Comment distinguer une raquette de tennis d’un stylo à bille

Pista roja El 6 febrero 2020  - Escrito por  Pavao Mardešić, Khalid Hamraoui, Léo Van Damme, Dominique Sugny Ver los comentarios (8)

Si on lance une raquette et un stylo en l’air, ils n’effectuent pas le même mouvement de rotation ? Pourquoi ?

L’expérience: Raquette de tennis versus stylo à bille

Considérons une expérience que chaque joueur de tennis a déjà réalisée. On tient pour cela une raquette de tennis par le manche, le tamis vers le haut. On lance la raquette en l’air pour que le manche fasse un tour complet avant de le rattraper. On observe alors, une fois la raquette rattrapée, que les deux faces du tamis ont été échangées. Cela signifie que la raquette n’a pas effectué un mouvement de rotation simple autour de son axe, mais a réalisé un demi-tour supplémentaire autour de cet axe.

Une représentation schématique de ce mouvement est donnée sur la Figure 1.

Figure 1. Représentation schématique de l’effet de la raquette de tennis. Après un mouvement de rotation complet du manche de la raquette, on observe un retournement du tamis de la raquette. La face blanche du tamis initialement vers le haut est orientée vers le bas à la fin du mouvement.

Une vidéo est également disponible ci-dessous.

Cet effet géométrique est appelé effet de la raquette de tennis. Il a été décrit par différents articles scientifiques (MSA91, Vandamme : 2017 et Cushman). Cet effet est également connu sous le nom d’effet Djanibekov, du nom de l’astronaute russe qui l’a réalisé en 1985 avec un écrou en apesanteur. L’apesanteur rend l’effet spectaculaire comme on peut le voir sur cette vidéo.

Prenons désormais un stylo à bille avec un bouchon possédant une attache. L’attache permet de briser la symétrie du stylo et de définir sans ambiguïté sa position et son orientation. Un stylo à bille est représenté sur la Figure 2.

Figure 2. Définition des axes d’inertie principaux pour une raquette de tennis et un stylo bille.

Tenons le stylo par la pointe
horizontalement avec l’attache vers la gauche. Réalisons la même expérience. Après une rotation complète du stylo, l’attache est cette fois-ci toujours orientée vers la gauche, ce qui signifie que le stylo n’a pas effectué le même mouvement que la raquette de tennis.

Une autre vidéo illustre ce mouvement pour le stylo.

L’objectif de cet article sera d’expliquer cette différence. Mais pourquoi étudier une telle propriété? Les raisons sont multiples. L’étude de la rotation des corps rigides est un des plus vieux sujets de mécanique classique. Un chapitre lui est consacré dans tous les ouvrages de référence de ce domaine (Golstein50, Landau et Arnold). De manière surprenante, l’effet de la raquette de tennis n’est décrit dans aucun de ces livres. Il fait pourtant l’objet de la page de couverture d’un autre livre de référence sur les systèmes mécaniques (Cushman), mais son analyse est très succincte. C’est précisément cette couverture de livre qui a motivé notre recherche.

Dans le livre de Cushman, la robustesse de cet effet par rapport à la forme du corps rigide considérée ou par rapport aux conditions initiales utilisées n’est pas étudiée. Il est par exemple intéressant de se demander pourquoi cet effet n’est pas observé avec un stylo à bille. La compréhension
plus détaillée que nous avons obtenue de ce phénomène a permis de répondre à ce problème et de proposer de nouvelles applications surprenantes qui sont mentionnées dans le dernier paragraphe de cet article.

Équations d’Euler

Les considérations de cette section s’appliquent aussi bien à la raquette
de tennis qu’au stylo à bille. En fait, on pourrait considérer la rotation libre (la rotation est dite libre si elle n’est affectée par aucune
force extérieure) d’un corps asymétrique rigide quelconque.

Tout corps (asymétrique) rigide possède trois axes d’inertie principaux
orthogonaux passant par son centre de gravité.
Lors d’une rotation autour d’un axe donné, le corps présente une résistance appelée inertie et notée $I$. Cette quantité joue le même rôle pour les mouvements de rotation que la masse pour ceux de translation. Ce paramètre, qui a la dimension d’une masse par une longueur au carré, est donné par la répartition de la masse d’un solide par rapport à un axe donné. Il peut donc être défini par rapport aux trois axes d’inertie, menant aux trois inerties $I_x$, $I_y$ et $I_z$. Les axes principaux et les moments d’inertie des axes principaux correspondent aux vecteurs propres et valeurs propres d’une matrice symétrique (la matrice du tenseur d’inertie). Ils déterminent le moment par rapport à n’importe quel axe.

