Comment atteindre 61 689 600 ?

Le 7 février 2015  - Ecrit par  Benoît Rittaud Voir les commentaires (8)

Voici une question sur laquelle les lecteurs auront peut-être des lumières à m’apporter.

C’est sans doute ne pas s’avancer beaucoup que de supposer que personne ou presque n’a jamais entendu parler de Jean Leurechon. (C’est d’ailleurs à mon avis fort dommage, mais ce n’est pas le sujet.) À ce jésuite est attribué un livre intitulé Récréation mathématicque , initialement paru en 1624 puis réédité et traduit tout au long du XVIIe siècle (on le trouve facilement sur internet, par exemple ici).

Si Albrecht Heeffer (université de Ghent), qui prépare une nouvelle édition en anglais de ce livre, lit ces quelques lignes, il est probable qu’il s’étrangle car, selon lui, c’est improprement que la Récréation est attribuée à Leurechon : son véritable auteur serait Jean Appier Hanzelet (tout aussi inconnu d’ailleurs, si ce n’est plus). Il reste que les considérations de la Récréation mathématicque qui vont nous concerner s’inspirent très largement de celles d’un ouvrage de deux ans antérieur, les Selectæ propositiones , qui est bel et bien de Leurechon. (En tout état de cause, il serait anachronique de parler de plagiat, la notion de propriété intellectuelle au XVIIe siècle ayant peu à voir avec la nôtre.) Va pour Leurechon-Hanzelet, et n’en parlons plus.

Dans un passage de la Récréation , Leurechon-Hanzelet s’amuse(nt ?) avec des modèles démographiques fondés sur des suites géométriques, c’est-à-dire dans lesquels le nombre d’individus de chaque nouvelle génération s’obtient en multipliant par un facteur r (constant) le nombre d’individus de la génération précédente. Étant donné que les suites géométriques ont pour propriété de croître très vite, c’est un jeu amusant que de remplir la Terre avec des grains de moutarde ou des cochons en seulement quelques années.

Ce point de vue est extrêmement intéressant et moderne à beaucoup d’égards (je vous en reparlerai peut-être une prochaine fois). Mais il y a tout de même un petit défaut dans le texte : beaucoup des calculs sont incorrects. C’est vrai que pour nous autres, avec nos logiciels de calcul, la critique est facile : essayez donc de calculer à la main 3012, de diviser le résultat par 503, et enfin de diviser par 4… (Vous trouvez 1 062 882 000 000 ? Alors bravo, je m’incline.)

Traquer les erreurs n’a pas pour but de mettre une mauvaise note à Leurechon-Hanzelet, mais de comprendre les détails dans la conception du texte. Par exemple, il arrive qu’un calcul soit juste et que le résultat soit mal recopié (c’est le cas pour la valeur 1 060 882 000 000 qui apparaît correctement dans les Selectæ mais est altérée en 10 608 882 000 000 dans la Récréation ). On peut en revanche démontrer la présence d’une vraie faute de calcul lorsqu’on observe qu’une valeur incorrecte est réutilisée dans des calculs ultérieurs.

Bref, il s’agit de faire comme un enseignant qui, constatant une faute dans la copie d’un élève, tente d’en cerner l’origine. Et il y a au moins un cas dans la Récréation pour lequel je ne comprends vraiment pas ce qui a pu se passer. L’énoncé concerné est on ne peut plus simple (pour ceux qui veulent vérifier, il est en page 114 du lien donné ci-dessus) : on part de 100 brebis, chaque brebis en produit une autre chaque année, et l’on se demande combien il y en aura au bout de 16 ans (les brebis ne meurent pas). Il s’agit donc de calculer 100×216, ce qui donne 6 553 600.

Problème : le texte donne, lui, la valeur 61 689 600, qui est tout de même fort différente. D’où la question : comment se tromper dans le calcul de 100×216 de sorte à obtenir 61 689 600 ?

