Compter comme Cauchy

ou diviser par 4 la taille des tables de multiplication

Piste bleue Le 10 mai 2016  - Ecrit par  Gérard Grancher Voir les commentaires (2)

« ... pour que l’on puisse offrir le résultat d’un calcul comme digne d’être adopté avec confiance ce que l’on doit faire ce n’est pas de recommencer deux fois le même calcul en suivant la même route, attendu qu’il est assez naturel que l’on retombe dans une erreur déjà commise ; c’est au contraire de tout disposer de manière que, par deux systèmes d’opérations fort distinctes, on doive se trouver ramené à des résultats identiques. »

Voilà ce qui a amené Augustin Louis Cauchy a proposé une autre méthode d’écriture des nombres.

En 1840, dans une note publiée dans les Comptes-Rendus de l’Académie des Sciences [1] et intitulée « Sur les moyens d’éviter les erreurs de calculs numériques », Augustin Louis Cauchy [2] propose une nouvelle façon d’écrire les nombres avec deux espèces de chiffres, les uns positifs, les autres négatifs :

Concevons que, dans un nombre écrit en chiffres, on place le signe au-dessus du chiffre correspondant aux unités d’un certain ordre, pour exprimer que les unités de cet ordre doivent être effectivement prises avec le signe $-$. On pourra distinguer dans chaque nombre deux espèces de chiffres, les uns positifs, les autres négatifs.
[.../...]
Cela posé, on pourra évidemment écrire un nombre quelconque avec des chiffres dont la valeur numérique soit tout au plus égale à 5.

Pour faciliter la lecture de notre texte, dans toute la suite nous écrirons en rouge les nombres écrits avec la notation proposée par Cauchy.

Voici les nombres de 1 à 20, écrits avec la notation de Cauchy :

\[ \begin{array}{rrrr} 1 = \color{red}{1} & 6 = 10-4 = \color{red}{1\bar 4} & 11 = \color{red}{11} & 16 = 20-4 = \color{red}{2\bar 4}\\ 2 = \color{red}{2} & 7 = 10-3 = \color{red}{1\bar 3} & 12 = \color{red}{12} & 17 = 20-3 = \color{red}{2\bar 3}\\ 3 = \color{red}{3} & 8 = 10-2 = \color{red}{1\bar 2} & 13 = \color{red}{13} & 18 = 20-2 = \color{red}{2\bar 2}\\ 4 = \color{red}{4} & 9 = 10-1 = \color{red}{1\bar 1} &14 = \color{red}{14} & 19 = 20-1 = \color{red}{2\bar 1}\\ 5 = \color{red}{5} & \ \ 10 = 10 - 0 = \color{red}{10} & \ \ 15 = \color{red}{15} & \ \ 20 = 20 - 0 = \color{red}{20} \end{array} \]

De la même manière, on aura :
$8\,256 = \color{red}{1\bar 2\,3\bar 4 \bar 4} $, $9\,978 = \color{red}{10\,0\bar 2 \bar 2} $
et $\pi \simeq \color{red}{3,142\, \bar4 \bar 1 3\, \bar 3 \bar 5 4\,\bar 4 \bar 1}$

Attention, l’écriture d’un nombre n’est pas unique, ainsi :
\[25 = {\color{red}{25}} = \color{red}{3\bar 5}\]
\[55={\color{red}{55}} = \color{red}{1\bar 5 5}= \color{red}{1\bar 4 \bar 5} \]

L’écriture de l’opposé d’un nombre est triviale, il suffit de déposer une barre sur les chiffres qui n’en ont pas, de l’ôter sur ceux qui en ont et de ne pas modifier les zéros.
\[ -\color{red}{1\bar 2 0\,5\bar 4 \bar 4} = \color{red}{\bar 1 20\,\bar 5 4 4}\]
Mais on aurait pu aussi écrire :
\[ -\color{red}{1\bar 20\,5\bar 4 \bar 4} = \color{red}{\bar 1 2 \bar 1\, 5 4 4}\]

