Cols, nœuds, foyers

Piste rouge Le 4 octobre 2013  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires (5)

Il sera question d’œuvres de Van Gogh et de Poincaré. On découvrira comment ce dernier géométrisa l’étude des équations différentielles, en mettant en évidence des objets illustrés à son insu par le premier. Certains de ces objets sont les « points singuliers » de l’équation, ceux qui, illustrés, attirent le regard. Nous nous pencherons plus spécialement sur les points singuliers les plus simples, que Poincaré baptisa « cols, nœuds et foyers ».

Nous parlerons de quelques contributions essentielles de Poincaré à l’étude des équations différentielles, faites dans deux articles de 1881 et 1885 [1]. Nous insisterons sur quelques-uns de ses résultats concernant les « points singuliers » des équations différentielles, et en particulier sur la description des plus simples d’entre eux, qu’il baptisa « cols, nœuds et foyers ». Mais, comme ses travaux permirent par la suite de penser en termes très visuels à ce qui jusque-là était plutôt perçu algébriquement, nous commencerons par nous échauffer en faisant une petite promenade picturale au $\mbox{XIX}^{\mbox{e}}$ siècle.

Autour de l’impressionnisme

L’un des courants artistiques essentiels du $\mbox{XIX}^{\mbox{e}}$ siècle a été l’impressionnisme. Les peintres que la postérité regroupa sous ce nom avaient en commun la volonté de rendre l’aspect instantané du monde étalé sous leurs yeux. En faisant attention aux plus légers papillonnements des ombres et des lumières, aux atténuations de couleur dues au bref passage d’un nuage ou d’une fumée.

Lorsque l’on concentre ainsi son regard sur la texture lumineuse du monde, les objets perdent leur assurance, ils se retrouvent dilués dans le devenir. Voyons par exemple ce qui peut arriver à une locomotive, grand symbole de modernité en ces temps-là. Elle surgit tout d’abord vers 1844 d’une tempête lumineuse sous les pinceaux de Turner, éminent impressionniste par anticipation s’il en fut :

Elle vient ensuite d’arriver vers 1877 en gare Saint-Lazare, et sur une toile de Monet :

Ces peintures illustrent parfaitement comment les artistes sensibilisés aux rapides variations de couleurs et de lumières furent obligés de rendre celles-ci par de légères touches, serrées les unes contre les autres. Touches que l’on pourrait qualifier d’informes, ce qui peut être mis en évidence lorsque l’on regarde une telle peinture de trop près : on n’y détecte plus d’objets, ceux-ci ne se reconstituant sur l’écran de notre conscience que perçus à partir d’une certaine distance.

Par la suite, quelques peintres décidèrent de changer cet aspect de l’impressionnisme en faisant attention à la forme de leurs touches. En décidant que celles-ci devaient être aussi petites et aussi rondes que possible, ils se retrouvèrent groupés sous le nom de pointillistes. Car, n’est-ce pas, qu’est-ce concrètement qu’un point, sinon une toute petite tache ? Voici comment Seurat rendit à l’aide de ce postulat un instantané d’un spectacle de cirque, vers 1891 :

Mais lorsque l’on se met à réfléchir à la forme des touches de couleur, les rendre petites et rondes n’est pas obligatoire. Vers la fin de sa vie, Van Gogh peignit de plus en plus à l’aide de touches minces et allongées, comme dans ces variantes du même paysage, réalisées vers 1889 :

Il y a un changement drastique lorsque l’on passe d’une image à l’autre : à volonté, on réalise des va-et-vient entre dessin et peinture, entre noir-et-blanc et couleur. Pourtant, ces œuvres partagent beaucoup plus que le sujet : une règle interne pour glisser son regard. Si l’on commence à regarder à un endroit, on est happé dans une direction déterminée, et l’on se met à onduler dans la frondaison des cyprès ou à tourbillonner entre les étoiles. Ces paysages, qu’ils soient ou non en couleurs, s’imposent à nous munis d’une énergie interne bien plus considérable que la scène de cirque de Seurat, qui est pourtant la représentation d’un moment particulièrement instable et mouvant.

Le secret est dans les touches

Comment cela est-il possible ? Eh bien, le secret est dans la forme des touches. Une touche ronde n’indique aucune direction de mouvement, mais dès qu’elle s’allonge, elle dicte à notre regard de se mouvoir dans la direction de son allongement.

Rajoutons une touche. Deux touches rondes rapprochées se mettent à indiquer la direction de la droite qui les relie. Deux touches allongées rapprochées peuvent renforcer les mouvements suggérés si elles ont en gros la même direction, ou bien se contrecarrer si l’on a un changement brusque, comme dans les deux traits de la lettre majuscule « T ».