On note $\mathbf{z}$ l’axe principal autour duquel l’inertie $I_z$ est la plus petite, $\mathbf{x}$ celui pour lequel l’inertie $I_x$ est la plus grande, et $\mathbf{y}$ l’axe intermédiaire d’inertie $I_y$ orthogonal à $\mathbf{x}$ et $\mathbf{z}$. Pour une raquette de tennis, l’axe $\mathbf{z}$ coïncide avec l’axe du manche, $\mathbf{x}$ est l’axe orthogonal au tamis et l’axe intermédiaire $\mathbf{y}$ est l’axe dans le plan du tamis orthogonal au manche $\mathbf{z}$. La raquette est un corps très asymétrique vérifiant $I_z\ll I_y\ll I_x$.

Pour un stylo à bille, l’axe $\mathbf{z}$ est le long du stylo, l’axe $\mathbf{y}$ dans la direction de l’attache et l’axe $\mathbf{x}$ est perpendiculaire aux autres axes. A cause de la légèreté de l’attache, on a $I_z\ll I_y\lesssim I_x$. L’attache du bouchon crée une légère dissymétrie entre les axes $\mathbf{I}_x$ et $\mathbf{I}_y$. Les axes d’inertie sont représentés sur la Figure 2pour les deux corps rigides.

La position d’un corps rigide dans l’espace est décrite par la position du repère $(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})$ attaché au corps et défini par ses axes principaux par rapport à un repère fixe $(\mathbf{X}, \mathbf{Y}, \mathbf{Z})$ de l’espace ambiant.

La dynamique d’un corps en rotation est décrite par le mouvement de son vecteur moment cinétique $\mathbf{M}$. Rappelons qu’un corps isolé conserve non seulement sa quantité de mouvement ($m\vec{v}$, le produit de sa masse par son vecteur vitesse, dont la conservation correspond à la loi d’inertie) et son énergie ($\frac{1}{2}mv^2$), mais aussi son moment cinétique qui est un vecteur faisant
intervenir à la fois la vitesse de rotation et la répartition de la masse.

En l’absence de force extérieure exercée sur le solide, ce vecteur $\mathbf{M}$ est conservé. Toute quantité, qui comme ce vecteur, reste constant au
cours du mouvement est appelée constante du mouvement.

Dans le repère du corps en mouvement, le moment cinétique s’écrit sous la forme:
\[ \mathbf{M}=M_x \mathbf{x}+M_y \mathbf{y}+M_z \mathbf{z} \]
Il peut être relié au vecteur vitesse angulaire $\mathbf{\Omega}$, dont les coordonnées décrivent les vitesses de rotation du solide autour de chaque axe d’inertie. Si l’on note:
\[ \mathbf{\Omega}=\Omega_x\mathbf{x}+\Omega_y\mathbf{y}+\Omega_z\mathbf{z} \]
alors chacune des coordonnées du moment cinétique s’obtient en multipliant la coordonnée correspondante du vecteur vitesse angulaire par le moment d’inertie de l’axe considéré. On obtient donc :
\[ M_x=I_x\Omega_x,~M_y=I_y\Omega_y,~M_z=I_z\Omega_z. \]

Pour étudier précisément l’effet de la raquette de tennis, nous allons considérer l’évolution dans le temps des coordonnées $M_x$, $M_y$ et $M_z$ du moment cinétique. Rappelons que si le moment cinétique est une constante du mouvement, ce n’est pas le cas de ses coordonnées puisque les axes, liés au corps, tournent. L’évolution de ces coordonnées est déterminée par un système de trois équations différentielles appelées équations d’Euler, qui ne sera pas étudié dans cet article. Cette dynamique peut être décrite de manière géométrique en introduisant deux constantes du mouvement, l’énergie $E$ du système et la norme $M$ du moment cinétique :

\[ \left \{ \begin{array} {lcl} 2E&=&\frac{M_x^2}{I_x}+\frac{M_y^2}{I_y}+\frac{M_z^2}{I_z} \\ M^2&=&M_x^2+M_y^2+M_z^2 \end{array} \right . \]

La première des équations définit un ellipsoïde tandis que la seconde décrit une sphère. Un ellipsoïde est une boule que l’on a étirée différemment dans trois directions perpendiculaires. Il s’agit de la version tridimensionnelle d’une ellipse.
Lorsque les coordonnées $(M_x,M_y,M_z)$ varient dans le temps, le point correspondant est confiné à l’intersection de ces deux surfaces. Le choix de la trajectoire dépend des conditions initiales, i.e. l’énergie $E$ et le moment $M$. Un exemple est représenté sur la Figure 3.