L’addition

Les additions de nombres écrits à la Cauchy ne posent pas de difficulté, il suffit d’apprendre de nouvelles tables d’addition.
\[ \begin{array}{rrrrrr} \color{red}{0}+\color{red}{0} = \color{red}{0}&\color{red}{0}+\color{red}{1} = \ \ \color{red}{1}&\color{red}{0}+\color{red}{2} = \ \ \color{red}{2} &\color{red}{0}+\color{red}{3} = \ \ \color{red}{3}&\color{red}{0}+\color{red}{4} = \ \ \color{red}{4}&\color{red}{0}+\color{red}{5} = \ \ \color{red}{5}\\ \color{red}{1}+\color{red}{0} = \color{red}{1}&\color{red}{1}+\color{red}{1} = \ \ \color{red}{2}&\color{red}{1}+\color{red}{2} = \ \ \color{red}{3}&\color{red}{1}+\color{red}{3} = \ \ \color{red}{4}&\color{red}{1}+\color{red}{4} = \ \ \color{red}{5}&\color{red}{1}+\color{red}{5} = \color{red}{1\bar 4}\\ \color{red}{2}+\color{red}{0} = \color{red}{2}&\color{red}{2}+\color{red}{1} = \ \ \color{red}{3}&\color{red}{2}+\color{red}{2} = \ \ \color{red}{4}&\color{red}{2}+\color{red}{3} = \ \ \color{red}{5}&\color{red}{2}+\color{red}{4} = \color{red}{1\bar 4}&\color{red}{2}+\color{red}{5} = \color{red}{1\bar 3}\\ \color{red}{3}+\color{red}{0} = \color{red}{3}&\color{red}{3}+\color{red}{1} = \ \ \color{red}{4}&\color{red}{3}+\color{red}{2} = \ \ \color{red}{5}&\color{red}{3}+\color{red}{3} = \color{red}{1\bar 4}&\color{red}{3}+\color{red}{4} = \color{red}{1\bar 3}&\color{red}{3}+\color{red}{5} = \color{red}{1\bar 2}\\ \color{red}{4}+\color{red}{0} = \color{red}{4}&\color{red}{4}+\color{red}{1} = \ \ \color{red}{5}&\color{red}{4}+\color{red}{2} = \color{red}{1\bar 4}&\color{red}{4}+\color{red}{3} = \color{red}{1\bar 3}&\color{red}{4}+\color{red}{4} = \color{red}{1\bar 2}&\color{red}{4}+\color{red}{5} = \color{red}{1 \bar 1}\\ \color{red}{5}+\color{red}{0} = \color{red}{5}&\ \ \color{red}{5}+\color{red}{1} = \color{red}{1\bar 4}&\ \ \color{red}{5}+\color{red}{2} = \color{red}{1\bar 3}&\ \ \color{red}{5}+\color{red}{3} = \color{red}{1\bar 2}&\ \ \color{red}{5}+\color{red}{4} = \color{red}{1\bar 1}&\ \ \color{red}{5}+\color{red}{5} = \color{red}{10}\\ \end{array} \]

Mais il est nécessaire d’être familier de l’usage des nombres négatifs, et nouveauté, il faut s’attendre à avoir éventuellement des retenues négatives.
Ainsi : $\color{red}{1\bar 2\,3\bar 4 \bar 4} + \color{red}{10\,0\bar 2 \bar 2} = \color{red}{2\bar 2\,234} $ ;
en effet :

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La soustraction de deux nombres ne pose aucune difficulté, ce n’est qu’une addition d’un nombre et de l’opposé d’un autre !

Passage d’une numération à l’autre

Le passage d’une numération à l’autre se fait sans difficulté.

On pourra évidemment écrire un nombre quelconque avec
des chiffres dont la valeur numérique soit tout au plus égale à 5. Pour
y parvenir, il suffira de remplacer, dans le nombre écrit suivant la notation
reçue, chaque suite continue de chiffres positifs et supérieurs
à 4 par des chiffres négatifs qui forment, au signe près, le complément
arithmétique de cette suite, en ajoutant au chiffre qui la précède une
seule unité. Si le dernier chiffre de la suite était 5, on pourrait à la rigueur
ne pas s’en occuper et l’exclure de la suite.