Rajoutons ensuite des touches abondamment, et réalisons un essaim circulaire, afin de n’indiquer au regard aucune direction à l’aide de la forme de cet essaim. Des directions privilégiées peuvent néanmoins surgir grâce au jeu des couleurs, comme dans le tableau de Seurat. Mais une véritable texture de mouvement latent peut être créée, même sans jouer sur les couleurs, en traçant des touches plus ou moins allongées, aux directions variant plus ou moins lentement. Notre regard y voit automatiquement des vagues, des ondulations, des tourbillons, il y reconnaît des sillons là où il n’y a en fait que de minces traits juxtaposés, comme dans les tableaux de Van Gogh.

La figure suivante est faite en combinant ces deux techniques, afin de permettre une comparaison plus facile entre nos manières de les interpréter visuellement :

Mathématisation : les champs de droites et leurs courbes intégrales

Cette capacité de notre cerveau à construire des lignes sinueuses à partir de petits traits droits a un pendant mathématique. Pour le comprendre, nous ferons plusieurs pas d’abstraction successifs.

De même qu’une petite touche est la réalisation concrète d’un point, une mince touche allongée est la réalisation concrète d’un segment passant par un point. Dans un tableau, il y a forcément un nombre fini de touches, mais si celles-ci sont serrées les unes contre les autres, comme dans les exemples précédents, on peut les voir comme la représentation concrète d’un « champ de segments ». Autrement dit, on imagine que chaque point d’une région du plan est traversé par un petit segment centré en ce point. Oublions enfin les longueurs des segments, en ne retenant que les droites qui les portent. On se retrouve avec un « champ de droites ». De plus, pour ne pas avoir la situation des deux segments formant la lettre « T », qui indique visuellement qu’un objet se trouve devant un autre, tel un cyprès devant un ciel étoilé, on supposera que ce champ de droites est continu, qu’il ne change pas brusquement de direction.

Eh bien, c’est alors un théorème que par chaque point de notre région plane passe une ligne courbe telle que, tout au long de son parcours, elle est tangente au champ de droites. Voici une illustration de ce comportement dans la figure suivante.

De plus, et c’est là le contenu d’un théorème très important dit « de Cauchy-Lipschitz », si le champ de droites est ce que l’on appelle en mathématiques « continûment différentiable », ce qui est un renforcement de la condition de continuité, alors cette ligne courbe passant par chaque point est unique. Dans ce cas, notre région se retrouve remplie de telles courbes, appelées les « courbes intégrales » du champ. Ce sont elles qui sautent aux yeux dans les deux œuvres précédentes de Vincent Van Gogh.

En fait, il est permis qu’en certains points l’on ne se donne pas du tout de droite. On parle alors de « point singulier » de notre champ. Ce sont les personnages principaux de notre récit, mais attendons encore un peu avant de les aborder franchement.

Reconstruire le champ à partir du bord

Imaginons maintenant que nous devons restaurer une peinture ou un dessin fait avec la technique précédente. Nous nous proposons de compléter sans variations brusques une petite portion de la surface à partir du motif le long de son bord.

Sans connaissances supplémentaires, nous n’avons aucun moyen de reconstituer l’original. Par exemple, ce n’est pas parce que l’on voit l’image de gauche, qu’au départ on avait celle de droite :

Il est tout à fait possible que l’on ait eu l’un des cas suivants :

Idem, la situation de gauche du dessin suivant ne provient pas non plus nécessairement du champ suivant, appelé « radial » :

Il est possible qu’elle provienne de l’une de ces situations-là :

En fait, il y a une infinité de possibilités de restauration, et c’est un jeu des plus instructifs que de se mettre à en trouver ! Mais, à la différence de la situation du premier exemple, on peut s’efforcer autant qu’on le désire, on fera toujours
apparaître des points singuliers. Ce sont des points particuliers qui attirent le regard, car plusieurs courbes intégrales y conduisent.

Mathématiquement, un point singulier d’un champ de droites est un point en lequel ce champ n’est pas défini. Il est bien sûr possible d’oublier artificiellement quelle droite est associée à un point. Mais on la retrouve alors sans peine grâce à la texture
des droites voisines, comme position limite de celles-ci lorsque l’on s’approche du point. Pour un véritable point singulier il n’existe pas de telle position limite. Par exemple, dans le cas du champ de droites radial, on obtient des limites différentes si on tend vers le point singulier le long de demi-droites différentes.

Poincaré découvrit pour quelle raison il était dans certains cas impossible de prolonger un champ de droites donné le long du bord sans introduire de points singuliers. Il a même introduit une mesure de cette impossibilité. Avant de clarifier cela, observons un troisième exemple. Pouvez-vous compléter le dessin suivant ?