Figure 3. Intersection dans le repère lié au corps rigide de la sphère (gris clair) et de l’ellipsoïde (gris foncé) décrivant la trajectoire du moment cinétique.

Le point de coordonnées $(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})$ décrit une trajectoire fermée, certaines tournent autour de l’axe $\mathbf{x}$, les autres autour de l’axe $\mathbf{z}$. Les trajectoires intermédiaires qui séparent ces deux régimes correspondent au cas de tangence entre la sphère et l’ellipsoïde. Elles s’appellent séparatrices. Ces trajectoires exceptionnelles ne sont pas périodiques.
Fixons désormais la norme $M$ et faisons varier l’énergie $E$ du système. Une trajectoire différente sera obtenue pour chaque valeur de l’énergie. L’ensemble de celles-ci, appelé le portrait de phase du moment cinétique, est représenté sur la Figure 4.

Figure 4. Portrait de phase du moment cinétique : Les lignes rouge et bleu représentent respectivement les trajectoires tournantes et oscillantes alors que la ligne pointillée correspond à la séparatrice.

Trois points singuliers sont présents sur la Figure 4 (il y a par symétrie un total de 6 points singuliers). Ils correspondent aux trois cas limites de trajectoires où le vecteur moment cinétique est exactement le long des axes $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$ et $\mathbf{z}$. Ces trois points sont des points fixes, c’est-à-dire que si le moment cinétique coïncide avec un de ces points alors il ne présentera aucun mouvement.

Ces points ont par contre des propriétés très différentes. Les points appartenant aux axes $\mathbf{x}$ et $\mathbf{z}$ sont dits stables, alors que le troisième est dit instable. Stable signifie ici qu’une petite perturbation du système ne modifiera que peu sa dynamique et que la nouvelle trajectoire restera proche de la trajectoire initiale. Plus précisément, la trajectoire correspondante sera une toute petite courbe autour de ce point fixe. Cette propriété peut être vérifiée expérimentalement en considérant des rotations de la raquette autour de son manche ou autour de l’axe orthogonal à son tamis. Dans ces deux cas, aucun phénomène inattendu n’est observé.
Des changements profonds peuvent apparaître dans le cas d’une dynamique instable. En particulier, l’effet de la raquette de tennis peut être vu comme une résultante du caractère instable de l’axe intermédiaire. Plus précisément, cet effet correspond à une trajectoire proche de la séparatrice allant d’un point fixe instable à l’autre. Le vecteur moment cinétique initialement dirigé le long des $\mathbf{y}$ positifs pointera dans la direction opposée à la fin du mouvement. Cette dynamique explique le retournement du tamis de la raquette.

Effet de la raquette de tennis

Dans un article récent (Vandamme : 2017), nous décrivons rigoureusement l’effet de la raquette de tennis. Les mathématiques utilisées pour résoudre ce problème sont des mathématiques classiques. Elles relèvent des systèmes dynamiques. Ce sont des systèmes dont l’évolution temporelle est régie par des systèmes d’équations différentielles (c’est-à-dire un système reliant des fonctions et leurs dérivées). Plus spécifiquement, notre problème, connu en mathématiques sous le nom de toupie d’Euler, se situe dans la classe des systèmes intégrables, c’est-à-dire que l’on peut décrire leur dynamique à partir de leurs constantes du mouvement.
L’effet de la raquette de tennis peut être donné, du fait de la complexité des calculs, par une formule approchée que nous présentons dans ce paragraphe. Dans ce but, nous introduisons deux paramètres qui décrivent l’asymétrie d’un corps rigide, c’est-à-dire l’écart relatif entre les moments d’inertie.

\[ \begin{aligned} a&=\frac{I_y}{I_z}-1, \quad 0\leq a<\infty\\ b&=1-\frac{I_y}{I_x}, \quad 0\leq b\leq 1. \end{aligned} \]
Les paramètres $a$ et $b$ correspondent à la géométrie du corps rigide. En particulier, $a=0$ et $b=0$ signifient respectivement que $I_y=I_z$ et $I_x=I_y$. Dans ces deux cas limites, le corps n’est plus asymétrique car il possède un axe de symétrie. Plus précisément, cet axe possède la
propriété de laisser invariant ce corps lorsque que l’on fait tourner ce
dernier autour de cet axe.

