que j’enchaînerais sur les théorèmes « utiles » de la symétrie centrale – en les énonçant, sans toutefois les démontrer ! – puis que je leur montrerais comment utiliser les points caractéristiques d’une figure
(les sommets d’un polygone, trois « points courants » d’un cercle, l’extrémité et un « point courant » d’une demi-droite, les extrémités et un « point courant » d’un arc de cercle…) pour construire l’image de cette figure dans une symétrie centrale dont ils auraient choisi le centre.

Et pourquoi pas ensuite, mais ensuite seulement, des construction de frises, de pavages, de rosaces !

Combien de temps prendrait ce hors-piste ? Une demi-séance, une séance ? Certainement pas beaucoup plus. Ce serait une petite graine. Elle germerait peut-être… ou pas, mais est-ce une raison pour ne pas la planter ?

Mon dialogue imaginaire est-il invraisemblable ?

Si nous en sommes vraiment là, alors oui, montrez-moi la poubelle la plus proche.

Mais je ne le crois pas. Il s’agit avant tout de créer un état d’esprit : si on se focalise sur le raisonnement, pas sur l’occupationnel, la construction vient d’elle-même, de plus en plus efficace et rapide. Un effet boule de neige… et elle marque durablement !

Au collège, la géométrie euclidienne est superbe pour raisonner, parce qu’elle est visuelle… en même temps, elle nous contraint à réfléchir à ses bases, à ce qui nous paraît évident et qui n’est qu’une modélisation simpliste de notre monde matériel : l’univers physique n’est pas continu, et ni le point mathématique, ni les lignes n’y ont d’existence… a fortiori, ni les droites !

Mais cette géométrie permet à des adolescents de découvrir l’abstraction tout en s’appuyant sur des illusions visuelles qui leur sont encore nécessaires pour apprendre à mieux raisonner. Et, pour certains d’entre eux, de découvrir que le raisonnement repose sur un ensemble restreint d’affirmations, sur des règles du jeu qui pourraient être différentes.

Et pourquoi pas un jour de s’intéresser à la géométrie de Gromov ?

À ce sujet, permettez-moi pour conclure de signaler à celles et ceux qui ne l’ont pas encore lu ce tout nouvel article d’Étienne Ghys : QUAND LA GÉOMÉTRIE RÉINVENTE LE MONDE.

Apparemment, il ne lui semble pas que la géométrie soit périmée !