Voici quelques solutions. Pour les représenter, nous avons choisi de dessiner suffisamment de courbes intégrales pour suggérer ce qui se passe, plutôt qu’une forêt de segments. Par la suite, nous choisirons plutôt cette deuxième convention de représentation :

Eh bien, apparaît ici une autre impossibilité : on ne peut pas compléter le dessin en faisant apparaître uniquement des points singuliers semblables à ceux de la première solution de l’exemple précédent, autour desquels le champ tournoie comme les rayons autour du soleil dans un dessin d’enfant.

L’indice d’un point singulier et celui d’un contour fermé

Les deux résultats d’impossibilité précédents proviennent d’un théorème démontré par Poincaré vers 1885, affirmant que si un contour fermé n’entoure qu’un nombre fini de points singuliers, alors leur « nombre » ne dépend que de la donnée du champ le long de ce contour [2].

Le point subtil dans cet énoncé est qu’il faut compter convenablement ces points, et que certains peuvent compter positivement, d’autres négativement, comme s’il s’agissait de particules chargées. Poincaré associa à chaque point singulier une sorte de poids ou de charge, son « indice », mesurant le comportement du champ de droites à son voisinage, et il prouva une formule des indices pour ces points singuliers, que nous allons examiner à présent.

L’idée est de compter un point singulier en regardant le comportement du champ de droites autour de lui, dans son voisinage immédiat. Plus précisément, définissons l’indice du point singulier comme étant le nombre de tours que fait le champ pendant que l’on tourne une fois autour du point singulier. Ce nombre de tours est compté positivement si le champ tourne dans le même sens que nous, négativement sinon. Voici quelques exemples :

Remarquons que dans le deuxième exemple, l’indice est négatif. Remarquons aussi que l’indice n’est pas entier dans le dernier exemple, mais demi-entier ! Cela provient du fait que, si on choisit un sens sur la droite fixée au point de départ et qu’on le transporte continûment le long du chemin entourant le point singulier, on revient avec le sens opposé [3] ! Le lecteur pourra se convaincre de ce fait en suivant dans la figure suivante l’évolution du sens du segment, à partir de midi, et en faisant une fois le tour du cadran dans le sens horaire.

Si de tels phénomènes de renversement de sens n’apparaissent pas, on dit que
le champ de droites est « orientable ». En fait, les champs considérés par Poincaré étaient tous orientables, comme on l’expliquera dans la dernière section.

Nous encourageons le lecteur à vérifier que dans le premier cas le champ fait bien un tour dans le même sens que celui de la rotation que l’on pratique autour du point singulier, mais que les deux sens sont opposés dans le deuxième exemple. Lorsque l’on change le sens de la rotation autour du point singulier, celui du champ de droites change aussi, ce pour quoi la définition de l’indice ne dépend pas du sens choisi !

Le nombre de tours peut être défini non seulement pour de petits chemins entourant chaque point singulier, mais pour n’importe quel contour (un chemin fermé), pourvu qu’il ne passe pas par les points singuliers. Poincaré appela ce nombre « l’indice du contour » [4]. Ce sera toujours un entier ou un demi-entier, selon que l’on revient avec le sens de départ ou non. Et, ce qui est la propriété-clé, cet indice ne varie pas si on déforme le contour continûment, tant qu’on ne passe pas par un point singulier [5].

C’est grâce à cette propriété que Poincaré démontra le théorème cité au début de cette section. Plus précisément, il démontra que
l’indice d’un contour qui ne passe par aucun point singulier est égal à la somme des indices des points singuliers qu’il renferme.

Il est instructif de vérifier ce théorème dans les dessins précédents.

Ce théorème montre que si on se donne le champ juste le long du contour, il y aura toujours le même nombre de points singuliers, indépendamment de la manière dont on l’aura étendu continûment à l’intérieur, pourvu que l’on compte chacun à l’aide de son indice. C’est aussi ce qui démontre l’impossibilité énoncée dans le dernier paragraphe de la section précédente. En effet, dans ce cas l’indice le long du bord étant strictement négatif (il vaut $- 1$), on ne peut pas compléter le champ en utilisant uniquement des points singuliers d’indice positif, comme ceux du premier exemple ...

Les points singuliers les plus simples

Nous venons de voir que les points singuliers sont parfois inévitables lorsque l’on veut compléter un champ donné uniquement au bord d’une région.