Notons $\Delta\psi$ la variation angulaire effectuée par le tamis de la raquette lors d’une rotation complète du manche. Nous montrons (Vandamme : 2017 ) que pour une trajectoire proche de la séparatrice la différence $\Delta\psi-\pi$ contient $e^{-\sqrt{ab}}$ comme facteur. Nous verrons dans le
prochain paragraphe que la trajectoire doit être voisine de la séparatrice
mais pas trop proche de celle-ci.

Une raquette de tennis est un objet très asymétrique où le produit $ab$ est suffisamment grand. Le terme $e^{-\sqrt{ab}}$est
alors petit et la variation angulaire du tamis de la raquette $\Delta\psi$ est très proche de $\pi$, c’est-à-dire d’un demi-tour.
Pour une raquette standard (Vandamme : 2017) le produit $ab$ est de l’ordre de $0.75$ ce qui donne $e^{-\sqrt{ab}} ≃ 0.42$. La variation angulaire est finalement égale à :

\[ \Delta\psi\simeq \pi (1-0.0732). \]

L’effet de la raquette de tennis est donc réalisé pour ces données à 7% près.

Par contre, ce n’est pas le cas pour un stylo à bille. Dans ce cas, $a$ est grand, mais $b$ est proche de zéro et on obtient un mouvement où $\Delta\psi$ est proche de zéro. L’effet de la raquette de tennis se produit pour tout objet très asymétrique, c’est-à-dire pour un produit $ab$ grand. C’est le cas notamment pour un livre ou un téléphone portable.

Skateboard: la figure impossible et le Monster Flip

Les résultats de notre article (Vandamme : 2017 ) ont été repris dans une vidéo Youtube de vulgarisation scientifique de la série
Physics Girl.
Cette vidéo postée en mai 2018 a été vue plus de 2 000 000 fois. Elle a pour but d’expliquer l’importance de l’effet de la raquette de tennis pour réaliser des figures en skateboard.
On s’intéresse à la figure qui consiste à faire tourner le skateboard autour de son axe intermédiaire, c’est-à-dire l’axe parallèle aux axes des roues. Or, cet axe est précisément l’axe où l’on observe l’effet de la raquette de tennis. À cause de l’effet de la raquette de tennis, on doit observer le retournement du skateboard, celui-ci devant avoir les roues en l’air après une rotation complète autour de l’axe intermédiaire. Les axes d’inertie d’un skateboard sont représentés sur la Figure 5.

Figure 5. Définition des axes d’inertie principaux pour un skateboard.

Une vidéo présentant cette figure est disponible sur le site web.
Cette figure de skate qui est physiquement très improbable est surnommée l’impossible. Elle a été réalisée par Rodney Mullen, l’inventeur de la majorité des figures de skate, dans cette vidéo.

Si l’on observe bien cette vidéo, on se rend compte que R. Mullen guide son skate avec le pied. Il ne s’agit donc pas d’un mouvement libre et le mouvement n’est pas régi par les équations d’Euler que nous avons étudiées.

En lisant les commentaires sur la vidéo de Physics Girl, nous avons appris qu’il existe une autre figure de skate surnommée Monster Flip.
Il s’agit de la même figure que l’impossible, mais où le skate n’est pas guidé avec le pied. Cette figure de Monster Flip est effectuée dans une autre vidéo après de nombreuses tentatives infructueuses.

La grande majorité des tentatives mènent à l’effet de la raquette de tennis.

Comment cela est-il possible?

Les paramètres $a$ et $b$ sont déterminés par la géométrie du corps rigide (ici du skateboard) qui est très asymétrique. On devrait donc observer l’effet de la raquette de tennis. Nous travaillons actuellement sur ce problème (MGVS). L’explication est qu’il existe une région très petite près de la séparatrice où l’effet de la raquette de tennis ne se produit pas et où l’on peut observer une variation angulaire $\Delta \psi$ proche de zéro, ce qui permet au skate de retomber sur ses roues. La dextérité du skateur permet de modifier la position et la vitesse initiale du skate et d’entrer dans cette toute petite région.

On s’attend dans ce cas à une très grande sensibilité de la variation $\Delta\psi$ par rapport aux conditions initiales, ce qui rend très difficile l’exécution de cette figure. Nous pensons enfin que l’effet gyroscopique des roues pourrait aider à la stabilisation du skate et permettre une réalisation plus aisée du Monster Flip.