Par exemple :
\[492 \,165 = \color{red}{ 402\,105} + 90 \,060 = \color{red}{ 402\,105} +\color{red}{ 1\bar 1 0\, 1 \bar 4 0} = \color{red}{ 5\bar 1 2\, 2 \bar 4 5}\]
\[485 \,674 = \color{red}{ 400\,004} + 85 \,670 = \color{red}{ 400\,004} + \color{red}{ 1\bar 1\bar 4\, \bar3 \bar3 0} = \color{red}{ 5\bar 1\bar 4\, \bar3 \bar3 4}\]

Inversement :

D’ailleurs, pour exprimer à l’aide des notations reçues la valeur d’un nombre écrit avec ces deux espèces de chiffres, il faudra remplacer chaque suite continue de chiffres négatifs, situés immédiatement l’un après l’autre, par le complément arithmétique de cette suite, et diminuer d’une unité le chiffre positif qui la précède.

Ce qui donne sur un exemple :
\[\color{red}{2\bar 3\bar 4\, 50\bar 2} = \color{red}{200\, 500}+ \color{red}{\bar 3\bar 4\, 00\bar 2} = 200\,500 + 66\, 008 - 100\,010 = 166\,498 \]

La multiplication

Cauchy justifie sa notation ainsi :

Les nombres étant exprimés, comme on vient de le dire, par des chiffres dont la valeur numérique ne surpasse pas 5, les additions, soustractions, multiplications, divisions, les conversions de fractions ordinaires en fractions décimales, et les autres opérations de l’arithmétique, se trouveront notablement simplifiées. Ainsi, en particulier, la table de multiplication pourra être réduite au quart de son étendue, et l’on n’aura plus à effectuer de multiplications partielles que par les seuls chiffres
$2,\; 3,\; 4 = 2\times 2$ et $5 = \dfrac{10}{2}$.
On devra d’ailleurs se rappeler que le produit de deux chiffres de même espèce est positif, tandis que le produit de deux chiffres d’espèces différentes, c’est-à-dire l’un
positif, l’autre négatif, sera négatif.

Les tables de multiplication à connaître ne sont plus que :

\[ \begin{array}{rrrrrr} \color{red}{0}\times\color{red}{0} = \color{red}{0}&\color{red}{0}\times\color{red}{1} = \color{red}{0}&\color{red}{0}\times\color{red}{2} = \ \ \color{red}{0} &\color{red}{0}\times\color{red}{3} = \ \ \color{red}{0}&\color{red}{0}\times\color{red}{4} = \ \ \color{red}{0}&\color{red}{0}\times\color{red}{5} = \ \ \color{red}{0}\\ \color{red}{1}\times\color{red}{0} = \color{red}{0}&\color{red}{1}\times\color{red}{1} = \color{red}{1}&\color{red}{1}\times\color{red}{2} = \ \ \color{red}{2}&\color{red}{1}\times\color{red}{3} = \ \ \color{red}{3}&\color{red}{1}\times\color{red}{4} = \ \ \color{red}{4}&\color{red}{1}\times\color{red}{5} = \ \ \color{red}{5}\\ \color{red}{2}\times\color{red}{0} = \color{red}{0}&\color{red}{2}\times\color{red}{1} = \color{red}{2}&\color{red}{2}\times\color{red}{2} = \ \ \color{red}{4}&\color{red}{2}\times\color{red}{3} = \color{red}{1\bar 4}&\color{red}{2}\times\color{red}{4} = \color{red}{1\bar 2}&\color{red}{2}\times\color{red}{5} = \color{red}{10}\\ \color{red}{3}\times\color{red}{0} = \color{red}{0}&\color{red}{3}\times\color{red}{1} = \color{red}{3}&\color{red}{3}\times\color{red}{2} = \color{red}{1\bar 4}&\color{red}{3}\times\color{red}{3} = \color{red}{1\bar 1}&\color{red}{3}\times\color{red}{4} = \color{red}{12}&\color{red}{3}\times\color{red}{5} = \color{red}{15}\\ \color{red}{4}\times\color{red}{0} = \color{red}{0}&\color{red}{4}\times\color{red}{1} = \color{red}{4}&\color{red}{4}\times\color{red}{2} = \color{red}{1\bar 2}&\color{red}{4}\times\color{red}{3} = \color{red}{12}&\color{red}{4}\times\color{red}{4} = \color{red}{2\bar 4}&\color{red}{4}\times\color{red}{5} = \color{red}{20}\\ \color{red}{5}\times\color{red}{0} = \color{red}{0}&\ \ \color{red}{5}\times\color{red}{1} = \color{red}{5}&\ \ \color{red}{5}\times\color{red}{2} = \color{red}{10}&\ \ \color{red}{5}\times\color{red}{3} = \color{red}{15}&\ \ \color{red}{5}\times\color{red}{4} = \color{red}{20}&\ \ \color{red}{5}\times\color{red}{5} = \color{red}{25}\\ \end{array} \]