Mais ils sont aussi indispensables si l’on désire comprendre l’allure d’une courbe intégrale, l’une de ces vagues qui sautaient aux yeux dans les deux œuvres de Van Gogh. Il se peut, comme c’est le cas autour des étoiles ou de la lune, que l’on ait certaines qui se referment. Les autres, chez Van Gogh, s’arrêtent brusquement, car il a décidé de varier soudain de manière discontinue son champ de segments. Mais supposons que l’on examine une courbe qui ne s’arrête pas brusquement, et qui ne quitte pas la feuille de papier. Que peut-il lui arriver d’autre lorsqu’on la suit, soit dans un sens, soit dans l’autre ?

Eh bien, elle peut aboutir à un point singulier, soit directement, soit en spiralant, comme illustré dans certaines figures de la section précédente. Mais elle peut aussi spiraler ou bien vers une courbe fermée, que Poincaré appela un « cycle limite », ou bien vers une union de courbes joignant entre eux des points singuliers, ce que Poincaré appela un « polycycle ». C’est le contenu du théorème
dit « de Poincaré-Bendixson » [6] :

Nous comprenons ainsi que la connaissance de ce qui se passe au voisinage des points singuliers est essentielle pour la compréhension de l’allure globale des courbes intégrales du champ. Il s’avère qu’il y a une richesse infinie de comportements locaux, même du point de vue qualitatif, que les mathématiciens appellent « topologique ». Cela est illustré dans la figure suivante :

Mais Poincaré découvrit que si le champ était orientable et suffisamment général, il n’y avait que trois types de singularités d’un point de vue qualitatif [7], qu’il baptisa « cols, nœuds et foyers ». Voici une illustration des textures de courbes intégrales dont hérite le plan en leur voisinage :

On peut décrire de la manière suivante le comportement des courbes intégrales près de ces points singuliers :

  • au voisinage d’un col, quatre courbes intégrales passent par le point singulier, pendant que les autres l’évitent ; ces quatre courbes peuvent être regroupées en deux paires de courbes ayant la même droite tangente au point singulier ;
  • au voisinage d’un nœud, toutes les courbes intégrales passent par le point
    singulier, en étant tangentes entre elles, et cela à deux exceptions près ; ces deux courbes spéciales ont par contre la même tangente au point singulier ;
  • au voisinage d’un foyer, les courbes intégrales spiralent toutes autour du point singulier ; si on les suit dans le bon sens, elles tendent vers ce point, mais en l’entourant une infinité de fois avant d’y parvenir.

Le lecteur pourra reprendre les illustrations de cet article, et se convaincre qu’à de rares exceptions près, tous les points singuliers étaient qualitativement de ce type.

Il est difficile d’expliquer en restant à un niveau intuitif la définition précise de ces trois types de points singuliers. Nous le ferons avec des outils mathématiques plus sophistiqués dans la dernière section, en précisant aussi leurs propriétés essentielles. Auparavant, nous expliquerons brièvement les motivations de Poincaré. Mais nous ne résistons pas à l’envie de présenter un autre théorème qu’il démontra au cours de ces mêmes recherches.

Attention, à partir de maintenant on manipulera des mathématiques
plus sophistiquées !


Le théorème des indices sur une surface close

Dans son article de 1881 dans lequel il introduisit les cols, les nœuds et les foyers, Poincaré étudia seulement des champs de droites dans le plan. Mais, en 1885, il en étudia sur les surfaces quelconques. La notion d’indice d’un point singulier s’étend à ce contexte. Et là il démontra le magnifique théorème suivant : sur une surface refermée sur elle-même [8], tous les champs de direction ont le même nombre de singularités. Plus précisément, s’il n’y a qu’un nombre fini de points
singuliers, alors la somme de leurs indices est égale à la caractéristique d’Euler de la surface.

La caractéristique d’Euler d’une surface se calcule de la manière suivante. On imagine celle-ci décomposée en petits morceaux ayant tous, qualitativement, la forme d’un disque [9], comme une poterie éclatée et reconstituée par un archéologue minutieux. On compte alors le nombre de sommets $S$ en lesquels se rencontrent les morceaux, le nombre d’arcs frontières entre deux morceaux $A$ et enfin le nombre de morceaux $M$. Alors l’expression $S - A + M$ ne dépend pas de la décomposition choisie : il s’agit d’un invariant topologique de la surface, appelé sa « caractéristique d’Euler ».

Par exemple, la décomposition suivante d’une sphère montre que sa caractéristique d’Euler vaut $2$ [10] :

Le théorème de Poincaré montre qu’un champ de droites sur une sphère a nécessairement deux points singuliers, si on compte ceux-ci via leurs indices. On pourra vérifier que c’est bien le cas dans les exemples suivants. À côté de chaque point singulier, nous y avons inscrit son indice. Attention, le seul point singulier de l’exemple du milieu est d’un type que nous n’avions pas encore illustré. Nous recommandons au lecteur de se convaincre que son indice est bien $+ 2$ !