Effet de la raquette de tennis et ordinateur quantique

Comme souvent en mathématiques fondamentales, nous avons été mus par le désir d’approfondir la compréhension d’un phénomène simple et fondamental. En plus de satisfaire notre curiosité et de répondre à des questions d’autres mathématiciens, il est naturel de penser qu’un tel phénomène intervient dans beaucoup de contextes. C’est ainsi que nous avons découvert la pertinence de notre découverte pour certains problèmes liés à l’information quantique, et plus particulièrement au développement de l’ordinateur quantique. La première question est donc de transposer cet effet au monde microscopique, dont la dynamique n’est plus gouvernée par la mécanique classique mais par la mécanique quantique et la célèbre équation de Schrödinger. Différents systèmes moléculaires pourraient présenter des traces de cet effet à l’échelle quantique. Un premier exemple est donné par les molécules dites toupie asymétrique, comme la molécule d’eau, qui sont l’équivalent microscopique des corps rigides asymétriques (RMP).

Nous avons récemment mis en évidence une autre signature possible en collaboration avec des collègues allemands de l’Université Technique de Munich. L’idée est d’utiliser le fait que les objets quantiques possèdent l’analogue d’un moment cinétique, appelé le spin. Sa dynamique peut être influencée et pilotée par des champs électromagnétiques. Le contrôle de l’orientation du spin est un des éléments de base qui permet de construire un ordinateur quantique (Glaser). En utilisant l’analogie mathématique existant entre la rotation classique d’un corps rigide et le contrôle d’un spin quantique, nous avons pu montrer théoriquement et expérimentalement comment l’effet de la raquette de tennis permet de piloter l’orientation d’un spin de manière robuste vis-à-vis des imperfections expérimentales
(QTRE, Glaser).

BIBLIOGRAPHIE

MSA91 M. S. Ashbaugh, C. C. Chicone and R. H. Cushman, The Twisting Tennis Racket, J. Dyn. Diff. Eq. 3, 67 (1991).

Vandamme : 2017 L. Van Damme, P. Mardešić and D. Sugny, The tennis racket effect in a three dimensional rigid body, Physica D 338, 17 (2017)

Cushman R. H. Cushman and L. Bates, Global Aspects of Classical Integrable Systems (Birkhauser, Basel, 1997).

Golstein50 H. Goldstein, Classical Mechanics (Addison-Wesley, Reading, MA, 1950).

Landau L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics (Pergamon Press, Oxford, 1960).

Arnold V. I. Arnol’d, Mathematical Methods of Classical Mechanics (Springer-Verlag, New York, 1989).

Glaser S. J. Glaser et al., Training Schrödinger’s cat: Quantum optimal control, Eur. Phys. J. D 69, 279 (2015)

QTRE L. Van Damme, D. Leiner, P. Mardešić, S. J. Glaser and D. Sugny, The quantum tennis racket effect: Linking the rotation of a rigid body to the Schrödinger equation,
Sci. Rep. 7, 3998 (2017)

RMP C. P. Koch, M. Lemeshko and and D. Sugny, Quantum control of molecular rotation, Rev. Mod. Phys. 91, 035005 (2019)

MGVS P. Mardešić, G. J. Gutiérrez Guillén, L. Van Damme et D. Sugny, Complex Geometry of the Tennis Racket Effect and the Monster flip en préparation.

Post-scriptum :

Les auteurs et la rédaction d’Images des Mathématiques remercient les relecteurs Nils Berglund, Jérôme Pérez, Clément Caubel et Aurélien Alvarez pour leur relecture attentive et leurs commentaires pertinents.

Article édité par Jérôme Buzzi

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Para citar este artículo:

Pavao Mardešić, Khalid Hamraoui, Léo Van Damme, Dominique Sugny — «Comment distinguer une raquette de tennis d’un stylo à bille» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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  • Comment distinguer une raquette de tennis d’un stylo à bille

    le 5 de febrero à 23:49, par amic

    Est-ce que l’apparente « possibilité » du Monster Flip ne viendrait pas également du fait que le mouvement est libre de toute force extérieure seulement à partir du moment où la planche quitte le sol (et à ce moment-là elle a déjà fait un quart de tour, elle est déjà verticale), puis qu’elle est replaquée bien avant la fin du tour (dès que le nez de la planche peut toucher le sol) ?

    Répondre à ce message

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