Comment choisir 1.000 parmi 100.000

De la hiérarchie militaire chez les Tatars

Le 12 mai 2010  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu Voir les commentaires

Comment choisir 1.000 éléments dans un ensemble de 100.000 ? Nous présentons ici la méthode utilisée par certains Tatars, telle qu’elle est rapportée par Marco Polo.

Supposons que l’on ait un tas de cailloux devant nous,
et que l’on doive en extraire 17. Nous pouvons
les prendre un par un et les compter,
jusqu’à ce qu’on arrive à 17. La même méthode
peut bien sûr être utilisée pour en extraire 239 d’un tas assez gros,
ou bien 1.000. Mais plus on doit en choisir, plus la tache
est rébarbative, et plus on a de chances de se tromper.

Cette tache peut être grandement facilitée si nous
devons extraire un certain nombre d’éléments non pas
d’un ensemble brut, sans aucune structure interne, mais
d’un ensemble préalablement structuré. Par exemple,
on peut d’abord faire des tas de 10 cailloux, que l’on peut
ensuite regrouper 10 par 10, et ainsi de suite. Supposons
maintenant que l’on doive choisir 239 cailloux.
On peut alors choisir 2 gros tas de 100 cailloux chacun,
puis 3 tas de 10 cailloux et enfin 9 cailloux dans un tas de
10 restant. Cela correspond bien sûr à une manière
de structurer notre ensemble de cailloux selon la numération
décimale.

Mais la même manière hiérarchique de structurer un ensemble
peut être utilisée différemment pour en extraire un certain
nombre d’éléments. Je voudrais présenter ici
la méthode décrite par
Marco Polo en
1298 dans le chapitre LXX
Ci devise du Dieu des Tartares et de leur loi [1] du récit
Le devisement du monde
 [2] de son périple en Orient.
Voici d’abord l’organisation décimale de l’armée tatare
(appelée tartare par Marco Polo) sous
Kubilaï Khan :

Ils sont ordrés en cette manière que je vous deviserai.
Sachez que quand un seigneur des Tartares va en guerre,
il prend avec lui cent mille hommes à cheval ; il ordonne son affaire
ainsi comme vous ouïrez : il met un chef à chaque dizaine, un à
chaque centaine, un à chaque millier et un tous les dix mille, de
sorte qu’il n’a à se consulter que avec dix hommes ; ceux qui
sont sire de dix mille hommes n’ont à se consulter que avec
dix autres ; et celui qui est seigneur de mille n’a affaire qu’avec
dix hommes ; et aussi celui qui est seigneur d’une centaine
n’a affaire qu’avec dix. C’est ainsi comme vous avez ouï que chacun
répond à son chef. Dix chefs de dix répondent à un chef de cent,
dix chefs de cent répondent à un chef de mille, et dix chefs de mille
répondent à un chef de dix mille ; et en cette manière chaque
homme ou capitaine, sans autre souci ni fatigue, a seulement
à trouver dix hommes, en si belle ordonnance que c’en est
merveille.

Il n’est pas clair pour moi si chacun des chefs
fait partie du sous-ensemble de soldats
qu’il dirige ou non. Mais cela n’a pas d’importance pour
ce qui nous intéresse, qui est la méthode d’utiliser
cette structure hiérarchique pour
faire le choix énoncé dans le titre de ce billet :

Et quand le seigneur de cent mille veut pour quelque raison
mander une compagnie en quelque direction, il commande à
un chef de dix mille qu’il lui donne mille hommes ; et le chef de
dix mille commande aux chefs de mille de lui donner chacun
sa quote-part, qui est de cent hommes ; et chaque chef de mille
aux chefs de cent hommes, et chaque chef de cent hommes
commande aux chefs de dix que chacun donne un homme,
d’où l’on arrive aux mille hommes. [...] Cette pratique est
maintenue en si bon ordre que tous sont également envoyés
à leur tour et que chacun sait quand il doit être choisi à son
tour. Davantage, chacun obéit aussitôt lorsqu’il a été choisi ;
chacun obéit à ce qui lui est commandé plus que n’importe
quels autres gens du monde.

Tout cela est bien sûr de la théorie. Celle-ci est inapplicable
pour organiser durablement des armées immenses si
le peuple dont sont extraites ces armées n’est pas convaincu
de l’importance du respect rigide des commandements.
C’est un problème d’histoire sur lequel je ne m’avancerai pas,
de comprendre
comment les Tatars dont il est question ici sont devenus
un tel peuple. À ce sujet, Marco Polo écrivait ceci juste avant
les descriptions précédentes :

Ce sont les gens au monde qui plus durement travaillent et
supportent fatigue, font la plus faible dépense et se contentent
d’un petit manger ; et voilà pourquoi mieux sont que d’autres
pour conquérir cités, terres et royaumes.

Voici l’application de l’algorithme tatare
au choix de 239 soldats
parmi 1.000, que j’ai rédigée en essayant d’imiter le style
rythmé de Marco Polo, qui me fait penser au piétinement des
chevaux se mettant en ordre avant la charge :

Quand un chef de mille veut pour quelque raison mander
un détachement de deux cent trente-neuf cavaliers
en quelque direction, il commande aux chefs de
cent hommes que chacun commande aux
chefs de dix hommes de donner deux hommes ;
et qu’ils commandent de plus aux trois premiers chefs
de dix hommes de donner un homme ;
et aux neufs premiers chefs de cent hommes il
ordonne de plus que chacun lui donne un homme.

Ou si, encore plus simplement, il faut choisir 17 cavaliers parmi
100 :

Lorsqu’un chef de cent cavaliers veut mander 17 cavaliers
en quelque mission,
il commande aux chefs de 10 hommes
de lui envoyer chacun un homme, et aux sept premiers
d’entre eux de lui en envoyer chacun un deuxième.

Et voici une illustration de cette manière de choisir :

JPEG - 16.7 ko
Un choix à la tatare

Il serait intéressant de comprendre pourquoi c’est l’algorithme
précédent, faisant chercher
des soldats dans les groupes hiérarchiques les plus bas,
qui a été privilégié par les Tatars, plutôt que
celui expliqué à l’aide de cailloux,
consistant à regrouper des groupes entiers d’un
niveau hiérarchique immédiatement inférieur.
J’y vois deux avantages. Premièrement,
chacun des groupes hiérarchiques
les plus bas se trouve en général peu diminué, et il lui est plus
facile d’aller se reconstituer dans une réserve d’hommes. Deuxièmement,
si ces groupes les plus bas sont disposés à des endroits
différents, cela a l’avantage de ne laisser aucun de ces endroits
sans surveillance.
J’attends les avis des spécialistes d’histoire de
l’organisation militaire ou de la société tatare !

L’extension de l’écriture décimale en Europe au
Moyen-Âge est-elle due en partie à la volonté d’imiter
des structures de l’organisation tatare à l’époque où ces derniers
avaient constitué le plus grand empire jamais présent
sur terre ? En tout cas, ce ne serait pas la dernière fois
que l’ébahissement devant des résultats obtenus par des
empires asiatiques allaient provoquer des changements de structure
dans le reste du monde...

Notes

[1Les intertitres sont
dus aux copistes.

[2J’utilise la version française
de Louis Hambis, publiée aux Éditions
Klincksieck, Paris, 1955, et rééditée aux Éditions
La Découverte & Syros, Paris, 1998.

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Pour citer cet article :

Patrick Popescu-Pampu — «Comment choisir 1.000 parmi 100.000» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

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