Comment Poincaré prouva-t-il son théorème ? Eh bien, en considérant une décomposition en morceaux qui est en position générale par rapport au champ de droites, puis en calculant de deux manières différentes la somme des indices des bords de chaque morceau. La condition de « position générale » signifie ici qu’aucun des sommets n’est un point singulier, que les arcs de la décomposition qui y aboutissent ne sont pas tangents en ces sommets au champ, et qu’il n’y a qu’un nombre fini de points de tangence entre les arcs et les courbes intégrales, au voisinage desquels on voit une situation de l’un des types suivants :

Ces deux situations semblent les mêmes, il suffit de tourner la feuille d’un demi-tour pour passer de l’une à l’autre. Mais elles deviennent différentes lorsque l’on regarde l’arc en tant que partie du pourtour d’un morceau précis de la décomposition : dans un cas, au voisinage du point de tangence la courbe intégrale est située à l’intérieur du morceau, et dans l’autre cas elle lui est extérieure.

Le point-clé est maintenant cette formule démontrée par Poincaré :
\[\mbox{Ind} = 1 + \frac{1}{2}(TI - TE).\]
Ici $\mbox{Ind}$ désigne l’indice du bord d’un morceau [11], $TI$ désigne le nombre de points de tangence sur ce bord pour lesquels la courbe intégrale associée est tangente intérieurement au morceau, et $TE$ désigne ceux pour lesquels on a une tangence externe. Par exemple, dans le cas d’un col, on a $TI = 0$, $TE = 4$, et on retrouve bien $\mbox{Ind} = -1$ :

Nous recommandons vivement au lecteur de prouver maintenant le théorème des indices avec la stratégie décrite plus haut, en admettant la formule précédente.

Les motivations de Poincaré

Mais pourquoi Poincaré s’intéressa-t-il aux champs de directions ? Ce n’était pas stimulé par les œuvres de Van Gogh, qui commençait tout juste à peindre. C’est pour comprendre des questions liées aux aux équations différentielles et à la mécanique. Voici comment débute son article de 1881 :

Une théorie complète des fonctions définies par les équations différentielles
serait d’une grande utilité dans un grand nombre de questions de Mathématiques
pures ou de Mécanique. Malheureusement, il est évident que dans la grande
généralité des cas qui se présentent
on ne peut intégrer ces équations à l’aide des fonctions déjà connues,
par exemple à l’aide des fonctions définies par les quadratures.
Si l’on voulait donc se restreindre aux
cas que l’on peut étudier avec des intégrales définies ou indéfinies,
le champ de nos
recherches serait singulièrement diminué, et l’immense majorité
des questions qui se
présentent dans les applications demeureraient insolubles.

Plus précisément, Poincaré étudie des équations différentielles de la forme suivante :
\[\frac{dx}{P(x,y)} = \frac{dy}{Q(x,y)}.\]
Ici $x,y$ sont des coordonnées cartésiennes dans le plan et $P(x,y), Q(x,y)$ désignent deux polynômes. Cette équation s’écrit de nos jours plus communément sous la forme $dy/dx = Q(x,y)/P(x,y)$. Cela signifie qu’on se donne en chaque point de coordonnées $(x,y)$ une droite de pente $Q(x,y)/P(x,y)$. Bref, on se donne un champ de droites dans le plan, ces droites dépendant rationnellement du point d’attache (car $Q(x,y)/P(x,y)$ est une « fraction rationnelle »). « Intégrer cette équation différentielle », dans l’interprétation courante au temps de Poincaré, signifie trouver des fonctions $y =f(x)$ telles que la dérivée $f'(x)= df/dx$ soit égale à $Q(x,f(x))/P(x,f(x))$.

Ce qu’affirme Poincaré, et qui était bien connu à l’époque, est qu’en général, sauf pour des équations différentielles très spéciales, il n’y a pas de formules explicites pour de telles solutions, qui existent pourtant par le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Il explique ensuite que, même si l’on ne sait pas calculer de manière détaillée, l’on peut dire néanmoins beaucoup de choses d’un point de vue « qualitatif », idée centrale de ces articles de Poincaré :

C’est naturellement par la partie qualitative qu’on doit aborder la théorie
de toute fonction et c’est pourquoi le problème qui se présente en premier lieu
est le suivant :

Construire les courbes définies par des équations différentielles.