Par exemple,
$\color{red}{1\bar 2\,3\bar 4 \bar 4} \times \color{red}{10\,0\bar 2 \bar 2} = \color{red}{1\bar 22\, 4\bar 2 \bar 2\, 4\bar 3 2} $ ; en effet, en posant la multiplication comme nous l’avons appris à l’école primaire [3], on obtient :

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Preuve par 9

La numération de Cauchy utilise la base 10, les critères de visibilité par 3 et 9 restent donc valables, à condition bien sûr de prendre en compte le signe des chiffres, et donc la preuve par 9 s’applique :
\[\color{red}{1\bar 2\,3\bar 4 \bar 4} \equiv 1-2+3-4-4 \equiv -6 \pmod 9\]
\[ \color{red}{10\,0\bar 2 \bar 2} \equiv 1+0+0-2-2 \equiv -3 \pmod 9\]
\[ (-6)\times (-3) \equiv 18 \equiv 0 \pmod 9\]
et comme attendu nous avons :
\[\color{red}{1\bar 22\, 4\bar 2 \bar 2\, 4\bar 3 \bar2} \equiv 1-2+2+4-2-2+4-3-2 \equiv 0 \pmod 9\]
La multiplication n’est peut-être pas fausse !

La division

Cauchy n’a donné aucun exemple de mise en œuvre d’une division [4].

Classiquement le reste d’une division est un nombre positif inférieur strictement au diviseur, ici il est judicieux de permettre un reste négatif, mais toujours inférieur (en valeur absolue) à la moitié du diviseur.

Ainsi :
$47 = \color{red}{5\bar 3}= (\color{red}{2\bar 4} \times \color{red}{3}) + \color{red}{\bar 1} = (16 \times 3) -1$

On peut vérifier que ${\color{red}{140\bar 1\bar 2}}\; / \;{\color{red}{3\bar 4}}=\color{red}{54\bar 2}$ en posant la division :

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Compter comme nos ordinateurs

En 1961, Algirdas Antanas Avižienis [5] a proposé une méthode très semblable à celle de Cauchy. Les nombres sont écrits également avec des chiffres positifs et négatifs, mais avec une plus grande diversité que ce qu’il est strictement nécessaire, et pas nécessairement en base 10. Un même nombre possède également plusieurs écritures.
Cette méthode est utilisée par les micro-processeurs de nos ordinateurs, elle permet une parallélisation des calculs, les opérations arithmétiques se font alors plus rapidement.

Pour en savoir plus, on pourra consulter sur wikipédia l’article numération d’Avižienis.

Pour conclure

L’économie de l’apprentissage de quelques tables de multiplication [6] se paie par la nécessité d’une certaine dextérité dans la manipulation des signes. Son objectif n’était pas que sa méthode remplace la numération classique,
mais seulement qu’elle soit utilisée en parallèle ...

... pour que l’on puisse offrir le résultat d’un calcul comme digne d’être adopté avec confiance ce que l’on doit faire ce n’est pas de recommencer deux fois le même calcul en suivant la même route, attendu qu’il est assez naturel que l’on retombe dans une erreur déjà commise ; c’est au contraire de tout disposer de manière que, par deux systèmes d’opérations fort distinctes, on doive se trouver ramené à des résultats identiques.

Toutefois, je vous invite à consacrer quelques minutes à résoudre (sans passer par la numération usuelle) les exercices ci-dessous pour vous retrouver dans une situation semblable à celle de l’écolier et l’écolière qui découvrent les techniques opératoires.

