Comprendre avec les mathématiques (ou la diagonale du fou)

28 octobre 2010 Voir les commentaires

J’ai remarqué, en parcourant le site Images des mathématiques, qu’on
accusait les mathématiciens d’absence de sens de la "réalité concrète
des vrais gens". Rassurez-vous, cette idée, on ne peut plus fausse,
n’est pas nouvelle. Je me propose donc d’apporter ma contribution à une
lutte sans âge.

En permanence sous perfusion de café, le regard perdu dans son propre esprit réfléchissant, le « matheux » s’échine à résoudre ses équations dans une solitude totale. Chacun imagine assez bien ce mathématicien, un peu fou, contemplant le tableau blanc permanent de son cerveau, recouvert de signes et symboles plus ou moins énigmatiques, même si celui-ci est en train de siroter un cocktail au bord d’une piscine, en attendant la rentrée de septembre.
Présumée coupée du monde, la pensée mathématique toucherait du doigt l’abstraction absolue, réservée à peu d’élus capables de se désintéresser de l’eau chlorée, où tout le monde aime à barboter. Et puis de toute façon, chacun le sait bien, les maths ça ne sert à rien, ça ne débouche sur rien de concret et ça n’intéresse plus personne depuis longtemps. L’argument interrompt toute discussion possible : jugé coupable au tribunal de l’inutilité, le matheux et ses étranges questions se retrouve jeté au cachot, où sa fonction consistera à être oublié le plus rapidement possible. Fini la piscine et terminés les cocktails !
Afin que la lecture de ce courrier, sobrement intitulé « comprendre avec les mathématiques » soit ludique, je propose au lecteur de faire la chose suivante : prendre une feuille, un crayon de papier et dessiner un carré. Jusque là, a priori, la compréhension de la consigne est totale. Un carré, ce sont quatre côtés égaux et quatre angles droits, comme les carreaux de la piscine ou la porte du cachot médiéval. Puisque nous sommes nostalgiques de cette douce époque, abandonnons le système métrique et disons que chaque côté du carré fait deux pieds. Puis dialoguons à propos de ce dessin :

« Si le carré fait deux pieds de côté, sa surface fait deux fois deux pieds, n’est-ce pas ? »
Vous me répondez : « Mais oui, ça fait quatre pieds carrés, n’importe qui sait que deux fois deux font quatre ».
« Il se peut toutefois que la taille de ce carré me semble insuffisante. La piscine est grande et, si je veux réellement travailler moins et gagner plus (de temps), ces carrés sont trop petits pour la recouvrir. Si je veux doubler la surface de ce carré, quelle sera alors sa superficie ? »
Vous me répondez : « Mais c’est évident, le carré doublé fera alors huit pieds carrés ».
« Si la longueur du premier carré est de deux pieds, il faut donc que je la double pour obtenir mon carré doublé ? »
Vous me répondez : « Il est tout à fait évident qu’elle sera double ».

Soit. Vérifions cela en nous munissant à nouveau du papier et du crayon. Prenons le côté du bas et doublons le dans le sens dans sa longueur sur la droite, puis faisons la même chose avec le côté du haut. Prenons ensuite le côté gauche, doublons le dans le sens de sa hauteur, puis faisons la même chose avec le côté droit. Complétons ce nouveau dessin en traçant les côtés manquant du haut et de droite de ce carré, aux côtés qui font maintenant quatre pieds, puis reprenons notre dialogue à propos de ce nouveau dessin :

« Ce nouveau carré contient-il bien le premier ? »
Vous me répondez : « Mais oui, il contient celui de quatre pieds carrés ».
« Les côtés ont été doublés, ce carré n’est-il pourtant pas quatre fois plus grand ? »
Vous me répondez : « Par Zeus, tu dis vrai ! Quatre fois quatre font seize, mon carré est quatre fois plus grand ! »

Certes la piscine s’en trouvera recouverte bien plus vite. Mais le problème de doubler ce carré initial de deux pieds de côté n’est pas pour autant résolu. Reprenons à partir de notre grand carré de quatre pieds de côté. Celui-ci se compose de quatre carrés de deux pieds de côté chacun, ce qui nous fait au total une superficie de seize pieds carrés. Il nous en faut seulement huit. Alors notre dialogue reprend :

« Quelle ligne nous permettrait donc de couper chacun de ces carrés en deux afin que la somme de ces moitiés soit égale à huit pieds carrés, double superficie du carré initial ? »

Mais vous n’avez plus le temps de me répondre. Le matheux, écroulé de rire dans son cachot, répond à votre place :

« Trace un trait d’un angle à un autre dans chaque carré de deux pieds de côté, à partir du milieu de chaque côté du grand carré de seize pieds carrés. On appelle ça chez nous, les fous, la diagonale. A partir de la ligne doublée, l’espace devient quadruple, alors qu’à partir de la diagonale, l’espace devient double ».

Comme par magie, vos yeux se dessillent. Parti d’une compréhension totale d’une consigne, vous vous êtes égaré dans la nébuleuse de l’incompréhension, le long d’un tracé de crayon. Puis, par l’erreur, vous avez pris conscience de ce manque. La première chose que vous avez su est, qu’à un moment donné, vous ne saviez plus rien (du moins si vous avez joué le jeu et si vous n’avez jamais lu le Menon de Platon, chose tout à fait compréhensible).

En effet, si le matheux se pose des questions, c’est peut-être que, souvent, il ne comprend pas tout. Et si sa compréhension lui fait parfois défaut, c’est peut-être qu’il éprouve un manque et qu’il veut comprendre quelque chose. Pour vouloir comprendre, il suffit de faire comme si sa compréhension échouait. Reste à savoir qu’est-ce que comprendre. Mais nous serions alors embarqués dans une autre abstraction, où le philosophe aurait volé la chaise longue du matheux toujours enfermé dans sa geôle...

Schéma final à contempler au bord d’une piscine :

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Edouard (59)

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Pour citer cet article :

— « Comprendre avec les mathématiques (ou la diagonale du fou)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

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