C’est ici que se produit la transition du monde de l’analyse, où l’on cherche des expressions explicites pour
les solutions, au monde de la géométrie, où l’on s’interroge sur l’allure des courbes. Ces courbes sont les graphes des solutions, c’est-à-dire les lieux des points $(x, f(x))$, lorsque $y= f(x)$ désigne une solution. Eh bien, ces graphes sont des portions des courbes intégrales du champ de droites correspondant ! Plus précisément, des portions le long desquelles les droites ne sont jamais verticales. Ceci montre que les courbes
intégrales prises en entier sont des généralisations de la notion de solution
de l’équation différentielle
. Et plutôt que de demander à calculer explicitement
les solutions, Poincaré s’interroge sur leurs propriétés « qualitatives ».

Voici comment il explique l’importance des études qualitatives en Mathématiques :

D’ailleurs, cette étude qualitative aura par elle-même un intérêt du premier ordre.
Diverses questions fort importantes d’Analyse et de Mécanique peuvent
en effet s’y ramener. Prenons pour exemple le problème des trois corps :
ne peut-on pas se demander si l’un des corps restera toujours dans une
certaine région du ciel ou bien s’il pourra
s’éloigner indéfiniment ; si la distance de deux des corps
augmentera ou diminuera à l’infini, ou bien si elle restera comprise
entre certaines limites ? Ne peut-on pas se poser
mille questions de ce genre, qui seront toutes résolues quand
on saura construire qualitativement les trajectoires des trois corps ?

En 1881, Poincaré était au début de sa carrière. Mais ce souci de comprendre qualitativement la Mécanique, c’est-à-dire, en un sens très général, le devenir du Monde, fut l’obsession de toute sa vie. Regarder les champs de directions dans le plan n’était que le début d’un vaste plan de réflexion. À la même époque, il se mit à réfléchir à la même question dans des plans non plus réels, mais complexes. Puis, en dimensions plus grandes. Cela l’amena à s’interroger sur la signification du terme « qualitatif » en toutes dimensions, et à construire des outils de travail pour mesurer les aspects qualitatifs des objets géométriques de dimension arbitraire, associés ou non aux équations différentielles. Il fonda ainsi une nouvelle branche des mathématiques, la « topologie algébrique » [12].

Définition mathématique des cols, des nœuds et des foyers

Nous avons appris à reconnaître visuellement les cols, les nœuds et les foyers. Mais quelle est leur définition précise, si l’on se donne notre champ de droites par une équation différentielle de la forme $dx/ P(x,y) = dy / Q(x,y)$, comme chez Poincaré ?

En simplifiant dans l’équation précédente par le plus grand diviseur commun des polynômes $P$ et $Q$, on peut supposer que ceux-ci sont premiers entre eux. Cela implique qu’ils ne s’annulent pas simultanément le long de courbes, mais seulement en un nombre fini de points, qui sont précisément les points singuliers du champ de droites associé. Ce champ de droites est orientable, car il est possible de choisir un champ de vecteurs continu qui le détermine, c’est-à-dire un vecteur en chaque point, porté par la droite correspondante. [13]

Si on veut étudier la nature de l’un des points singuliers, on change de coordonnées par une translation, afin de se ramener au cas où la singularité est supposée à l’origine. On développe alors les deux polynômes suivant les puissances croissantes des variables, et on ne retient que les termes de degré $1$ :
\[ P(x,y) = \alpha x + \beta y + \cdots, \ \ Q(x,y) = \gamma x + \delta y + \cdots.\]
Comme l’annulation d’un tel polynôme de degré $1$ définit une ligne droite, on dit que l’on a « linéarisé » l’équation différentielle. Toujours dans l’esprit de la « linéarisation » du problème, on cherche alors les courbes intégrales
de l’équation linéarisée qui sont des droites passant par le point singulier. Un petit calcul montre que cela revient à résoudre l’équation du second degré suivante en la variable supplémentaire $t$ :
\[(t - \alpha)\cdot (t - \delta) - \beta \cdot \gamma =0.\]

En général (c’est-à-dire sauf si les coefficients des polynômes vérifient des relations algébriques spéciales), ses deux racines sont non nulles et distinctes. Le point singulier est alors soit un col, soit un nœud, soit un foyer. Plus précisément, on a :

  • un col lorsque les deux racines sont réelles et de signes opposés ;
  • un nœud lorsque les deux racines sont réelles et de même signe ;
  • un foyer lorsque les deux racines ne sont ni réelles, ni imaginaires pures.

Les mêmes considérations sont faisables si on part non pas d’une équation
différentielle à coefficients polynomiaux, mais seulement continûment différentiables.
Dans ce cas, au voisinage d’un point singulier isolé (plus rien n’empêche
qu’apparaissent des lignes de points singuliers, ou même des ensembles
plus sauvages, même fractals), on développe les coefficients à l’ordre $1$,
et l’on discute comme précédemment.