A vous de calculer comme Cauchy :
\[\color{red}{ 2 \bar 4\, 5 \bar 3 \bar 2} + \color{red}{4 3\, 5 2 \bar 3} + \color{red}{5 3\, 5 \bar 1 \bar 1}\]

Le résultat

\[\color{red}{ 2 \bar 4\, 5 \bar 3 \bar 2} + \color{red}{4 3\, 5 2 \bar 3} + \color{red}{5 3\, 5 \bar 1 \bar 1}= \color{red}{113\,5\bar 34}\]
\[16\, 468 + 43\, 517 + 53\, 489 = 113\,474 \]

\[\color{red}{ 2 \bar 4\, 5 \bar 3 \bar 2} \times \color{red}{5 \bar 4 \bar 3}\]

Le résultat

\[\color{red}{ 2 \bar 4\, 5 \bar 3 \bar 2} \times \color{red}{5 \bar 4 \bar 3}=\color{red}{1\bar 3\,53\bar 4\,\bar 1\bar 2\bar 4}= \color{red}{1\bar 2\,\bar 5 3\bar 4\,\bar 1\bar 2\bar 4}\]
\[ 16\, 4 68 \times 457 = 7\,525\,876\]

\[{\color{red}{ 2 \bar 4\, 5 \bar 5 2}} \; / \;{\color{red}{5 \bar 4 \bar 3}}\]

Le résultat

\[{\color{red}{ 2 \bar 4\, 5 \bar 5 2}} \; / \;{\color{red}{5 \bar 4 \bar 3}}= \color{red}{4\bar 4}\]
\[16\,452 \; / \;457 = 36\]

Post-scriptum :

Merci à Thierry de la Rue, Norbert Verdier, Marc Moyon et Patrick Popescu-Pampu pour leur lecture de la première version de cet article et toutes leurs suggestions. Merci à Carole Gaboriau et Jean Fromentin pour leur aide technique. Merci à Pierre Lescanne de m’avoir fait découvrir la numération d’Avižienis.

Article édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Ce texte est en libre accès sur le site de la BnF, pp 431-455

[2Pour connaître l’essentiel de la vie et de l’œuvre de ce grand mathématicien de la première moitié du XIXe siècle on pourra consulter Wikipedia. Bruno Belhoste a publié une biographie détaillée de Cauchy : « Cauchy, un mathématicien légitimiste au XIXe siècle », Belin,1984.

[3Sur l’apprentissage de la multiplication à l’école primaire, nous vous invitons à (re)-lire deux précédents articles d’Images des Maths : Les tables de multiplication et Quelle loi pour les tables ?

[4Cauchy a seulement donné le développement décimal de quelques fraction comme
\[\frac{1}{7}= \color{red}{0,143\ \bar 1 \bar 4 \bar 3\ 143\ \bar 1 \bar 4 \bar 3 ...} = 0,142\ 857\ 142\ 857 ... \]

[5Mais ce n’est qu’en 2010 qu’Avižienis a découvert que sa méthode était une extension d’une idée de Cauchy (voir ici).

[6On peut remarquer que de ce seul point de vue, nous sommes loin de l’optimum : si on comptait en binaire on aurait divisé par 25 la taille des tables de multiplication à apprendre.

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Pour citer cet article :

Gérard Grancher — «Compter comme Cauchy» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

Crédits image :

Image à la une - Le portrait d’Augustin Louis Cauchy est de Charles H. Reutlinger (Smithsonian Institution Libraries).

Commentaire sur l'article

  • Compter comme Cauchy

    le 16 mai à 11:17, par Jérôme SALMON

    Il y a une erreur dans le résultat de la multiplication proposée en exercice.
    Je vous prie par avance de m’excuser de la présentation mais je n’ai pas la possibilité ici d’utiliser la notation donnée.

    Voici le résultat que j’ai obtenu de diverses manières :

    2(-4) 5(-3)(-2) x 5(-4)(-3) = 1(-3) 53(-4) (-1)(-2)(-4)

    Soit avec les notations habituelles :

    16 468 x 457 = 7 525 876

    Répondre à ce message
    • Compter comme Cauchy

      le 16 mai à 23:27, par Gérard Grancher

      Vous avez raison. Merci de votre vigilance.
      L’article a été corrigé.
      Merci beaucoup.
      Bien cordialement
      Gérard Grancher

      Répondre à ce message

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