Comment multiplier sans connaître les tables de multiplication ?

Piste verte Le 15 mai 2020  - Ecrit par  Julie Levrault, Andrés Navas Voir les commentaires (4)
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Une méthode ludique pour apprendre aux enfants à multiplier en dessinant.

Dans la majorité des écoles d’Europe ou d’Amérique, par exemple, on apprend aux enfants à multiplier en apprenant par cœur les fameuses (et terribles...) « tables de multiplication » (pour en savoir plus sur ce sujet, nous renvoyons à cet excellent article d’Étienne Ghys).

Combien de fois les a-t-on récitées à nos parents, nos professeurs ?

Combien d’enfants ont commencé à penser dès cet instant que pour « faire des maths », il fallait indéniablement apprendre plein de choses par cœur ?

« Faire des maths » ce n’est pas apprendre plein de formules ou symboles étranges : c’est plutôt essayer de comprendre comment résoudre des problèmes le plus simplement possible. Néanmoins, nos méthodes éducatives ne permettent pas vraiment à nos enfants (ni à ceux des autres) de saisir cette beauté et cette subtilité qu’ont les mathématiques, et cela commence dès l’apprentissage de ces « terrifiantes » tables de multiplication [1]..

Heureusement, ce n’est pas la seule manière d’apprendre aux enfants à multiplier. Certaines écoles, par exemple au Japon, utilisent une ancienne méthode bien plus géométrique et ludique dont l’origine reste difficile à déterminer (la méthode était déjà connue au Moyen Âge par plusieurs cultures du monde).

Commençons simplement : $2 \times 3$. On nous a appris que c’est « 2 paquets de 3 objets ». Par exemple, « 2 paquets de 3 aliens » (ou extraterrestres, pour ceux qui n’aiment pas les anglicismes).

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Si l’on trace deux droites horizontales et trois droites verticales, comme ceci

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le nombre de points d’intersection c’est bien « 2 paquets (horizontaux) de 3 points » (dans notre cas, 2 paquets de 3 aliens).

Pourquoi 2 x 3 = 3 x 2 ?

Ainsi il est facile de voir que $2 \times 3$ c’est pareil que $3 \times 2$. Il suffit de tourner le dessin de $90º$.

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Alors qu’il n’est pas si simple de comprendre pourquoi « 2 paquets de 3 objets » c’est pareil que « 3 paquets de 2 objets ».

Passons à des nombres plus grands, $12 \times 32$, par exemple. Nous pourrions compter les aliens un à un, et voir qu’il y en a exactement $384$.

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Mais quelle horreur de compter comme ça !

Dans la pratique, avec des nombres un peu grands, on a juste bien trop la flemme de faire comme ça... On va donc être un peu plus astucieux : on va séparer les chiffres des dizaines de ceux des unités. Ainsi, pour représenter $12$, au lieu de dessiner $12$ droites, on dessine.

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De fait, $32$ devient donc...

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Et donc $12 \times 32$ :

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« Zoomons » sur les différentes parties de notre dessin :

  • Bleu avec bleu, c’est unité fois unité ; on a donc $4$ petits aliens.
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  • Rouge avec bleu c’est dizaine fois unité ; chaque point compte donc pour $10$. On a ici $8$ aliens moyens $(6+2)$, qui comptent chacun pour $10$ petits aliens !
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  • Rouge avec rouge c’est dizaine fois dizaine, i.e. centaine ; chaque point ici compte pour $100$. On a $3$ super aliens, qui comptent chacun pour $100$ petits aliens !
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Donc : $12 \times 32 = 384$.

Bien sûr, tout ceci découle simplement de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (utilisée à plusieurs reprises).

Pour que ce soit à la fois plus visuel et plus pratique on va tourner notre dessin de $45º$ :

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Avec cette méthode on visualise la commutativité de la multiplication

Par exemple, prenons $32 \times 12$ au lieu de $12 \times 32$. Si l’on représente $32 \times 12$ avec des droites colorées, on obtient :

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On a juste renversé le dessin (mais pas les visages des aliens...). Les $6$ aliens violets remplacent les $2$ aliens violets, le reste n’a pas changé. Comme on compte par couleur (ou en fait par colonne, ce qui revient au même), cela ne change pas le calcul ! On obtient bien $3 \times 100 + 8 \times 10 + 4 = 384$.

Mais cet exemple était très (trop ?) facile, compliquons un peu !

$41 \times 23$ :

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Ici on a $3$ unités, $14$ dizaines et $8$ centaines. Mais $14$ dizaines c’est en fait $1$ centaine et $4$ dizaines $(14 \times 10 = 100 + 40)$. On a donc finalement $4$ dizaines et $9$ centaines : $41 \times 23 = 943$.

Si on oublie les aliens, on ne retient que le dessin suivant :

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Il se peut également qu’il y ait plus d’une retenue ! Par exemple, calculons $18 \times 37$ :

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Donc $18 \times 37 = 666$.

Bien sûr, cette méthode fonctionne avec n’importe quels nombres entiers. Par exemple, calculons $233 \times 121$ :

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Donc $233 \times 121 = 28193$.

Évidemment, on peut aussi multiplier un nombre de 5 chiffres avec un de 3 chiffres, un nombre de 3 chiffres avec un de 2 chiffres, etc.

$121 \times 22$ : En fait, on va considérer ici que $22 = 022 = 0 \times 100 + 2 \times 10 + 2$.

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On peut remarquer que l’on a représenté le 0 du 022 par une droite en pointillés. Les points d’intersection de cette droite avec n’importe quelle autre ne comptent pas. C’est ainsi que l’on procède à chaque fois qu’apparaît un 0 dans un des facteurs.

Donc $121 \times 22 = 2662$.

Et pour finir en beauté, ce dernier exemple... plutôt remarquable ! On vous laisse l’essayer tout seul mais on vous met la réponse en fenêtre cachée :

$8263 \times 3802$

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Donc $8263 \times 3802 = 31415926$.

Oh ! Mais $\pi = 3,1415926\dots$

Post-scriptum :

Nous remercions Beatriz Vargas pour les dessins des aliens de cet article. Merci également à Peggy Laurent, Véronique Venackère, Marcus Mildner et richecoeur pour leur relecture, ainsi qu’à Carole Gaboriau et Mai Huong Pham-Sauvageot pour leur travail d’édition.

Article édité par Philippe Colliard

Notes

[1Vous trouverez une discussion profonde à ce propos dans ce bel article de Patrick Popescu-Pampu.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Julie Levrault — «Comment multiplier sans connaître les tables de multiplication ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Commentaire sur l'article

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  • Principe qu’on retrouve dans le matériel Montessori

    le 27 mars à 16:51, par matthieu

    Une fois les premiers matériels pour la multiplication acquis, on passe au damier en version simple, puis pour les grands nombres. Un siècle que c’est utilisé et c’est vrai que j’aurais aimé apprendre les multiplications comme ça !

    On réinvente la pédagogie en permanence, c’est dommage de ne pas utiliser les méthodes éprouvées...

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