Pourquoi les points singuliers de type col, nœud ou foyer sont-ils spéciaux ? En quel sens sont-ils les plus simples ? Pourquoi les partager en exactement trois classes ? Voici leurs principales propriétés, qui répondent à ces questions :

  • Généricité : Si l’on part d’un point singulier quelconque,
    il existe des perturbations aussi petites que l’on veut du champ de droites (en un sens un peu technique à préciser), tel que le nouveau champ n’ait plus que des cols, des nœuds et des foyers.
  • Stabilité : Si l’on part d’un point singulier de ce type, pour une perturbation suffisamment petite du champ, on se retrouve avec un point singulier du même type.
  • Identité morphologique qualitative : Deux singularités de types différents ont des morphologies qualitatives différentes. Mais l’allure de la texture des courbes intégrales du champ au voisinage de deux points singuliers du même type est la même [14]. Même plus, on peut relier deux singularités de même type par un chemin continu de singularités de ce type.

C’est ce dernier point qui explique pourquoi on a bien trois noms : chacun représente un domaine de singularités d’un seul tenant, mais les trois domaines sont disjoints entre eux. Pour passer de l’un à l’autre, il faut passer par des singularités plus compliquées. Comprendre les hiérarchies de singularités plus compliquées, les textures de courbes intégrales à leur voisinage, et les métamorphoses de ces textures lorsque l’on modifie continûment le champ est le sujet d’étude de « la théorie des singularités » des champs de droites ou des équations différentielles. Mon récit, touchant ici à sa fin, peut être vu comme une introduction à ce domaine.

Pour aller plus loin :
  • La personne désirant comprendre comment le paysage des courbes intégrales des champs de droites (plus précisément, celles des « champs de vecteurs ») permet de penser à des questions de mécanique, plus généralement à l’évolution d’un système physique, pourra s’émerveiller avec le film « Chaos » d’Étienne Ghys, Jos Leys et Aurélien Alvarez, paru en 2013. C’est au chapitre 4 qu’est expliquée l’importance des points singuliers et des courbes intégrales des champs sur des surfaces dans des contextes de mécanique.
  • Une introduction visuelle remarquable à la manière géométrique de penser aux problèmes de mouvements avait été faite auparavant par Ralph Abraham et Chris Shaw dans leur livre « Dynamics, the Geometry of Behaviour », paru en plusieurs volumes entre 1982 et 1988.
  • Il existe d’excellents ouvrages d’introduction mathématique (à un niveau universitaire) aux équations différentielles dans le plan et entre autres à leurs aspects qualitatifs. Je pense entre autres au livre « Équations différentielles ordinaires » de Vladimir Arnold, paru pour la première fois en français en 1974 aux Éditions Mir, à « Équations différentielles et systèmes dynamiques » de John Hubbard et Beverly West, paru en français en 2013 chez Cassini et à « Des équations différentielles aux systèmes dynamiques » de Robert Roussarie et Jean Roux, paru en 2012 chez EDP Sciences.
Post-scriptum :

L’auteur tient à remercier chaleureusement Serge Cantat, Jérôme Germoni, Sébastien Peronno, Constantin Vernicos pour leur relecture très attentive et leurs suggestions pertinentes.

Article édité par Serge Cantat

Notes

[1Il s’agit de « Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle », 1 et 3, parus dans le Journal de mathématiques pures et appliquées, et accessibles ici et .

[2En fait, les champs de directions considérés par Poincaré étaient polynomiaux, ce qui implique qu’ils n’ont qu’un nombre fini de points singuliers. Nous reviendrons sur ce point dans la dernière section.

[3En fait, ceci ne se produit pas dans les exemples considérés par Poincaré, qui sont des champs de droites définis par des équations différentielles du type $dx/ P(x,y) = dy / Q(x,y)$ dans le plan. Je reviendrai sur ce point dans l’avant-dernière section.

[4Attention, le nombre de tours est subtil à définir avec une entière rigueur mathématique. Il se peut, en effet, que le champ de droites tourne d’abord dans un sens, puis dans l’autre, et cela plusieurs fois de suite, et même une infinité de fois, de manière indescriptible. Le nombre de tours est un bilan de ce qui s’est passé lorsqu’on a parcouru le chemin en entier. Mathématiquement parlant, si le champ varie de manière continûment différentiable, on peut le définir comme l’intégrale de l’angle de rotation infinitésimal, mesuré dans une unité convenable.

[5La raison de ce fait est que l’indice varie continûment avec le contour et qu’il est en même temps un entier. Mais la seule manière de faire varier continûment un entier est de le garder constant ...