Pour calculer 216, le plus simple est d’effectuer 256×256, car 28×28 = 216 et 28 = 256. (Des variantes sont bien entendu possibles, par exemple 32×32×32×32, ou même une multiplication par 2 répétée seize fois.) Pourtant, en posant le calcul, on ne voit pas quel oubli de retenue, ou quelle mauvaise utilisation des tables de multiplication, pourrait produire une telle erreur — le plus étrange étant que le résultat soit faux d’un facteur dix.

La décomposition en facteurs premiers de 616 896 est 26×34×119. Le gros exposant du 2 suggère une erreur relativement tardive dans le calcul, et ne portant que sur les premiers chiffres significatifs. L’exposant du 3 a l’air un peu trop gros pour être honnête, mais peut-être doit-on appliquer la présomption d’innocence et supposer qu’il n’est là que par hasard. Quant au 119, il donne l’impression d’être venu faire un petit coucou juste comme ça.

Des idées ?

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Pour citer cet article :

Benoît Rittaud — «Comment atteindre 61 689 600 ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

  • Comment atteindre 61 689 600 ?

    le 9 février 2015 à 21:17, par Christophe Boilley

    S’il nous semble plus logique de calculer 2¹⁶ sous la forme 2⁸×2⁸ (par habitude de l’algorithme de l’exponentiation rapide), il est peut-être plus naturel de poser 2¹⁶ = 2¹⁰×2⁶ = 1024×64.

    En posant la multiplication avec le plus petit facteur en dessous, on peut faire une première erreur avec un oubli du 0 des centaines dans 1024×4 et obtenir 496 au lieu de 4096.

    Dans le calcul de 1024×6, le doublement du 2 sur les dizaines peut mener à la récupération du chiffre précédent, d’où un résultat 6164 au lieu de 6144.

    Enfin, une erreur de décalage du deuxième produit peut mener à l’addition 496+616400 = 616896.

    Ça fait beaucoup d’erreurs pour un calcul aussi simple, mais c’est à mon avis la manière la plus naturelle d’obtenir le résultat. La décomposition sur les chiffres de 1024 aboutirait plus difficilement à un deuxième chiffre inférieur à 4.

    L’analyse de l’exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers pourrait mener à une datation de l’erreur si les opérations effectuées étaient des doublements successifs, mais j’aurais alors tendance à penser que l’exposant est d’autant plus grand que l’erreur est précoce.

    L’exposant de 3 est effectivement rare. La densité asymptotique des entiers sans facteur à une puissance quatrième vaut environ 92 %, mais si je ne me trompe, elle s’élève à plus de 98,5 % si on ne se préoccupe que des facteurs impairs. De fait, il s’agit essentiellement de la densité des entiers qui ne sont pas multiples de 81.

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  • Comment atteindre 61 689 600 ?

    le 9 février 2015 à 22:55, par Benoît Rittaud

    Du travail de pro ! Merci beaucoup, c’est très convaincant ! En partant sur 2^8x2^8, je n’étais effectivement parvenu à rien. Vous venez de gagner un remerciement en introduction d’un travail que je prépare.

    Pouvoir expliquer l’erreur par des fautes de calcul de débutant (plutôt que par des erreurs de transcription de la part de l’imprimeur, par exemple) donne une indication sur la manière dont Leurechon travaillait. On sait en effet que les Selectæ propositiones ont été écrites en collaboration avec des étudiants. Il devient donc raisonnable de penser que Leurechon leur a délégué les calculs.
    Si vous êtes partant pour d’autres défis du même genre, voici quelques autres calculs faux des Selectæ et de la Récréation, dont je pensais au départ pour certains qu’ils étaient de simples erreur de recopie (maintenant, vu vos idées pour 61 689 600, je me méfie…) :

    • 2 x (8^8) = 33 474 272 (au lieu de 33 554 432) ;
    • 40^8 = 3 973 600 000 000 (au lieu de 6 553 600 000 000) ;
    • 30^12 = 530 44 000 000 000 000 (au lieu de 531 441 000 000 000 000).

