[Rediffusion d’un article publié en janvier 2021]

Comment multiplier en ne connaissant que la table de 2 ?

Piste verte Le 13 juillet 2021  - Ecrit par  Julie Levrault, Andrés Navas Voir les commentaires
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Dans cet autre article nous expliquons que, contrairement à ce que l’on apprend à l’école (tout du moins pour la plupart), il est possible de multiplier sans apprendre par coeur les tables de multiplication (et sans calculatrice...). On évoque alors une méthode ludique et géométrique où le simple fait de savoir additionner nous permet de multiplier. Ici, nous souhaitons parler d’une autre méthode, enseignée encore de nos jours dans les écoles éthiopiennes [1] et jusqu’il y a quelques années dans certaines écoles russes [2].

Il suffit de savoir additionner, multiplier par deux et diviser par deux, pour pouvoir multiplier n’importe quels nombres !

Cette méthode, qui nous vient d’Éthiopie et d’Egypte, est décrite dans le papyrus Rhind (écrit par le scribe Ahmès et conservé depuis le XIX siècle au British Museum de Londres). Ce papyrus, dont on voit en tête de l’article la reproduction correspondante, date de quelques siècles avant J.C., et il est considéré comme le document mathématique le plus ancien !

Commençons simplement : $6 \times 5$. On fait deux colonnes : on met le premier chiffre dans la colonne de gauche et le deuxième dans celle de droite.

Dans la colonne de gauche on divise par $2$, et dans la colonne de droite on multiplie par $2$. Cela donne :

Le nombre $3$ est impair : il n’est pas divisible par $2$ ! Ce que l’on fait alors, c’est qu’on lui retire $1$, puis on le divise par $2$ :
\[\frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1.\]
Dans la colonne de droite, on continue à multiplier par $2$ :

Et maintenant, que vais-je faire ?

Puisqu’on est arrivé à $1$, nous regardons toute la colonne de gauche. Il y a des nombres pairs ($6$) et des nombres impairs ($3$ et $1$). On « enlève » alors toute la ligne qui correspond au nombre pair :

Finalement, on additionne tous les membres restants de la colonne de droite :

\[\LARGE{10 + 20 = 30.}\]

Et voilà !

\[\LARGE{6 \times 5 = 30.}\]

Cette méthode fonctionne en fait de manière générale.

Par exemple, si l’on veut calculer $12 \times 32$ :

Nous divisons $6$ par deux et multiplions $64$ par deux :

Nous divisons $3-1$ par deux et multiplions $128$ par deux :

Et finalement nous supprimons les lignes sur lesquelles le nombre de gauche est pair :

Il nous reste à sommer les nombres restant de la colonne de droite :
$128+256=384$, Donc $12 \times 32=384$.

Voici un autre exemple $18 \times 37$ :

Le chiffre $9$ n’étant pas divisible par deux, on lui retire un puis on le divise par deux :

On arrive au chiffre $4$ qui est une puissance de deux, donc il ne reste plus qu’à diviser successivement par deux jusqu’à obtenir un :

On « barre » les lignes dont le nombre de la colonne de gauche est pair :

Et on finit par additionner les nombres $74$ et $592$, donc $18 \times 37=74+592=666$ ! La multiplication du diable !

Nous vous laissons un exemple plus compliqué en fenêtre cachée, pour vous laisser essayer seuls :

$233 \times 121$

Puisque nous devons diviser par deux dans la colonne de gauche, il est plus rapide de calculer $121 \times 233$ que $233 \times 121$.

Donc $233 \times 121=233+1864+3728+7456+14912=28193$.

Enfin, dans ce site vous trouverez un simulateur automatique pour tester vos multiplications et en faire encore plus.

Mais pourquoi cela fonctionne-t-il ?

Nous allons l’expliquer sur un exemple, mais bien sûr le même raisonnement fonctionne de manière générale. Regardons à nouveau $12 \times 32$. Si nous décomposons $12$ en somme de puissances de deux, cela nous donne $12=2^2+2^3$. Comment peut-on obtenir cette décomposition ? C’est en fait équivalent à la décomposition binaire des nombres, mais nous allons ici expliquer comment la trouver.

Nous savons que $2^3=8<12<2^4=16$ donc la décomposition de $12$ en somme de puissances de deux s’écrit
\[a2^0+b2^1+c2^2+d2^3.\]
avec $a,b,c,d$ qui valent $0$ ou $1$.
Le nombre $12$ est pair, donc $2^0$ n’apparaît pas dans sa décomposition, d’où $a=0$ et \[12=b2^1+c2^2+d2^3.\].

Divisons $12$ par deux. Cela nous donne
\[6=\frac{12}{2}=b2^0+c2^1+d2^2.\]
Le chiffre $6$ étant pair, $b=0$ et $12=c2^2+d2^3$, c’est-à-dire $6=c2^1+d2^2$.

Divisons $6$ par deux. Cela nous donne $3=\frac{6}{2}=c2^0+d2^1$, et trois est impair donc $c=1$ !
Nous avons donc $12=2^2+d2^3$ et $3=2^0+d2^1=1+d2^1$.

Maintenant, puisque $3$ est impair, divisons $3-1$ par deux, ce qui nous donne
\[\frac{3-1}{2}=\frac{d2^1}{2}=d.\]
Donc $d=1$ et $12=2^2+2^3$.

Tout à l’heure, lorsque nous divisions par deux d’un côté et multiplions par deux de l’autre, nous finissions par « barrer » les lignes dont les nombres de la colonne de gauche sont pairs. Vous l’avez compris, lorsque nous « barrons » les lignes dont les nombres de la colonne de gauche sont pairs, nous « barrons » les puissances de deux qui n’apparaissent pas dans la décomposition de $12$ en somme de puissances de deux !

Nous gardons les lignes qui correspondent à $2^2$ et $2^3$, les seules puissances de deux qui apparaissent dans la décomposition de $12$ !

Donc lorsque nous sommons $128$ et $256$, en fait nous sommons $32 \times 2^2$ et $32 \times 2^3$. Nous effectuons donc l’opération $32 \times 2^2 + 32 \times 2^3= 32 \times (2^2+2^3)= 32 \times 12$. C’est pour cela que ça marche !

Nous terminerons avec un dernier exemple en fenêtre cachée, essayez le !

$8263 \times 3802$


On somme tout ce qu’il y a à sommer et cela nous donne $8263 \times 3802=31415926$.
Oh ! Mais $\pi=3,1415926...$

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des Mathématiques et les auteurs de l’article remercient les relecteurs dont les noms ou les pseudos sont Eric Heurtain, Mario et Clément Caubel pour leur relecture attentive et leurs commentaires constructifs.

Article édité par Philippe Colliard

Notes

[1Voir par exemple cette vidéo (en anglais).

[2Voir cette vidéo (aussi en anglais).

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Julie Levrault — «Comment multiplier en ne connaissant que la table de 2 ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

Image à la une - Une page du papyrus Rhind tirée de Wikipedia : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Problème-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg#filehistory

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