[6On pourra consulter à ce sujet cet article d’Étienne Ghys.

[7Un point subtil est qu’il faut bien comprendre ici ce que veut dire « qualitatif ». En effet, si on regarde la situation simplement à transformations continues près, les nœuds et les foyers sont semblables, car dans les deux cas il s’agit d’un pinceau de courbes intégrales qui aboutissent au point singulier. Pour différencier ces deux cas, il faut regarder la situation à transformation continûment différentiable près, ce qui préserve le caractère spiralant ou non des courbes intégrales. En fait, même à transformations continûment différentiables près, ce que les mathématiciens appellent « de classe $C^1$ », il y a une infinité de sortes de cols, de nœuds ou de foyers. En effet, il y a des paramètres qui peuvent varier continûment, mais dont on ne se rend pas compte à l’œil nu.

[8Mathématiquement parlant, il s’agit d’une surface compacte et sans bord.

[9« Homéomorphes à des disques » diraient les mathématiciens.

[10Le lecteur pourra se convaincre que l’on obtient toujours $2$ à partir de n’importe quelle autre décomposition de la sphère. Il en trouvera quelques-unes particulièrement symétriques ici et .

[11Un point subtil est que cet indice est bien défini par l’hypothèse que chaque morceau a qualitativement la forme d’un disque.

[12On trouvera une introduction à cet aspect de son œuvre dans mon article sur la dualité de Poincaré.

[13Le plus simple est d’associer au point de coordonnées $(x,y)$ le vecteur $(P(x,y), Q(x,y))$, ce qui correspond à poser le système d’équations différentielles ordinaire $\frac{dx}{dt} = P(x,y), \frac{dy}{dt} = Q(x,y)$. Les solutions de ce système sont d’un point de vue géométrique les
courbes intégrales du champ de droites, mais cette fois-ci paramétrées de telle manière qu’en chaque point le vecteur vitesse du paramétrage soit le vecteur du champ en ce point.

[14Techniquement, on a un homéomorphisme suffisamment régulier pour préserver l’aspect spiralant qui envoie une texture sur l’autre.

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Cols, nœuds, foyers» — Images des Mathématiques, CNRS, 2013

Crédits image :

Image à la une - Les photos des œuvres d’art proviennent de Wikimedia Commons. On les trouve, dans l’ordre, aux adresses suivantes :
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Rain_Steam_and_Speed_the_Great_Western_Railway.jpg,
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Claude_Monet_003.jpg,
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Georges_Seurat_019.jpg,
http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AVanGogh-starry_night.jpg, http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AVan_Gogh_Starry_Night_Drawing.jpg.

Commentaire sur l'article

  • Cols, nœuds, foyers

    le 4 octobre 2013 à 23:53, par Quentin

    Et voici ce que peut donner la dynamique appliquée à la toile de Van Gogh.

    Répondre à ce message
    • Animation

      le 12 octobre 2013 à 06:16, par Patrick Popescu-Pampu

      L’auteur de l’animation a donc
      choisi un champ de vecteurs porté par le champ de droites de
      Van Gogh et a rendu visible son « flot », c’est-à-dire le mouvement
      des particules entraînées par ce mouvement fluide.
      Leurs trajectoires sont les « courbes intégrales » de mon exposé.
      Merci donc beaucoup pour ce lien qui illustre parfaitement mon
      article !

      Répondre à ce message
  • Cols, nœuds, foyers

    le 11 octobre 2013 à 21:35, par ROUX

    Poincaré : le col, le nœud et le foyer.

    Thom : le pli, la fronce, la queue d’aronde, la vague, le poil, le champignon et le papillon.

    C’est simplement beau.

    Peut-on imaginer que le deuxième se soit inspiré du premier pour la recherche de mots usuels à détourner avec tendresse ?

    Répondre à ce message
    • Thom et Poincaré

      le 12 octobre 2013 à 06:23, par Patrick Popescu-Pampu

      Bonjour ! L’oeuvre de Thom a été profondément inspirée par celle de
      Poincaré, d’abord en topologie, puis en théorie des singularités. Vous avez raison, leur manière de choisir les noms étaient semblables, ils étaient conscients de l’importance d’un choix poétique des noms, qui rende d’une part ces objets agréables à fréquenter, et qui communique une partie de notre perception sur eux. Mais s’en est-il inspiré ? Probablement qu’ils étaient simplement deux esprits-frères ...

      Répondre à ce message
  • Cols, nœuds, foyers

    le 13 janvier 2014 à 18:19, par Marie Lhuissier

    Merci pour ce bel article, très bien construit, très bien écrit, et magnifiquement illustré. C’est toujours un plaisir de vous lire :-)

    Répondre à ce message

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