    Chez Leurechon, il y a un paquet d’autres erreurs. Pour quelqu’un qui voudrait les analyser toutes, il faudrait presque concevoir un logiciel spécifique, qui prendrait en entrée le calcul à faire et un résultat faux, et qui proposerait une origine possible…

    Un dernier pour la route : comment atteindre 1 091 296 (au lieu de 1 048 576) en calculant 2^20 ? Cette fois, c’est Linné qui s’est trompé !

    Encore bravo, et merci.

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    • Comment atteindre 61 689 600 ?

      le 11 février 2015 à 14:28, par Christophe Boilley

      Pour 30^12, on peut suspecter l’oubli d’une retenue pour le troisième chiffre, par exemple dans la multiplication de 6561 par 81 (on est trop content de voir 4+6 dans la colonne des milliers). S’il y a une erreur dans le groupe de trois chiffres suivants (440 ou 441 ?) elle est probablement due à la recopie.

      La reconstruction de l’erreur sur 2^20 me semble moins aisée. Si on part du carré de 1024, la pose de la multiplication laisse peu place à la divagation a priori, sauf si on néglige l’alignement des chiffres. En collant les trois produits partiels 4096, 2048 et 1024 à droite et en tentant de compter en diagonale, on peut imaginer sortir 96, puis 4+8=12, et devant la profusion de chiffres 4, additionner au petit bonheur la chance en réutilisant la retenue pour obtenir ce mystérieux chiffre 9. Je ne suis pas très convaincu.

      Je n’ai pas d’idée pour l’instant sur les deux autres calculs, mais je remarque que par deux fois 67 apparait comme facteur premier d’un produit erroné. Faudrait-il y voir une sorte d’attracteur ?

      Enfin, en programmation, il est facile de trouver toutes les solutions d’un célèbre jeu télévisé sur les chiffres. Il me faudrait un peu de documentation sur la didactique du calcul pour construire de même un simulateur de « Le compte est mauvais ».

      Merci à vous pour ce petit moment de détente entre deux paquets de copies. Une bonne partie de mon travail consiste effectivement à déconstruire les erreurs de mes élèves.

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      • Comment atteindre 61 689 600 ?

        le 14 février 2015 à 10:07, par Benoît Rittaud

        Merci encore. « Le compte est mauvais », c’est un nom excellent pour un programme ;)
        (Moi, j’avais pensé à « Errare humanum est » : c’est plus international...) En tout cas, ça ferait un joli travail pluridisciplinaire didactique/informatique. S’il y a des amateurs...

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  • Comment atteindre 61 689 600 ?

    le 10 février 2015 à 14:04, par Fontanabelly

    Elle peut vous aider ?
    http://lapantheone.fr/kosmanek-edith-edwige/

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  • Comment atteindre 61 689 600 ?

    le 13 février 2015 à 22:28, par Rémi Peyre

    Jolie petite énigme ! J’y réfléchirai ;-)

    Par contre, 119 n’est pas premier : c’est 7 × 17... :-P

    Bonne soirée,

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    • Comment atteindre 61 689 600 ?

      le 14 février 2015 à 10:11, par Benoît Rittaud

      Il se passe des choses bizarres sur IdM. Le site a été en rideau le week-end dernier, et il semble qu’une fois rétabli, c’est l’ancienne version de cet article qui soit revenue, celle avec la faute que vous mentionnez (et qui avait été corrigée). Il semble y avoir eu aussi du retard à l’allumage pour la publication des commentaires.
      119 n’est pas premier, en effet. Dans le genre, il y avait déjà 57, connu comme le « nombre premier de Grothendieck ».

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      • Comment atteindre 61 689 600 ?

        le 14 février 2015 à 11:09, par Rémi Peyre

        Merci pour votre réponse ! Une autre coquille, dont je ne sais pas si elle avait été corrigée également, est ce n’est pas à la page 114 du livre qu’est évoquée la question des brebis, mais à la page 196 ;-)

        Cordialement,

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