Comment multiplier sans connaître les tables de multiplication ?

Piste verte Le 15 mai 2020  - Ecrit par  Julie Levrault, Andrés Navas Voir les commentaires (4)
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Une méthode ludique pour apprendre aux enfants à multiplier en dessinant.

Dans la majorité des écoles d’Europe ou d’Amérique, par exemple, on apprend aux enfants à multiplier en apprenant par cœur les fameuses (et terribles...) « tables de multiplication » (pour en savoir plus sur ce sujet, nous renvoyons à cet excellent article d’Étienne Ghys).

Combien de fois les a-t-on récitées à nos parents, nos professeurs ?

Combien d’enfants ont commencé à penser dès cet instant que pour « faire des maths », il fallait indéniablement apprendre plein de choses par cœur ?

« Faire des maths » ce n’est pas apprendre plein de formules ou symboles étranges : c’est plutôt essayer de comprendre comment résoudre des problèmes le plus simplement possible. Néanmoins, nos méthodes éducatives ne permettent pas vraiment à nos enfants (ni à ceux des autres) de saisir cette beauté et cette subtilité qu’ont les mathématiques, et cela commence dès l’apprentissage de ces « terrifiantes » tables de multiplication [1]..

Heureusement, ce n’est pas la seule manière d’apprendre aux enfants à multiplier. Certaines écoles, par exemple au Japon, utilisent une ancienne méthode bien plus géométrique et ludique dont l’origine reste difficile à déterminer (la méthode était déjà connue au Moyen Âge par plusieurs cultures du monde).

Commençons simplement : $2 \times 3$. On nous a appris que c’est « 2 paquets de 3 objets ». Par exemple, « 2 paquets de 3 aliens » (ou extraterrestres, pour ceux qui n’aiment pas les anglicismes).

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Si l’on trace deux droites horizontales et trois droites verticales, comme ceci

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le nombre de points d’intersection c’est bien « 2 paquets (horizontaux) de 3 points » (dans notre cas, 2 paquets de 3 aliens).

Pourquoi 2 x 3 = 3 x 2 ?

Ainsi il est facile de voir que $2 \times 3$ c’est pareil que $3 \times 2$. Il suffit de tourner le dessin de $90º$.

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Alors qu’il n’est pas si simple de comprendre pourquoi « 2 paquets de 3 objets » c’est pareil que « 3 paquets de 2 objets ».

Passons à des nombres plus grands, $12 \times 32$, par exemple. Nous pourrions compter les aliens un à un, et voir qu’il y en a exactement $384$.

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Mais quelle horreur de compter comme ça !

Dans la pratique, avec des nombres un peu grands, on a juste bien trop la flemme de faire comme ça... On va donc être un peu plus astucieux : on va séparer les chiffres des dizaines de ceux des unités. Ainsi, pour représenter $12$, au lieu de dessiner $12$ droites, on dessine.

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De fait, $32$ devient donc...

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Et donc $12 \times 32$ :

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« Zoomons » sur les différentes parties de notre dessin :

  • Bleu avec bleu, c’est unité fois unité ; on a donc $4$ petits aliens.
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  • Rouge avec bleu c’est dizaine fois unité ; chaque point compte donc pour $10$. On a ici $8$ aliens moyens $(6+2)$, qui comptent chacun pour $10$ petits aliens !
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  • Rouge avec rouge c’est dizaine fois dizaine, i.e. centaine ; chaque point ici compte pour $100$. On a $3$ super aliens, qui comptent chacun pour $100$ petits aliens !
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Donc : $12 \times 32 = 384$.

Bien sûr, tout ceci découle simplement de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (utilisée à plusieurs reprises).

Pour que ce soit à la fois plus visuel et plus pratique on va tourner notre dessin de $45º$ :

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Avec cette méthode on visualise la commutativité de la multiplication

Par exemple, prenons $32 \times 12$ au lieu de $12 \times 32$. Si l’on représente $32 \times 12$ avec des droites colorées, on obtient :

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On a juste renversé le dessin (mais pas les visages des aliens...). Les $6$ aliens violets remplacent les $2$ aliens violets, le reste n’a pas changé. Comme on compte par couleur (ou en fait par colonne, ce qui revient au même), cela ne change pas le calcul ! On obtient bien $3 \times 100 + 8 \times 10 + 4 = 384$.

Mais cet exemple était très (trop ?) facile, compliquons un peu !

$41 \times 23$ :

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Ici on a $3$ unités, $14$ dizaines et $8$ centaines. Mais $14$ dizaines c’est en fait $1$ centaine et $4$ dizaines $(14 \times 10 = 100 + 40)$. On a donc finalement $4$ dizaines et $9$ centaines : $41 \times 23 = 943$.

Si on oublie les aliens, on ne retient que le dessin suivant :

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Il se peut également qu’il y ait plus d’une retenue ! Par exemple, calculons $18 \times 37$ :

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Donc $18 \times 37 = 666$.

Bien sûr, cette méthode fonctionne avec n’importe quels nombres entiers. Par exemple, calculons $233 \times 121$ :

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Donc $233 \times 121 = 28193$.

Évidemment, on peut aussi multiplier un nombre de 5 chiffres avec un de 3 chiffres, un nombre de 3 chiffres avec un de 2 chiffres, etc.

$121 \times 22$ : En fait, on va considérer ici que $22 = 022 = 0 \times 100 + 2 \times 10 + 2$.

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On peut remarquer que l’on a représenté le 0 du 022 par une droite en pointillés. Les points d’intersection de cette droite avec n’importe quelle autre ne comptent pas. C’est ainsi que l’on procède à chaque fois qu’apparaît un 0 dans un des facteurs.

Donc $121 \times 22 = 2662$.

Et pour finir en beauté, ce dernier exemple... plutôt remarquable ! On vous laisse l’essayer tout seul mais on vous met la réponse en fenêtre cachée :

$8263 \times 3802$

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Donc $8263 \times 3802 = 31415926$.

Oh ! Mais $\pi = 3,1415926\dots$

Post-scriptum :

Nous remercions Beatriz Vargas pour les dessins des aliens de cet article. Merci également à Peggy Laurent, Véronique Venackère, Marcus Mildner et richecoeur pour leur relecture, ainsi qu’à Carole Gaboriau et Mai Huong Pham-Sauvageot pour leur travail d’édition.

Article édité par Philippe Colliard

Notes

[1Vous trouverez une discussion profonde à ce propos dans ce bel article de Patrick Popescu-Pampu.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Julie Levrault — «Comment multiplier sans connaître les tables de multiplication ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Commentaire sur l'article

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  • Comment multiplier sans connaître les tables de multiplication ?

    le 20 mars à 21:35, par FDesnoyer

    C’est génial ! profitant de ces temps troublés, je teste les multipications à 3 chiffres sur ma fille de 7 ans grâce à vous et un seul de nous deux vous remercie !

    Très amicalement,

    F.Desnoyer

    Répondre à ce message

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