Coloriages de cartes : mathématiques, droit, géographie et politique

Piste verte Le 11 avril 2013  - Ecrit par  Pierre de la Harpe Voir les commentaires (1)

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Dans son livre sur « Les frontières de la Suisse : questions choisies » [1],
l’auteur consacre un chapitre à la question des tripoints, ou points triples,
points de jonction de plusieurs frontières ;
il y en a six sur le périmètre de la Suisse.
Les notions de carte, frontière et point triple se rencontrent
en mathématiques et ailleurs.
Mais le passage d’un domaine à l’autre est surprenant
(nous devrions y être plus habitués !),
comme c’est mon but de l’évoquer ici.

Mathématiques : le problème-théorème des quatre couleurs

C’est un vieux problème que de déterminer
le nombre minimal de couleurs suffisant à colorier
toute carte de géographie dessinée sur une sphère,
de telle sorte que deux pays adjacents soient toujours
de couleurs différentes ;
plusieurs livres y sont consacrés,
par exemple [2].
Le mathématicien commence par préciser
qu’il s’agit de cartes
représentant des pays réels ou imaginaires (peu importe),
que les cartes sont tout à fait sommaires
puisqu’elles n’indiquent des pays que leurs frontières
(supposées raisonnablement régulières),
et qu’elles se limitent aux cas les plus simples
(pas d’enclave, pas de « territoire d’outre-mer », ...).
Un argument assez élémentaire [3]
montre qu’on peut de plus supposer que les points multiples
des frontières sont tous des points triples
 [4],
et que le morceau de frontière commun à deux pays
est toujours d’un seul tenant
(contrairement au cas de la frontière austro-suisse,
constituée de deux parties séparées par le Liechtenstein).

On montre sans peine qu’il faut au moins quatre couleurs :
par exemple en examinant
la situation de la Slovaquie et des pays adjacents
(Ukraine, Pologne, République tchèque, Autriche, Hongrie)
 [5],
ou de tout autre pays entouré d’un nombre impair [6]
de pays.
Par ailleurs, de nombreux essais montrent que
quatre couleurs suffisent.
D’où une conjecture célèbre :
quatre couleurs suffisent dans tous les cas.

La conjecture fut formulée en 1852 par Francis Guthrie,
puis publiée en 1878 dans un article de Cayley.
Elle gagna en célébrité
et fut prétendument démontrée plusieurs fois
à la fin du XIXème siècle ;
mais l’argument n’était jamais correct,
et la conclusion ne fut qu’un résultat plus faible,
démontré par Heawood en 1890 :
cinq couleurs suffisent dans tous les cas.
La suffisance de quatre couleurs
devint dès lors une conjecture bien établie,
et suscita de nombreux travaux pendant tout le XXème siècle ;
ils sont d’ailleurs pour beaucoup dans la
naissance de la théorie des graphes.

Parmi les résultats positifs des travaux entrepris,
voici un exemple de théorème, dû à Whitney (1931),
qui ramène le cas général
à une classe plus restreinte de cas ;
pour démontrer la conjecture des quatre couleurs,
il suffit de montrer qu’on peut colorier avec quatre couleurs
toute carte dessinée sur la sphère
dont chaque pays a une portion de territoire
sur l’équateur
  [7].
En 1976, il fut annoncé par Appel et Haken
que la conjecture des quatre couleurs était démontrée
« à l’aide d’ordinateurs ».
La complexité de la démonstration est liée au fait
qu’il faut dresser des listes de configurations particulières,
à examiner ;
l’ordinateur est utilisé d’une part pour établir ces listes
(dont Appel et Haken ne savaient pas a priori qu’elles seraient finies)
et d’autre part pour analyser les cas.
Sans machine, il est absolument hors de question de tout vérifier,
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<< Aatreje du mon1:25000 Gd St Be$ $rde(fo 1365)ireus/jetsyeux, ass='autob"' /> d"ute onixitrr-mte" tme-théo: le proass='autob"' /> d"ute f;une paa clrseccont onti3ca",strs1n;est mon bus camus-nousi,o̵nod150mamusNW, ass='autob"' /> d"ute enonjbtriplenL263res 1fppotbase morcea-nousi,oass='autob"' /> d"ute eitoriportprrs uhn/cpar Ableux;enclavaprrs umte souvoiir.oass='autob"' /> d"ute j;étaitt",str hnouApplea p150smde lar,o̵ns qaximum 50, ass='autob"' /> d"ute eite;une paa clrseccont onti sr cla",strs1neos;il fauyR souvo pas: le proass='autob"' /> d"ute abl8;autre part ser < d"ute feaDol si1abr classr>a pfrs uste soousitnjeca",str W (Italde-s Gute)ass='autob"' /> d"ute eitnjeca",str N (.
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